35) Conjuntos Ortogonales

Clase 35: Conjuntos Ortogonales

📚 Introducción

Se dice que un conjunto de vectores {u₁, …, uₚ} en ℝⁿ es un conjunto ortogonal si cada par de distintos vectores del conjunto es ortogonal, es decir, si uᵢ · uⱼ = 0 siempre que i ≠ j.

El siguiente teorema sugiere por qué una base ortogonal es mucho más agradable que otras bases. Los pesos en una combinación lineal se pueden calcular fácilmente. Observe que el teorema requiere que la base sea ortogonal.

Esta clase explora las propiedades de las bases ortogonales y ortonormales, que son fundamentales para muchos algoritmos computacionales en álgebra lineal numérica. Las secciones restantes examinan algunos de los muchos problemas de mínimos cuadrados que surgen en las aplicaciones, incluyendo aquellas en espacios más generales que ℝⁿ.

Objetivos de la Clase

• Comprender el concepto de conjunto ortogonal y sus propiedades fundamentales
• Dominar el cálculo de proyecciones ortogonales sobre subespacios
• Aplicar el concepto de descomposición ortogonal de vectores
• Comprender las ventajas de trabajar con bases ortonormales
• Dominar las propiedades de matrices con columnas ortonormales

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1. Conjuntos Ortogonales

1.1 Definición y Propiedades Básicas

Definición - Conjunto Ortogonal

Un conjunto de vectores {u₁, …, uₚ} en ℝⁿ es un conjunto ortogonal si cada par de distintos vectores del conjunto es ortogonal, es decir:

${\mathbf{u}}_i\cdot {\mathbf{u}}_j=0\text{siempre que }i\ne j$

Teorema 4 - Independencia Lineal de Conjuntos Ortogonales

Si S = {u₁, …, uₚ} es un conjunto ortogonal de vectores distintos de cero en ℝⁿ, entonces S es linealmente independiente y, por lo tanto, es una base para el subespacio generado por S.

Demostración: Como en la demostración anterior, la ortogonalidad de {u₁, …, uₚ} demuestra que:

$0=c_1{\mathbf{u}}_1+\cdots +c_p{\mathbf{u}}_p$

$0=(c_1{\mathbf{u}}_1)\cdot {\mathbf{u}}_1+(c_2{\mathbf{u}}_2)\cdot {\mathbf{u}}_1+\cdots +(c_p{\mathbf{u}}_p)\cdot {\mathbf{u}}_1$

$=c_1({\mathbf{u}}_1\cdot {\mathbf{u}}_1)$

ya que u₁ es ortogonal a u₂, …, uₚ. Como u₁ es diferente de cero, entonces u₁ · u₁ no es cero y así c₁ = 0. De manera similar, c₂, …, cₚ deben ser cero. Por lo tanto, S es linealmente independiente.

Observación Importante

Una base ortogonal para un subespacio W de ℝⁿ es una base para W que también es un conjunto ortogonal.

1.2 Ejemplo de Conjunto Ortogonal

Ejemplo 1: Demuestre que { u₁, u₂, u₃} es un conjunto ortogonal

donde: ${\mathbf{u}}_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{u}}_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{u}}_3=\left[\begin{array}{c}-1/2\\ -2\\ 7/2\end{array}\right]$

Solución:

Considere los tres posibles pares de vectores distintos, a saber, {u₁, u₂}, {u₁, u₃} y {u₂, u₃}:

${\mathbf{u}}_1\cdot {\mathbf{u}}_2=3(-1)+1(2)+1(1)=0$

${\mathbf{u}}_1\cdot {\mathbf{u}}_3=3(-1/2)+1(-2)+1(7/2)=0$

${\mathbf{u}}_2\cdot {\mathbf{u}}_3=(-1)(-1/2)+2(-2)+1(7/2)=0$

Cada par de vectores diferentes es ortogonal, y así {u₁, u₂, u₃} es un conjunto ortogonal. Véase la figura 1; ahí los tres segmentos de recta son mutuamente perpendiculares.

1.3 Cálculo de Pesos en Combinaciones Lineales

Teorema 5 - Cálculo de Pesos en Bases Ortogonales

Sea {u₁, …, uₚ} una base ortogonal para un subespacio W de ℝⁿ. Para cada y en W, los pesos en la combinación lineal:

$\mathbf{y}=c_1{\mathbf{u}}_1+\cdots +c_p{\mathbf{u}}_p$

están dados por:

$c_j=\frac{\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_j}{{\mathbf{u}}_j\cdot {\mathbf{u}}_j}(j=1,\dots ,p)$

Demostración

Como en la demostración anterior, la ortogonalidad de {u₁, …, uₚ} demuestra que:

$\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_1=(c_1{\mathbf{u}}_1+\cdots +c_p{\mathbf{u}}_p)\cdot {\mathbf{u}}_1=c_1({\mathbf{u}}_1\cdot {\mathbf{u}}_1)$

Puesto que u₁ · u₁ no es cero, en la ecuación anterior se puede despejar c₁. Para encontrar cⱼ, considerando j = 2, …, p, calcule y · uⱼ y despeje cⱼ.

Ejemplo 2: El conjunto S = { u₁, u₂, u₃} del ejemplo 1 es una base ortogonal para ℝ³

Exprese el vector y = $\left[\begin{array}{c}6\\ 1\\ -8\end{array}\right]$ como una combinación lineal de los vectores en S.

Solución:

Calcule: $\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_1=\left[\begin{array}{c}6\\ 1\\ -8\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}3\\ 1\\ 1\end{array}\right]=11$

${\mathbf{u}}_1\cdot {\mathbf{u}}_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\\ 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}3\\ 1\\ 1\end{array}\right]=11$

$\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_2=\left[\begin{array}{c}6\\ 1\\ -8\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right]=-12$

${\mathbf{u}}_2\cdot {\mathbf{u}}_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right]=6$

La proyección ortogonal de y sobre u es:

$\hat{\mathbf{y}}=\frac{\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_1}{{\mathbf{u}}_1\cdot {\mathbf{u}}_1}{\mathbf{u}}_1=\frac{11}{11}{\mathbf{u}}_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\\ 1\end{array}\right]$

y la componente de y ortogonal a u es:

$\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}=\left[\begin{array}{c}6\\ 1\\ -8\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}3\\ 1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 0\\ -9\end{array}\right]$

Por el teorema 5:

$\mathbf{y}=\frac{\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_1}{{\mathbf{u}}_1\cdot {\mathbf{u}}_1}{\mathbf{u}}_1+\frac{\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_2}{{\mathbf{u}}_2\cdot {\mathbf{u}}_2}{\mathbf{u}}_2+\frac{\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_3}{{\mathbf{u}}_3\cdot {\mathbf{u}}_3}{\mathbf{u}}_3$

$=\frac{11}{11}{\mathbf{u}}_1+\frac{-12}{6}{\mathbf{u}}_2+\frac{-33}{33/2}{\mathbf{u}}_3={\mathbf{u}}_1-2{\mathbf{u}}_2-2{\mathbf{u}}_3$

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2. Proyección Ortogonal

2.1 Concepto de Proyección

Dado un vector no cero u distinto de cero en ℝⁿ, considere el problema de descomponer un vector y en ℝⁿ en la suma de dos vectores, siendo uno un múltiplo de u y el otro ortogonal a u. Se desea escribir:

$\mathbf{y}=\hat{\mathbf{y}}+\mathbf{z}$

donde ŷ = αu para algún escalar α, y z es algún vector ortogonal a u. Véase la figura 2.

Definición - Proyección Ortogonal

Dado cualquier escalar α, sea z = y - αu, tal que la ecuación (1) se satisface. Entonces:

$0=(\mathbf{y}-\alpha \mathbf{u})\cdot \mathbf{u}=\mathbf{y}\cdot \mathbf{u}-(\alpha \mathbf{u})\cdot \mathbf{u}=\mathbf{y}\cdot \mathbf{u}-\alpha (\mathbf{u}\cdot \mathbf{u})$

Es decir, la ecuación (1) se satisface con z ortogonal a u si y solo si:

$\alpha =\frac{\mathbf{y}\cdot \mathbf{u}}{\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}}\text{y}\hat{\mathbf{y}}=\frac{\mathbf{y}\cdot \mathbf{u}}{\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}}\mathbf{u}$

El vector ŷ es la proyección ortogonal de y sobre u, y el vector z es la componente de y ortogonal a u.

Notación

A veces ŷ se denota como proy_L y = ((y · u)/(u · u))u (donde L es el subespacio generado por u).

2.2 Ejemplo de Proyección Ortogonal

Ejemplo 3: Sean y = \begin{bmatrix} 7 \\ 6 \end{bmatrix} y u = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \end{bmatrix}

Encuentre la proyección ortogonal de y sobre u. Después escriba y como la suma de dos vectores ortogonales, uno en Gen {u} y el otro ortogonal a u.

Solución:

Calcule: $\mathbf{y}\cdot \mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}7\\ 6\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right]=40$

$\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right]=20$

La proyección ortogonal de y sobre u es:

$\hat{\mathbf{y}}=\frac{\mathbf{y}\cdot \mathbf{u}}{\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}}\mathbf{u}=\frac{40}{20}\mathbf{u}=2\left[\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right]$

y la componente de y ortogonal a u es:

$\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}=\left[\begin{array}{c}7\\ 6\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$

La suma de esos dos vectores es y. Es decir:

$\left[\begin{array}{c}7\\ 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]$

Para comprobar que los cálculos anteriores son correctos, determine:

$\hat{\mathbf{y}}\cdot (\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}})=\left[\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]=-8+8=0$

2.3 Proyección sobre Subespacios de Dimensión Mayor

Proyección sobre Subespacios Generales

Si {u₁, …, uₚ} es una base ortogonal para un subespacio W de ℝⁿ. Para cada y en W, los pesos en la combinación lineal:

$\mathbf{y}=c_1{\mathbf{u}}_1+\cdots +c_p{\mathbf{u}}_p$

están dados por:

$c_j=\frac{\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_j}{{\mathbf{u}}_j\cdot {\mathbf{u}}_j}$

Es decir, la ecuación (3) expresa a cada y en Gen {u₁, …, uₚ} en la suma de sus proyecciones sobre subespacios unidimensionales que son mutuamente ortogonales.

2.4 Una Interpretación Geométrica del Teorema 5

En la ecuación (2), la fórmula para la proyección ortogonal ŷ tiene la misma apariencia que cada uno de los términos en el teorema 5. Así, el teorema 5 descompone a cada y en Gen {u₁, …, uₚ} en una suma de proyecciones sobre subespacios unidimensionales que son mutuamente ortogonales. Véase la figura 4.

Interpretación Geométrica

Es fácil visualizar el caso en el cual W = ℝ² = Gen {u₁, u₂}, con u₁ y u₂ ortogonales. Cualquier y en ℝ² se puede escribir en la forma:

$\mathbf{y}=\frac{\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_1}{{\mathbf{u}}_1\cdot {\mathbf{u}}_1}{\mathbf{u}}_1+\frac{\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_2}{{\mathbf{u}}_2\cdot {\mathbf{u}}_2}{\mathbf{u}}_2$

El primer término en (3) es la proyección de y sobre el subespacio generado por u₁ (la recta que pasa por u₁ y por el origen), y el segundo término es la proyección de y sobre el subespacio generado por u₂. Véase la figura 4.

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3. Conjuntos Ortonormales

3.1 Definición de Conjunto Ortonormal

Definición - Conjunto Ortonormal

Un conjunto {u₁, …, uₚ} es un conjunto ortonormal si es un conjunto ortogonal de vectores unitarios. Si W es el subespacio generado por tal conjunto, entonces {u₁, …, uₚ} es una base ortonormal para W, porque el conjunto es linealmente independiente de manera automática, de acuerdo con al teorema 4.

Observación

El ejemplo más sencillo de un conjunto ortonormal es la base estándar {e₁, …, eₙ} para ℝⁿ. Cualquier subconjunto no vacío de {e₁, …, eₙ} también es ortonormal.

3.2 Ejemplo de Conjunto Ortonormal

Ejemplo 5: Demuestre que { v₁, v₂, v₃} es una base ortonormal de ℝ³

donde: ${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}3/\sqrt{11}\\ 1/\sqrt{11}\\ 1/\sqrt{11}\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}-1/\sqrt{6}\\ 2/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{6}\end{array}\right],{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}-1/\sqrt{66}\\ -4/\sqrt{66}\\ 7/\sqrt{66}\end{array}\right]$

Solución:

Calcule: ${\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_2=-3/\sqrt{66}+2/\sqrt{66}+1/\sqrt{66}=0$

${\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_3=-3/\sqrt{726}-4/\sqrt{726}+7/\sqrt{726}=0$

${\mathbf{v}}_2\cdot {\mathbf{v}}_3=1/\sqrt{396}-8/\sqrt{396}+7/\sqrt{396}=0$

sí {v₁, v₂, v₃} es un conjunto ortogonal. Además:

${\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_1=9/11+1/11+1/11=1$

${\mathbf{v}}_2\cdot {\mathbf{v}}_2=1/6+4/6+1/6=1$

${\mathbf{v}}_3\cdot {\mathbf{v}}_3=1/66+16/66+49/66=1$

que muestra que v₁, v₂ y v₃ son vectores unitarios. sí, {v₁, v₂, v₃} es un conjunto ortonormal. Como el conjunto es linealmente independiente de manera automática, entonces sus tres vectores forman una base para ℝ³. Véase la figura 6.

Simplificación con Bases Ortonormales

Cuando los vectores en un conjunto ortogonal se normalizan para que tengan longitud unitaria, los nuevos vectores seguirán siendo ortogonales, por lo que el nuevo conjunto será ortonormal. Véase el ejercicio 23. En la figura 6 (ejemplo 5) es sencillo comprobar que los vectores son simplemente los vectores unitarios en las direcciones de los vectores de la figura 1 (ejemplo 1).

3.3 Cálculo con Bases Ortonormales

Expresión en Bases Ortonormales

Si {u₁, …, uₚ} es una base ortonormal para un subespacio W de ℝⁿ, entonces:

$\mathbf{y}=(\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_1){\mathbf{u}}_1+(\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_2){\mathbf{u}}_2+\cdots +(\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_p){\mathbf{u}}_p$

para cada y en W.

Ejemplo: Cálculo con Base Ortonormal

El conjunto S = {v₁, v₂, v₃} del ejemplo 5 es una base ortonormal para ℝ³. Exprese el vector y = $\left[\begin{array}{c}6\\ 1\\ -8\end{array}\right]$ como una combinación lineal de los vectores en S.

Solución:

Calcule: $\mathbf{y}\cdot {\mathbf{v}}_1=11,\mathbf{y}\cdot {\mathbf{v}}_2=-12,\mathbf{y}\cdot {\mathbf{v}}_3=-33$

${\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_1=11,{\mathbf{v}}_2\cdot {\mathbf{v}}_2=6,{\mathbf{v}}_3\cdot {\mathbf{v}}_3=33/2$

Por el teorema 5:

$\mathbf{y}=\frac{11}{\sqrt{11}}{\mathbf{v}}_1+\frac{-12}{\sqrt{6}}{\mathbf{v}}_2+\frac{-33}{\sqrt{66}}{\mathbf{v}}_3$

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4. Matrices con Columnas Ortonormales

4.1 Propiedades de Matrices Ortogonales

Las matrices cuyas columnas forman un conjunto ortonormal son importantes en álgebra lineal numérica. Sus propiedades fundamentales se exponen en los teoremas 6 y 7.

Teorema 6 - Matriz con Columnas Ortonormales

Una matriz U de m × n tiene columnas ortonormales si y solo si UᵀU = I.

Demostración: Para simplificar la notación, suponga que U solo tiene tres columnas, cada una un vector en ℝᵐ. Sea U = [u₁ u₂ u₃] y calcule:

$U^{T}U=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{u}}_1^T\\ {\mathbf{u}}_2^T\\ {\mathbf{u}}_3^T\end{array}\right][{\mathbf{u}}_1{\mathbf{u}}_2{\mathbf{u}}_3]=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{u}}_1^T{\mathbf{u}}_1& {\mathbf{u}}_1^T{\mathbf{u}}_2& {\mathbf{u}}_1^T{\mathbf{u}}_3\\ {\mathbf{u}}_2^T{\mathbf{u}}_1& {\mathbf{u}}_2^T{\mathbf{u}}_2& {\mathbf{u}}_2^T{\mathbf{u}}_3\\ {\mathbf{u}}_3^T{\mathbf{u}}_1& {\mathbf{u}}_3^T{\mathbf{u}}_2& {\mathbf{u}}_3^T{\mathbf{u}}_3\end{array}\right]$

Las entradas en la matriz de la derecha son productos interiores, empleando la notación transpuesta. Las columnas de U son ortonormales si y solo si:

${\mathbf{u}}_1^T{\mathbf{u}}_2={\mathbf{u}}_2^T{\mathbf{u}}_1=0,{\mathbf{u}}_1^T{\mathbf{u}}_3={\mathbf{u}}_3^T{\mathbf{u}}_1=0,{\mathbf{u}}_2^T{\mathbf{u}}_3={\mathbf{u}}_3^T{\mathbf{u}}_2=0$

Todas las columnas de U tienen longitud unitaria si y solo si:

${\mathbf{u}}_1^T{\mathbf{u}}_1=1,{\mathbf{u}}_2^T{\mathbf{u}}_2=1,{\mathbf{u}}_3^T{\mathbf{u}}_3=1$

El teorema se deduce inmediatamente de las ecuaciones (4) a (6).

Teorema 7 - Preservación de Longitudes y Ortogonalidad

Sea U una matriz de m × n con columnas ortonormales, y x y y estén en ℝⁿ. Entonces:

a) ||Ux|| = ||x||

b) (Ux) · (Uy) = x · y

c) (Ux) · (Uy) = 0 si y solo si x · y = 0

Interpretación

Las propiedades a) y c) dicen que el mapeo lineal x ↦ Ux preserva longitudes y ortogonalidad. Esas propiedades son importantes para muchos algoritmos computacionales. Véase el ejercicio 25 para la demostración del teorema 7.

4.2 Ejemplo de Matriz con Columnas Ortonormales

Ejemplo 6: Sean U y x como en el ejemplo 6, y y = \begin{bmatrix} -3\sqrt{2} \\ 6 \end{bmatrix}

Compruebe que Ux · Uy = x · y.

Solución:

$U=\left[\begin{array}{cc}1/\sqrt{2}& 2/3\\ 1/\sqrt{2}& -2/3\\ 0& 1/3\end{array}\right]\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ 3\end{array}\right]$

$U\mathbf{x}=\left[\begin{array}{cc}1/\sqrt{2}& 2/3\\ 1/\sqrt{2}& -2/3\\ 0& 1/3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\sqrt{2}\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ -1\\ 1\end{array}\right]$

$U\mathbf{y}=\left[\begin{array}{cc}1/\sqrt{2}& 2/3\\ 1/\sqrt{2}& -2/3\\ 0& 1/3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-3\sqrt{2}\\ 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ -7\\ 2\end{array}\right]$

Compruebe que ||Ux|| = ||x||:

$||U\mathbf{x}||=\sqrt{9+1+1}=\sqrt{11}$

$||\mathbf{x}||=\sqrt{2+9}=\sqrt{11}$

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5. Descomposición de una Fuerza en sus Componentes

5.1 Aplicación Física

La descomposición que se ilustra en la figura 4 se presenta en física cuando se aplica una fuerza a un objeto. La elección de un sistema de coordenadas adecuado permite que la fuerza se represente con un vector y en ℝ² o ℝ³. Con frecuencia el problema implica alguna dirección particular de interés, que queda representada por otro vector u. Por ejemplo, si el objeto se está moviendo en línea recta cuando se aplica la fuerza, entonces el vector u podría apuntar en la dirección de movimiento, como se muestra en la figura 5. Un paso clave en el problema es descomponer la fuerza en una componente en la dirección de u y en una componente ortogonal a u. Los cálculos serían análogos a los realizados en el ejemplo 3 anterior.

Interpretación Física

Para la física o dinámica, se considera que el problema se descompone en dos sub-problemas, uno que involucra la componente en la dirección de u y otro que involucra la componente ortogonal a u. Por ejemplo, si la fuerza se aplica a un automóvil parado sobre una pendiente inclinada, como en la figura 5, entonces la componente de la fuerza perpendicular a la pendiente no afectará el movimiento del automóvil (asumiendo que los frenos están funcionando bien).

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Conjunto Ortogonal: {u₁, …, uₚ} es ortogonal si uᵢ · uⱼ = 0 para i ≠ j
2. Independencia Lineal: Todo conjunto ortogonal de vectores no nulos es linealmente independiente
3. Proyección Ortogonal: ŷ = ((y · u)/(u · u))u
4. Pesos en Base Ortogonal: cⱼ = (y · uⱼ)/(uⱼ · uⱼ)
5. Conjunto Ortonormal: Conjunto ortogonal de vectores unitarios
6. Base Estándar: {e₁, …, eₙ} es una base ortonormal para ℝⁿ
7. Matriz Ortogonal: U tiene columnas ortonormales ⟺ UᵀU = I
8. Preservación: Ux preserva longitudes y ortogonalidad

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Confundir conjunto ortogonal con conjunto ortonormal

• Incorrecto: Pensar que un conjunto ortogonal automáticamente tiene vectores unitarios
• Correcto: Un conjunto ortogonal tiene vectores perpendiculares; ortonormal requiere además que sean unitarios

Error 2: Olvidar normalizar vectores al crear bases ortonormales

• Problema: Tomar un conjunto ortogonal y decir que es ortonormal sin verificar longitudes
• Solución: Siempre verificar ||uᵢ|| = 1 para cada vector en el conjunto

Error 3: Error en el cálculo de proyecciones

• Incorrecto: ŷ = (y · u)u
• Correcto: ŷ = ((y · u)/(u · u))u (no olvidar dividir por u · u)

Error 4: Confundir UᵀU con UUᵀ

• Problema: UᵀU = I no implica que UUᵀ = I (a menos que U sea cuadrada)
• Solución: UᵀU = I solo garantiza que las columnas son ortonormales

Error 5: No verificar ortogonalidad de todos los pares

• Incorrecto: Verificar solo algunos pares de vectores en un conjunto
• Correcto: Para n vectores, verificar todos los n(n-1)/2 pares posibles

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios Nivel Básico (1-6)

Verificación de ortogonalidad y ortonormalidad

1. Determine qué conjuntos de vectores son ortogonales
2. Verifique que los vectores dados forman un conjunto ortonormal
3. Calcule proyecciones ortogonales de vectores simples
4. Encuentre la componente ortogonal de y respecto a u
5. Normalice vectores dados para formar un conjunto ortonormal

Ejercicios Nivel Intermedio (7-18)

Bases ortogonales y cálculo de coordenadas

6. Exprese un vector dado como combinación lineal de una base ortogonal
7. Encuentre las coordenadas de un vector en una base ortonormal
8. Verifique que UᵀU = I para matrices dadas
9. Demuestre que ciertos vectores forman una base ortogonal para un subespacio
10. Calcule proyecciones sobre subespacios de dimensión mayor que 1

Ejercicios Nivel Avanzado (19-32)

Aplicaciones y demostraciones

11. Demuestre que si S es ortogonal, entonces al normalizar se obtiene un conjunto ortonormal
12. Pruebe propiedades de matrices con columnas ortonormales
13. Aplique descomposición ortogonal a problemas de física
14. Demuestre el teorema 7 completo
15. Encuentre bases ortonormales para complementos ortogonales

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 6.2: Conjuntos ortogonales, págs. 338-344

Enlaces Relacionados

• 34) Producto Interior, Longitud y Ortogonalidad - Fundamentos de ortogonalidad
• 36) Proyecciones Ortogonales - Aplicaciones avanzadas
• Conjunto-Ortogonal
• Conjunto-Ortonormal
• Proyeccion-Ortogonal
• Matriz-Ortogonal

Conexión con Temas Futuros

Anticipando Proceso de Gram-Schmidt

Los conceptos de proyección ortogonal desarrollados aquí son la base del proceso de Gram-Schmidt, que permite convertir cualquier base en una base ortonormal. Este proceso es fundamental para muchos algoritmos numéricos y será estudiado en la siguiente sección.

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Sugerencia de Estudio

Las bases ortonormales son mucho más fáciles de trabajar que las bases ortogonales. Memoriza la fórmula de proyección ortogonal, ya que aparece constantemente en álgebra lineal aplicada. Practica verificando ortogonalidad calculando todos los productos interiores posibles. La propiedad UᵀU = I es fundamental en álgebra lineal computacional: entiende por qué matrices con esta propiedad son tan importantes para la estabilidad numérica.

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo determinar si un conjunto de vectores es ortogonal verificando todos los productos interiores
• Sé calcular la proyección ortogonal de un vector sobre otro vector
• Comprendo cómo descomponer un vector en componente paralela y ortogonal
• Puedo expresar cualquier vector como combinación lineal usando el Teorema 5
• Entiendo la diferencia entre conjunto ortogonal y ortonormal
• Sé normalizar vectores de un conjunto ortogonal para obtener un conjunto ortonormal
• Puedo verificar si una matriz tiene columnas ortonormales usando UᵀU = I
• Comprendo que Ux preserva longitudes cuando U tiene columnas ortonormales
• Puedo aplicar proyecciones ortogonales a problemas de física
• Entiendo la interpretación geométrica del Teorema 5 en ℝ² y ℝ³

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