34) Producto Interior, Longitud y Ortogonalidad

Clase 34: Producto Interior, Longitud y Ortogonalidad

📚 Introducción

En las primeras secciones del curso desarrollamos los conceptos de distancia y ortogonalidad en un espacio vectorial. La sección 6.1 introduce los conceptos geométricos de longitud, distancia y perpendicularidad bien definidos para ℝ² y ℝ³, que son bien conocidos de la geometría euclidiana. Estos conceptos ofrecen poderosas herramientas geométricas para resolver muchos problemas aplicados, incluyendo los problemas de mínimos cuadrados que surgen en las aplicaciones.

Este capítulo sienta las bases para comprender cómo se puede emplear la ortogonalidad para identificar aquel punto dentro de un subespacio W que es el más cercano al punto y externo a W. Considerando a W como el espacio columna de una matriz, la sección 6.5 desarrolla un método para obtener soluciones aproximadas (“mínimos cuadrados”) de sistemas lineales inconsistentes, tal como el sistema resuelto para el informe N→D.

Objetivos de la Clase

• Comprender el concepto de producto interior entre vectores y sus propiedades fundamentales
• Dominar el cálculo de longitud (norma) de vectores en ℝⁿ
• Aplicar el concepto de distancia entre vectores en espacios n-dimensionales
• Comprender la ortogonalidad entre vectores y sus implicaciones geométricas
• Identificar y trabajar con complementos ortogonales de subespacios

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1. Producto Interior

1.1 Definición del Producto Interior

El producto interior es una operación fundamental que generaliza el concepto de “multiplicación” entre vectores para producir un escalar.

Definición - Producto Interior

Si u y v son vectores en ℝⁿ, entonces u y v se consideran matrices de n × 1. La transpuesta uᵀ es una matriz de 1 × n, y el producto matricial uᵀv es una matriz de 1 × 1, que se representa como un solo número real (un escalar) sin corchetes. El número uᵀv se llama el producto interior de u y v, y con frecuencia se representa como u · v.

Si: $\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ ⋮\\ u_n\end{array}\right]\text{y}\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right]$

entonces el producto interior de u y v es: $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}={\mathbf{u}}^T\mathbf{v}=[u_1{u}_2\cdots u_n]\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right]=u_1{v}_1+u_2{v}_2+\cdots +u_n{v}_n$

1.2 Ejemplo Básico de Producto Interior

Ejemplo 1: Cálculo de Productos Interiores

Calcule u · v y v · u para: $\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}2\\ -5\\ -1\end{array}\right]\text{y}\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\\ -3\end{array}\right]$

Solución:

$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}={\mathbf{u}}^T\mathbf{v}=[2-5-1]\left[\begin{array}{c}3\\ 2\\ -3\end{array}\right]$

$=(2)(3)+(-5)(2)+(-1)(-3)=6-10+3=-1$

$\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}={\mathbf{v}}^T\mathbf{u}=[32-3]\left[\begin{array}{c}2\\ -5\\ -1\end{array}\right]$

$=(3)(2)+(2)(-5)+(-3)(-1)=6-10+3=-1$

Observación

A partir de los cálculos en el ejemplo 1 resulta claro por qué u · v = v · u. La conmutatividad del producto interior es válida en general.

1.3 Propiedades del Producto Interior

Teorema 1 - Propiedades del Producto Interior

Sean u, v y w vectores en ℝⁿ, y c un escalar. Entonces:

a) u · v = v · u

b) (u + v) · w = u · w + v · w

c) (cu) · v = c(u · v) = u · (cv)

d) u · u ≥ 0, y u · u = 0 si y solo si u = 0

Regla Útil

Las propiedades b) y c) se pueden combinar varias veces para obtener la siguiente regla útil:

$(c_1{\mathbf{u}}_1+\cdots +c_p{\mathbf{u}}_p)\cdot \mathbf{w}=c_1({\mathbf{u}}_1\cdot \mathbf{w})+\cdots +c_p({\mathbf{u}}_p\cdot \mathbf{w})$

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2. Longitud de un Vector

2.1 Definición de Longitud

Si v está en ℝⁿ, con entradas v₁, …, vₙ, entonces la raíz cuadrada de v · v está definida, ya que v · v es no negativo.

Definición - Longitud (o Norma)

La longitud (o norma) de v es el escalar no negativo ||v|| definido por:

$||\mathbf{v}||=\sqrt{\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}}=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots +v_n^2}\text{y}||\mathbf{v}|{|}^2=\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}$

Interpretación Geométrica

Suponga que v está en ℝ², es decir, v = $\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$. Como es usual, si se identifica a v con un punto geométrico en el plano, entonces v coincide con el concepto estándar de la longitud del segmento de recta que va del origen a v. Esto se deduce a partir del teorema de Pitágoras aplicado a un triángulo.

Un cálculo similar con la diagonal de una caja rectangular demuestra que la definición de longitud de un vector v en ℝ³ coincide con el concepto habitual de longitud.

2.2 Ejemplo de Cálculo de Longitud

Ejemplo 2:

Sea v = [1, -2, 2, 0]. Encuentre un vector unitario u en la misma dirección que v.

Solución:

Primero, calcule la longitud de v:

$||\mathbf{v}|{|}^2=\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}=(1{)}^2+(-2{)}^2+(2{)}^2+(0{)}^2=9$

$||\mathbf{v}||=\sqrt{9}=3$

Después, multiplique v por 1/||v|| para obtener:

$\mathbf{u}=\frac{1}{||\mathbf{v}||}\mathbf{v}=\frac{1}{3}\mathbf{v}=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1/3\\ -2/3\\ 2/3\\ 0\end{array}\right]$

Para comprobar que ||u|| = 1 es suficiente probar que u · u = 1:

$||\mathbf{u}|{|}^2=\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}={\left(\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+(0{)}^2=\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}+0=1$

2.3 Vectores Unitarios y Normalización

Definición - Vector Unitario

Un vector unitario es un vector cuya longitud es 1. Si se divide un vector distinto de cero entre su longitud —es decir, se multiplica por 1/||v||—, se obtiene un vector unitario u ya que la longitud de u es (1/||v||)||v||.

El proceso de crear u a partir de v en ocasiones se llama normalización de v, y se dice que u está en la misma dirección que v.

Ejemplo 3:

Sea W el subespacio de ℝ² generado por x = $\left[\begin{array}{c}2/3\\ 1\end{array}\right]$

Obtenga un vector unitario z que sea una base para W.

Solución:

W consiste en todos los múltiplos de x, como el de la figura 2a). Cualquier vector distinto de cero en W es una base para W. Para simplificar los cálculos, “escale” x para eliminar fracciones. Es decir, multiplique x por 3 para obtener:

$\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]$

Ahora calcule ||y||² = 2² + 3² = 13, ||y|| = √13, y normalice y para obtener:

$\mathbf{z}=\frac{1}{\sqrt{13}}\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2/\sqrt{13}\\ 3/\sqrt{13}\end{array}\right]$

Véase la figura 2b). Otro vector unitario es $\left[\begin{array}{c}-2/\sqrt{13}\\ -3/\sqrt{13}\end{array}\right]$.

Observación sobre Escalamiento

Para cualquier escalar c, la longitud de cv es |c| veces la longitud de v. Es decir: $||c\mathbf{v}||=|c|\cdot ||\mathbf{v}||$

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3. Distancia en ℝⁿ

3.1 Definición de Distancia

Definición - Distancia entre Vectores

Para u y v en ℝⁿ, la distancia entre u y v, que se escribe como dist(u, v), es la longitud del vector u - v. Es decir:

$\text{dist}(\mathbf{u},\mathbf{v})=||\mathbf{u}-\mathbf{v}||$

Interpretación Geométrica

En ℝ² y ℝ³, esta definición de distancia coincide con las fórmulas usuales de la distancia euclidiana entre dos puntos.

3.2 Ejemplos de Distancia

Ejemplo 4: Determine la distancia entre los vectores

u = $\left[\begin{array}{c}7\\ 1\end{array}\right]$ y v = $\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right]$

Solución:

Calcule: $\mathbf{u}-\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}7\\ 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ -1\end{array}\right]$

$||\mathbf{u}-\mathbf{v}||=\sqrt{4^2+(-1{)}^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$

La figura 3 muestra los vectores u, v y u - v. Cuando el vector u - v se suma a v, el resultado es u. Observe que en la figura 3 el paralelogramo revela que la distancia de u a v es la misma que la distancia de u - v a 0.

Propiedad de la Distancia

Para u y v en ℝⁿ, la distancia entre u y v, que se escribe como dist(u, v), es la longitud del vector u - v: $\text{dist}(\mathbf{u},\mathbf{v})=||\mathbf{u}-\mathbf{v}||$

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4. Vectores Ortogonales

4.1 Definición de Ortogonalidad

El resto de este capítulo depende del hecho de que el concepto de rectas perpendiculares de geometría euclidiana tiene un análogo en ℝⁿ.

Definición - Vectores Ortogonales

Dos vectores u y v en ℝⁿ son ortogonales (entre sí) si y solo si u · v = 0.

Notación: u ⊥ v significa que u y v son ortogonales.

Observación Importante

Observe que el vector cero es ortogonal a todo vector en ℝⁿ porque 0ᵀv = 0 para toda v.

4.2 Teorema de Pitágoras

Teorema 2 - Teorema de Pitágoras

Dos vectores u y v son ortogonales si y solo si ||u + v||² = ||u||² + ||v||².

Demostración:

Ahora: $[\text{dist}(\mathbf{u},\mathbf{v}){]}^2=||\mathbf{u}-\mathbf{v}|{|}^2=(\mathbf{u}-\mathbf{v})\cdot (\mathbf{u}-\mathbf{v})$

$=\mathbf{u}\cdot (\mathbf{u}-\mathbf{v})-\mathbf{v}\cdot (\mathbf{u}-\mathbf{v})$

$=\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}-\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}-\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}+\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}$

$=||\mathbf{u}|{|}^2+||\mathbf{v}|{|}^2-2\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}$ (usando Teorema 1(a) y (b))

Las dos distancias al cuadrado son iguales si y solo si 2u · v = 2u · v, lo que ocurre si y solo si u · v = 0.

Interpretación Geométrica

Este cálculo demuestra que cuando los vectores u y v se identifican con puntos geométricos, las rectas correspondientes que pasan por los puntos y por el origen determinado por los vectores u y v son geométricamente perpendiculares si y solo si u · v = 0.

4.3 Ejemplos de Ortogonalidad

Ejemplo: Determinación de Ortogonalidad

Los siguientes cálculos con v y y - ŷ intercambiados indican que:

$[\text{dist}(\mathbf{u},-\mathbf{v}){]}^2=||\mathbf{u}-(-\mathbf{v})|{|}^2=||\mathbf{u}+\mathbf{v}|{|}^2-2\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}$

Los mismos cálculos con v y -v intercambiados indican que:

$[\text{dist}(\mathbf{u},-\mathbf{v}){]}^2=||\mathbf{u}-(-\mathbf{v})|{|}^2=||\mathbf{u}+\mathbf{v}|{|}^2$

Las dos distancias al cuadrado son iguales si y solo si 2u · v = -2u · v, lo que ocurre si y solo si u · v = 0.

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5. Complementos Ortogonales

5.1 Definición de Complemento Ortogonal

Para practicar el uso de productos interiores, aquí se introduce un concepto que será un paso clave en muchos cálculos que implican ortogonalidad, y que conducirá a una interpretación geométrica del teorema 5.

Definición - Complemento Ortogonal

Si W es un subespacio de ℝⁿ, entonces el complemento ortogonal de W es el conjunto W⊥ (que se lee “W perpendicular”) de todos los vectores z que son ortogonales a cada vector en W. Es decir:

$W^{\perp }=\{\mathbf{z}:\mathbf{z}\cdot \mathbf{w}=0\text{ para todo }\mathbf{w}\text{ en }W\}$

Propiedad Importante

• Un vector x está en W⊥ si y solo si x es ortogonal a cada vector de cualquier conjunto que genere a W.
• W⊥ es un subespacio de ℝⁿ.

5.2 Ejemplo de Complemento Ortogonal

Ejemplo 6:

Sean W un plano a través del origen en ℝ³, y L la recta que pasa por el origen y es perpendicular a W

Si z y w son distintos de cero, z está sobre L y w está en W, entonces el segmento de recta de 0 a w es perpendicular al segmento de recta de 0 a z. Es decir, z · w = 0. En efecto, L consiste en todos los vectores que son ortogonales a todos los vectores w en W, y W consiste en todos los vectores ortogonales a todos los vectores z en L. Es decir:

$L=W^{\perp }\text{y}W=L^{\perp }$

5.3 Teorema sobre Complementos Ortogonales

Teorema 3 - Regla Fila-Columna para Complementos Ortogonales

Sea A una matriz de m × n. El complemento ortogonal del espacio fila de A es el espacio nulo de A, y el complemento ortogonal del espacio columna de A es el espacio nulo de Aᵀ:

$(FilA{)}^{\perp }=NulA\text{y}(ColA{)}^{\perp }=Nul{A}^T$

Demostración

Demostración de la regla fila-columna: La regla fila-columna para calcular x indica que si x está en Nul A, entonces x es ortogonal a cada fila de A (con las filas consideradas como vectores en ℝⁿ). Como las filas de A generan el espacio fila, entonces x es ortogonal a Fil A. Es decir, Nul A ⊆ (Fil A)⊥.

Ya que este enunciado es verdadero para cualquier matriz, es válido para Aᵀ. Es decir, el complemento ortogonal del espacio fila de Aᵀ es el espacio nulo de Aᵀ. Puesto que Fil Aᵀ = Col A, entonces (Col A)⊥ = Nul Aᵀ. Esto demuestra la segunda afirmación porque Fil A = Col Aᵀ.

5.4 Ángulos en ℝ² y ℝ³ (Opcional)

Si u y v son vectores distintos de cero en ℝ² o ℝ³, entonces existe una agradable conexión entre su producto interior y el ángulo θ entre los dos segmentos de recta que van del origen a los puntos identificados con u y v. La fórmula es:

Fórmula del Ángulo

$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=||\mathbf{u}||\cdot ||\mathbf{v}||\cos \theta$

Si se desea comprobar esta fórmula para vectores en ℝ², considere el triángulo que se ilustra en la figura 9, con lados de longitudes ||u||, ||v|| y ||u - v||. De acuerdo con la ley de los cosenos:

$||\mathbf{u}-\mathbf{v}|{|}^2=||\mathbf{u}|{|}^2+||\mathbf{v}|{|}^2-2||\mathbf{u}||\cdot ||\mathbf{v}||\cos \theta$

que se puede reordenar para obtener:

$||\mathbf{u}||\cdot ||\mathbf{v}||\cos \theta =\frac{1}{2}[||\mathbf{u}|{|}^2+||\mathbf{v}|{|}^2-||\mathbf{u}-\mathbf{v}|{|}^2]$

Interpretación

La comprobación es similar para ℝ³. Cuando n > 3, la fórmula (2) se puede utilizar para definir el ángulo entre dos vectores en ℝⁿ.

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Producto Interior: u · v = uᵀv = u₁v₁ + u₂v₂ + … + uₙvₙ
2. Longitud de un Vector: ||v|| = √(v · v) = √(v₁² + v₂² + … + vₙ²)
3. Vector Unitario: Un vector con longitud 1, obtenido normalizando: u = v/||v||
4. Distancia entre Vectores: dist(u, v) = ||u - v||
5. Vectores Ortogonales: u ⊥ v si y solo si u · v = 0
6. Teorema de Pitágoras: ||u + v||² = ||u||² + ||v||² si u ⊥ v
7. Complemento Ortogonal: W⊥ = {z : z · w = 0 para todo w en W}
8. Regla Fila-Columna: (Fil A)⊥ = Nul A y (Col A)⊥ = Nul Aᵀ

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Confundir producto interior con multiplicación de matrices

• Incorrecto: Pensar que u · v produce un vector o una matriz
• Correcto: El producto interior u · v siempre produce un escalar (número real)

Error 2: Olvidar que la longitud es siempre no negativa

• Problema: Calcular ||v|| y obtener un valor negativo
• Solución: Verificar los cálculos; ||v|| = √(v · v) ≥ 0 siempre

Error 3: Confundir ortogonalidad con paralelismo

• Incorrecto: Pensar que si u · v = 0, entonces u y v son paralelos
• Correcto: Si u · v = 0, entonces u y v son perpendiculares (ortogonales)

Error 4: No considerar el vector cero en ortogonalidad

• Problema: Olvidar que 0 es ortogonal a todo vector
• Solución: Recordar que 0 · v = 0 para cualquier vector v

Error 5: Confundir complemento ortogonal con complemento de conjuntos

• Incorrecto: Pensar que W⊥ contiene todos los vectores que NO están en W
• Correcto: W⊥ contiene los vectores ortogonales a TODOS los vectores de W

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios Nivel Básico (1-8)

Cálculos básicos de producto interior y longitud

1. Calcule u · v, v · u, y (1/u · u)u para los vectores dados
2. Encuentre un vector unitario u en la dirección de c
3. Demuestre que d es ortogonal a c
4. Determine qué pares de vectores son ortogonales

Ejercicios Nivel Intermedio (9-18)

Aplicaciones de distancia y normalización

5. Encuentre la distancia entre u y v
6. Calcule la distancia entre los vectores dados
7. Normalice los vectores para obtener vectores unitarios
8. Determine si los conjuntos de vectores dados son ortogonales
9. Encuentre un vector unitario u y un vector ortogonal a u

Ejercicios Nivel Avanzado (19-32)

Complementos ortogonales y demostraciones

10. Marque cada enunciado como verdadero o falso y justifique su respuesta:
    • a) ||v|| = √(v · v)
    • b) Para cualquier escalar c, u(cv) = c(u · v)
    • c) Si la distancia de u a v es igual a la distancia de u a -v, entonces u y v son ortogonales
    • d) Si las columnas de U generan un subespacio W, entonces los vectores en Nul U son ortogonales a los vectores en Nul Uᵀ
    • e) Si los vectores v₁, …, vₚ generan un subespacio W y si x es ortogonal a cada vⱼ para j = 1, …, p, entonces x está en W⊥

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 6.1: Producto interior, longitud y ortogonalidad, págs. 330-336

Enlaces Relacionados

• 33) Espacios Vectoriales - Repaso de subespacios
• 35) Conjuntos Ortogonales - Continuación con bases ortogonales
• Producto-Interior
• Ortogonalidad
• Complemento-Ortogonal

Conexión con Temas Futuros

Anticipando Proyecciones Ortogonales

Los conceptos de ortogonalidad desarrollados en esta clase son fundamentales para entender las proyecciones ortogonales en la próxima clase. La idea de descomponer un vector en componentes ortogonales será esencial para resolver problemas de mínimos cuadrados y encontrar aproximaciones óptimas.

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Sugerencia de Estudio

El producto interior es la base de toda la geometría en espacios vectoriales. Practica calculando productos interiores mentalmente para vectores pequeños y memoriza las propiedades del Teorema 1. La ortogonalidad es un concepto visual: dibuja vectores en ℝ² para desarrollar intuición geométrica antes de generalizar a ℝⁿ. Los ejercicios de normalización son excelentes para practicar manipulación algebraica.

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo calcular el producto interior de dos vectores rápidamente
• Entiendo las cuatro propiedades fundamentales del producto interior (Teorema 1)
• Sé calcular la longitud (norma) de cualquier vector en ℝⁿ
• Puedo normalizar un vector para obtener un vector unitario
• Comprendo cómo calcular la distancia entre dos vectores
• Sé determinar si dos vectores son ortogonales verificando si su producto interior es cero
• Entiendo el Teorema de Pitágoras para vectores ortogonales
• Puedo identificar el complemento ortogonal de un subespacio
• Comprendo la regla fila-columna para complementos ortogonales (Teorema 3)
• Puedo aplicar estos conceptos a problemas geométricos en ℝ² y ℝ³

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