36) Proyecciones Ortogonales

Clase 36: Proyecciones Ortogonales

📚 Introducción

La proyección ortogonal de un punto en ℝ² sobre una recta que pasa por el origen tiene una importante analogía en ℝⁿ. Dado un vector y y un subespacio W en ℝⁿ, existe un vector ŷ en W tal que: 1. ŷ es el único vector en W para el cual y - ŷ es ortogonal a W, y 2. ŷ es el único vector en W más cercano a y.

Estas dos propiedades de ŷ dan la clave para encontrar las soluciones de mínimos cuadrados de sistemas lineales, que se mencionaron en el ejemplo introductorio de este capítulo. En la sección 6.5 se contará la historia completa.

Como preparación para el primer teorema, observe que siempre que un vector y se representa como una combinación lineal de vectores u₁,…, uₚ en ℝⁿ, los términos en la suma para y se pueden agrupar en dos partes de manera que y se representa como y = z₁ + z₂, donde z₁ es una combinación lineal de algunas uᵢ, y z₂ es una combinación lineal de las uᵢ restantes. Esta idea es útil en particular cuando {u₁,…, uₚ} es una base ortogonal.

Objetivos de la Clase

• Comprender el teorema de descomposición ortogonal y sus aplicaciones
• Dominar el cálculo de proyecciones ortogonales sobre subespacios
• Aplicar el teorema de la mejor aproximación para minimizar distancias
• Comprender las propiedades de las matrices de proyección
• Identificar cuándo usar proyecciones ortogonales en problemas aplicados

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1. Teorema de Descomposición Ortogonal

1.1 Descomposición en Suma de Subespacios

Ejemplo 1: Descomposición de un vector

Sea {u₁,…, u₅} una base ortogonal para ℝ⁵ y: $\mathbf{y}=c_1{\mathbf{u}}_1+\cdots +c_5{\mathbf{u}}_5$

Considere el subespacio W = Gen {u₁, u₂}, y escriba y como la suma de un vector z₁ en W y un vector z₂ en W⊥.

Solución:

Escriba: $\mathbf{y}=\underset{{\mathbf{z}}_1}{\underbrace{c_1{\mathbf{u}}_1+c_2{\mathbf{u}}_2}}+\underset{{\mathbf{z}}_2}{\underbrace{c_3{\mathbf{u}}_3+c_4{\mathbf{u}}_4+c_5{\mathbf{u}}_5}}$

donde z₁ = c₁u₁ + c₂u₂ está en Gen {u₁, u₂}

y z₂ = c₃u₃ + c₄u₄ + c₅u₅ está en Gen {u₃, u₄, u₅}.

Para demostrar que z₂ está en W⊥, es suficiente probar que z₂ es ortogonal a los vectores en la base {u₁, u₂} para W. Utilizando propiedades del producto interior, calcule:

${\mathbf{z}}_2\cdot {\mathbf{u}}_1=(c_3{\mathbf{u}}_3+c_4{\mathbf{u}}_4+c_5{\mathbf{u}}_5)\cdot {\mathbf{u}}_1$ $=c_3({\mathbf{u}}_3\cdot {\mathbf{u}}_1)+c_4({\mathbf{u}}_4\cdot {\mathbf{u}}_1)+c_5({\mathbf{u}}_5\cdot {\mathbf{u}}_1)=0$

ya que u₁ es ortogonal a u₃, u₄ y u₅. Un cálculo similar indica que z₂ · u₂ = 0. sí, z₂ está en W⊥.

1.2 Teorema de Descomposición Ortogonal

Teorema 8 - Teorema de Descomposición Ortogonal

Sea W un subespacio de ℝⁿ. Entonces toda y en ℝⁿ se puede escribir de forma única como:

$\mathbf{y}=\hat{\mathbf{y}}+\mathbf{z}(1)$

donde ŷ está en W y z está en W⊥. De hecho, si {u₁,…, uₚ} es cualquier base ortogonal de W, entonces:

$\hat{\mathbf{y}}=\frac{\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_1}{{\mathbf{u}}_1\cdot {\mathbf{u}}_1}{\mathbf{u}}_1+\cdots +\frac{\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_p}{{\mathbf{u}}_p\cdot {\mathbf{u}}_p}{\mathbf{u}}_p(2)$

y z = y - ŷ.

Observación

El vector ŷ en la ecuación (1) es la proyección ortogonal de y sobre W, y con frecuencia se escribe como proy_W y. Véase la figura 2. Cuando W es un subespacio unidimensional, la fórmula para ŷ coincide con la fórmula que se presentó en la sección 6.2.

1.3 Ejemplo de Descomposición Ortogonal

Ejemplo 2: Sean

y = $\left[\begin{array}{c}1\\ 4\\ 1\end{array}\right]$, u₁ = $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$, u₂ = $\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$

Observe que {u₁, u₂} es una base ortogonal para W = Gen {u₁, u₂}. Escriba y como la suma de un vector en W y de un vector ortogonal a W.

Solución:

La proyección ortogonal de y sobre W es:

$\hat{\mathbf{y}}=\frac{\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_1}{{\mathbf{u}}_1\cdot {\mathbf{u}}_1}{\mathbf{u}}_1+\frac{\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_2}{{\mathbf{u}}_2\cdot {\mathbf{u}}_2}{\mathbf{u}}_2$

$=\frac{8}{10}\left[\begin{array}{c}1\\ 4\\ 1\end{array}\right]+\frac{3}{6}\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right]=\frac{9}{30}\left[\begin{array}{c}1\\ 5\\ -1\end{array}\right]+\frac{15}{30}\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1/5\\ 1\\ 1/5\end{array}\right]$

demás,

$\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}-2/5\\ 2\\ 1/5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7/5\\ 0\\ 14/5\end{array}\right]$

El teorema 8 asegura que y - ŷ está en W⊥. Sin embargo, para comprobar los cálculos, es una buena idea comprobar que y - ŷ es ortogonal a u₁ y u₂, y por lo tanto a toda W. La descomposición deseada de y es:

$\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-2/5\\ 2\\ 1/5\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}7/5\\ 0\\ 14/5\end{array}\right]$

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2. Interpretación Geométrica de la Proyección Ortogonal

2.1 Proyección como Suma de Proyecciones Unidimensionales

Cuando W es un subespacio unidimensional, la fórmula (2) para proy_W y solo contiene un término. Así, cuando dim W > 1, cada término de la ecuación (2) es en sí mismo una proyección ortogonal de y sobre el subespacio unidimensional generado por uno de los vectores u en la base para W.

Visualización en ℝ³

La figura 3 muestra esto cuando W es un subespacio de ℝ³ generado por u₁ y u₂. Aquí, ŷ₁ y ŷ₂ denotan las proyecciones de y sobre las rectas generadas por u₁ y u₂, respectivamente. La proyección ortogonal ŷ de y sobre W es la suma de las proyecciones de y sobre subespacios unidimensionales que son ortogonales entre sí. El vector ŷ en la figura 3 corresponde al vector y de la figura 4 de la sección 6.2, porque ahora es ŷ el que está en W.

2.2 Propiedades Importantes

Propiedades de Proyecciones Ortogonales

Si {u₁,…, uₚ} es una base ortogonal para W y resulta que y está en W, entonces la fórmula para proy_W y es exactamente la misma que la representación de y en el teorema 5 de la sección 6.2. En este caso, proy_W y = y.

Si y está en W = Gen {u₁,…, uₚ}, entonces proy_W y = y.

Consecuencia del Teorema

Este resultado también se deduce del siguiente teorema, que muestra que la proyección ortogonal ŷ solo depende de W y no de la base particular empleada en la ecuación (2).

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3. Teorema de la Mejor Aproximación

3.1 El Punto Más Cercano

Teorema 9 - Teorema de la Mejor Aproximación

W es un subespacio de ℝⁿ, y es cualquier vector en ℝⁿ, y ŷ es la proyección ortogonal de y sobre W. Entonces ŷ en W es el punto más cercano a y, en el sentido de que:

$||\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}||<||\mathbf{y}-\mathbf{v}||(3)$

para toda v en W diferente de ŷ.

Interpretación

El vector ŷ del teorema 9 se llama la mejor aproximación a y por elementos de W. En secciones posteriores del libro se examinarán problemas donde una y dada se debe remplazar, o aproximar, mediante un vector v en algún subespacio W fijo. La distancia de y a v, dada por ||y - v||, se puede considerar como el “error” de usar v en lugar de y. El teorema 9 afirma que este error se minimiza cuando v = ŷ.

3.2 Demostración del Teorema 9

Demostración

Tome v en W diferente de ŷ. Véase la figura 4. Entonces ŷ - v está en W. De acuerdo con el teorema de descomposición ortogonal, y - ŷ es ortogonal a W. En particular, y - ŷ es ortogonal a ŷ - v (que está en W). Puesto que:

$\mathbf{y}-\mathbf{v}=(\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}})+(\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{v})$

entonces, al utilizar el teorema de Pitágoras, se obtiene:

$||\mathbf{y}-\mathbf{v}|{|}^2=||\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}|{|}^2+||\hat{\mathbf{y}}-\mathbf{v}|{|}^2$

(Véase el triángulo rectángulo a la derecha de la figura 4. Se indica la longitud de cada lado). Ahora ||ŷ - v||² > 0 porque ŷ - v ≠ 0, y así se deduce inmediatamente la desigualdad (3).

3.3 Ejemplo de Mejor Aproximación

Ejemplo 3: Distancia de un punto a un subespacio

Si y = $\left[\begin{array}{c}1\\ 4\\ 10\end{array}\right]$, u₁ = $\left[\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0\end{array}\right]$, u₂ = $\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$ y W = Gen {u₁, u₂}, como en el ejemplo 2, entonces el punto en W más cercano a y es:

$\hat{\mathbf{y}}=\frac{\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_1}{{\mathbf{u}}_1\cdot {\mathbf{u}}_1}{\mathbf{u}}_1+\frac{\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_2}{{\mathbf{u}}_2\cdot {\mathbf{u}}_2}{\mathbf{u}}_2=\frac{14}{10}{\mathbf{u}}_1+\frac{6}{6}{\mathbf{u}}_2$

$=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0\end{array}\right]+\frac{1}{6}\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 7\\ 3\end{array}\right]$

$\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}=\left[\begin{array}{c}1\\ 4\\ 10\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}1\\ 7\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ -3\\ 7\end{array}\right]$

$||\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}|{|}^2=0^2+(-3{)}^2+7^2=34$

La distancia de y a W es √34 = 3√5.

Ejemplo 4: La distancia de un punto y en ℝⁿ a un subespacio W

se define como la distancia de y al punto más cercano en W. Encuentre la distancia de y a W = Gen {u₁, u₂}, donde:

$\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c}1\\ 4\\ 10\end{array}\right],{\mathbf{u}}_1=\left[\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{u}}_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$

Solución:

De acuerdo con el teorema de la mejor aproximación, la distancia de y a W es ||y - ŷ||, donde ŷ = proy_W y. Ya que {u₁, u₂} es una base ortogonal para W:

$\hat{\mathbf{y}}=\frac{14}{10}{\mathbf{u}}_1+\frac{6}{6}{\mathbf{u}}_2=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}4\\ 1\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 7\\ 3\end{array}\right]$

$\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}=\left[\begin{array}{c}1\\ 4\\ 10\end{array}\right]-\left[\begin{array}{c}1\\ 7\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ -3\\ 7\end{array}\right]$

$||\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}|{|}^2=0^2+9^2=34$

La distancia de y a W es √34 ≈ 2√5.

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4. Matriz de Proyección Ortogonal

4.1 Simplificación con Bases Ortonormales

El teorema final en esta sección muestra cómo la fórmula (2) para proy_W y se simplifica cuando la base para W es un conjunto ortonormal.

Teorema 10 - Proyección con Base Ortonormal

Si {u₁,…, uₚ} es una base ortonormal para un subespacio W de ℝⁿ, entonces:

${\text{proy}}_W\mathbf{y}=(\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_1){\mathbf{u}}_1+(\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_2){\mathbf{u}}_2+\cdots +(\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_p){\mathbf{u}}_p(4)$

Si U = [u₁ u₂ ⋯ uₚ], entonces:

${\text{proy}}_W\mathbf{y}=U{U}^T\mathbf{y}\text{para toda }\mathbf{y}\text{ en }{\mathbb{R}}^n(5)$

Demostración

La fórmula (4) se obtiene inmediatamente de la ecuación (2) del teorema 8. Además, la ecuación (4) indica que proy_W y es una combinación lineal de las columnas de U empleando los pesos y · u₁, y · u₂,…, y · uₚ. Los pesos se pueden representar como u₁ᵀy, u₂ᵀy,…, uₚᵀy, probando que son las entradas en Uᵀy, y justificando la ecuación (5).

4.2 Propiedades de la Matriz de Proyección

Propiedades Importantes

Suponga que U es una matriz de n × p con columnas ortonormales, y sea W el espacio columna de U. Entonces:

• UᵀUx = Iₚx = x para toda x en ℝᵖ (Teorema 6)
• UUᵀy = proy_W y para toda y en ℝⁿ (Teorema 10)

Si U es una matriz (cuadrada) de n × n con columnas ortonormales, entonces U es una matriz ortogonal, el espacio columna W es todo de ℝⁿ, y UUᵀy = Iₚy = y para toda y en ℝⁿ.

Observación

Aunque la fórmula (4) es importante para fines teóricos, en la práctica generalmente implica algunos cálculos con raíces cuadradas de números (en las entradas de uᵢ). La fórmula (2) se recomienda para cálculos a mano.

4.3 Ejemplo de Matriz de Proyección

Ejemplo 5:

Si u₁ = $\left[\begin{array}{c}2\\ 5\\ -1\end{array}\right]$, u₂ = $\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1\end{array}\right]$, y = $\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$ y W = Gen {u₁, u₂}

como en el ejemplo 2, entonces el punto en W más cercano a y es:

$\hat{\mathbf{y}}=\frac{\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_1}{{\mathbf{u}}_1\cdot {\mathbf{u}}_1}{\mathbf{u}}_1+\frac{\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_2}{{\mathbf{u}}_2\cdot {\mathbf{u}}_2}{\mathbf{u}}_2=\left[\begin{array}{c}-2/5\\ 2\\ 1/5\end{array}\right]$

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Descomposición Ortogonal: Todo vector y = ŷ + z, con ŷ en W y z en W⊥
2. Proyección Ortogonal: ŷ = Σ((y · uᵢ)/(uᵢ · uᵢ))uᵢ para base ortogonal
3. Unicidad: La descomposición ortogonal es única para cada y
4. Mejor Aproximación: ŷ minimiza ||y - v|| para toda v en W
5. Distancia a Subespacio: dist(y, W) = ||y - ŷ||
6. Base Ortonormal: proy_W y = UUᵀy donde U tiene columnas ortonormales
7. Matriz de Proyección: P = UUᵀ proyecta sobre Col U
8. Idempotencia: P² = P para matrices de proyección ortogonal

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Confundir proyección con componente ortogonal

• Incorrecto: Pensar que y - ŷ está en W
• Correcto: ŷ está en W, y y - ŷ está en W⊥

Error 2: No verificar que la base sea ortogonal

• Problema: Usar la fórmula del Teorema 8 con una base no ortogonal
• Solución: Siempre verificar ortogonalidad antes de aplicar la fórmula de proyección

Error 3: Confundir mejor aproximación con cualquier vector en W

• Incorrecto: Pensar que cualquier v en W aproxima igual de bien a y
• Correcto: Solo ŷ = proy_W y minimiza la distancia a y

Error 4: Olvidar normalizar en bases ortonormales

• Problema: Usar Teorema 10 con base ortogonal (no ortonormal)
• Solución: El Teorema 10 requiere base ortonormal; usar Teorema 8 para bases ortogonales

Error 5: Error en el cálculo de UUᵀ

• Incorrecto: Calcular UᵀU en lugar de UUᵀ para la proyección
• Correcto: La matriz de proyección es P = UUᵀ, no UᵀU

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios Nivel Básico (1-6)

Cálculos básicos de proyección

1. En los ejercicios 1 y 2, se puede suponer que {u₁,…, u₄} es una base ortogonal para ℝ⁴
2. Escriba x como la suma de dos vectores, uno en Gen {u₁, u₂, u₃} y el otro en Gen {u₄}
3. Compruebe que {u₁, u₂} es un conjunto ortogonal, y luego encuentre la proyección ortogonal de y sobre Gen {u₁, u₂}

Ejercicios Nivel Intermedio (7-16)

Mejor aproximación y distancias

4. Sea W el subespacio generado por los vectores u, y escriba y como la suma de un vector en W y un vector ortogonal a W
5. Encuentre el punto en W más cercano a y
6. Determine las distancias de y al subespacio W
7. Calcule proy_W y usando la fórmula con base ortonormal

Ejercicios Nivel Avanzado (17-25)

Matrices de proyección y aplicaciones

8. Encuentre la matriz de proyección que proyecta sobre el subespacio W
9. Verifique que P² = P para la matriz de proyección calculada
10. Demuestre propiedades de proyecciones ortogonales
11. Aplique proyecciones a problemas de geometría analítica
12. Use proyecciones para encontrar distancias mínimas

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 6.3: Proyecciones ortogonales, págs. 347-352

Enlaces Relacionados

• 35) Conjuntos Ortogonales - Fundamentos de proyecciones
• 37) Proceso de Gram-Schmidt - Construcción de bases ortogonales
• Proyeccion-Ortogonal
• Descomposicion-Ortogonal
• Mejor-Aproximacion
• Matriz-Proyeccion

Conexión con Temas Futuros

Anticipando Mínimos Cuadrados

El teorema de la mejor aproximación es la base teórica para el método de mínimos cuadrados. En la siguiente sección veremos cómo encontrar la “mejor solución” de sistemas inconsistentes Ax = b, donde “mejor” significa minimizar ||b - Ax||. La proyección ortogonal jugará un papel central en esta teoría.

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Sugerencia de Estudio

La proyección ortogonal es uno de los conceptos más importantes en álgebra lineal aplicada. Memoriza las fórmulas del Teorema 8 y del Teorema 10, pero más importante aún, entiende la interpretación geométrica: ŷ es el punto en W más cercano a y. Esta idea aparece en estadística (regresión), procesamiento de señales (filtrado), y muchas otras aplicaciones. Practica dibujando proyecciones en ℝ² y ℝ³ para desarrollar intuición antes de trabajar en dimensiones mayores.

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Comprendo el teorema de descomposición ortogonal y puedo aplicarlo
• Sé calcular la proyección ortogonal usando el Teorema 8 (base ortogonal)
• Puedo verificar que una descomposición y = ŷ + z es correcta
• Entiendo por qué ŷ es el punto en W más cercano a y (Teorema 9)
• Puedo calcular la distancia de un punto a un subespacio
• Sé usar la fórmula simplificada del Teorema 10 (base ortonormal)
• Comprendo cómo construir la matriz de proyección P = UUᵀ
• Puedo verificar que una matriz P es una matriz de proyección (P² = P)
• Entiendo la diferencia entre UᵀU (identidad) y UUᵀ (proyección)
• Puedo aplicar proyecciones a problemas de aproximación y distancias

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