Resumen Examen

Resumen Completo - Álgebra Lineal (Clases 1-43)

📚 Preparación para Examen Final

Propósito del Documento

Este resumen exhaustivo cubre todas las 43 clases del curso de Álgebra Lineal (MAT1203), con énfasis especial en las clases 22-43 que constituyen el material avanzado del curso. Está diseñado como guía de estudio completa para el examen final.

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📋 Estructura del Resumen

Parte I: Fundamentos (Clases 1-21) - Resumen conciso Parte II: Temas Avanzados (Clases 22-43) - Tratamiento exhaustivo

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PARTE I: FUNDAMENTOS (Clases 1-21)

Capítulo 1: Vectores en ℝⁿ (Clases 1-4)

Clase 1: Geometría y Álgebra de Vectores

Conceptos Fundamentales

• Vector: Segmento de recta dirigido con magnitud, dirección y sentido
• Componentes: Coordenadas que definen un vector: $\mathbf{v}=[v_1,v_2,...,v_n]$
• Posición estándar: Vector con origen en O

Operaciones básicas:

• Suma: $\mathbf{u}+\mathbf{v}=[u_1+v_1,u_2+v_2,...,u_n+v_n]$
• Multiplicación escalar: $c\mathbf{v}=[c{v}_1,c{v}_2,...,c{v}_n]$
• Resta: $\mathbf{u}-\mathbf{v}=\mathbf{u}+(-\mathbf{v})$

Vectores unitarios estándar en ℝ²: $\hat{i}=(1,0)$, $\hat{j}=(0,1)$

Propiedades algebraicas: Conmutatividad, asociatividad, distributividad, elemento neutro, inverso aditivo

Combinación lineal: $\mathbf{y}=c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+...+c_p{\mathbf{v}}_p$

Clase 2: Producto Punto

Producto Punto

$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=u_1{v}_1+u_2{v}_2+...+u_n{v}_n={\mathbf{u}}^T\mathbf{v}$

Propiedades:

• $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}$
• $(\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot \mathbf{w}=\mathbf{u}\cdot \mathbf{w}+\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}$
• $(c\mathbf{u})\cdot \mathbf{v}=c(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v})$

Longitud (norma): $||\mathbf{v}||=\sqrt{\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}}=\sqrt{v_1^2+v_2^2+...+v_n^2}$

Distancia: $\text{dist}(\mathbf{u},\mathbf{v})=||\mathbf{u}-\mathbf{v}||$

Clase 3: Ángulos y Ecuaciones de Rectas

Ángulo entre vectores: $\cos \theta =\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{||\mathbf{u}||\cdot ||\mathbf{v}||}$

Vectores ortogonales: $\mathbf{u}\perp \mathbf{v}⟺\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=0$

Ecuación vectorial de recta: $\mathbf{r}(t)=\mathbf{p}+t\mathbf{d}$ donde p es punto y d es dirección

Ecuación paramétrica: $x=x_0+t{d}_1$, $y=y_0+t{d}_2$, $z=z_0+t{d}_3$

Clase 4: Planos en ℝ³

Ecuación vectorial: $\mathbf{n}\cdot (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_0)=0$

Ecuación escalar: $ax+by+cz=d$ donde $\mathbf{n}=(a,b,c)$ es el vector normal

Producto cruz: $\mathbf{u}\times \mathbf{v}$ es perpendicular a ambos vectores

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Capítulo 2: Sistemas de Ecuaciones Lineales (Clases 5-14)

Clases 5-8: Sistemas Lineales y Matrices

Sistema Lineal

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...+a_{2n}{x}_n=b_2\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+...+a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$

Matriz aumentada: $[A|\mathbf{b}]$

Operaciones elementales de fila:

1. Intercambio de filas
2. Multiplicación de fila por escalar no nulo
3. Suma de múltiplo de una fila a otra

Forma escalonada:

• Filas cero al final
• Pivotes a la derecha de pivotes superiores
• Entradas bajo pivotes son cero

Forma escalonada reducida:

• Forma escalonada + pivotes son 1 + entradas sobre pivotes son cero

Teorema de Existencia y Unicidad

Un sistema lineal es:

• Consistente: Tiene al menos una solución
• Inconsistente: No tiene solución

Un sistema consistente tiene:

• Solución única: Si no hay variables libres
• Infinitas soluciones: Si hay variables libres

Clases 11-12: Conjuntos Solución e Independencia Lineal

Conjunto solución de sistema homogéneo $A\mathbf{x}=0$:

• Siempre contiene $0$ (solución trivial)
• Es un subespacio vectorial

Definición - Independencia Lineal

Vectores ${\mathbf{v}}_1,...,{\mathbf{v}}_p$ son linealmente independientes si: $c_1{\mathbf{v}}_1+...+c_p{\mathbf{v}}_p=0⟹c_1=...=c_p=0$

Son linealmente dependientes si existen escalares no todos cero tal que la combinación lineal es cero.

Criterio matricial: Columnas de $A$ son linealmente independientes ⟺ $A\mathbf{x}=0$ solo tiene solución trivial

Clases 13-14: Transformaciones Lineales

Definición - Transformación Lineal

$T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ es lineal si:

1. $T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})$
2. $T(c\mathbf{u})=cT(\mathbf{u})$

Matriz estándar: $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ donde $$\begin{gathered} A=[T({\mathbf{e}}_1) \\ T({\mathbf{e}}_2) \\ ... \\ T({\mathbf{e}}_n)] \end{gathered}$$

Transformaciones importantes:

• Rotación, reflexión, proyección, dilatación, contracción

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Capítulo 3: Álgebra de Matrices (Clases 15-17)

Clase 15: Operaciones de Matrices

Suma: $(A+B{)}_{ij}=A_{ij}+B_{ij}$

Multiplicación por escalar: $(cA{)}_{ij}=c\cdot A_{ij}$

Producto matricial: $(AB{)}_{ij}={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$

Propiedades del Producto Matricial

• $(AB)C=A(BC)$ (asociativa)
• $A(B+C)=AB+AC$ (distributiva izquierda)
• $(A+B)C=AC+BC$ (distributiva derecha)
• $IM=MI=M$ (identidad)
• NO es conmutativa: $AB\ne BA$ en general

Transpuesta: $(A^T{)}_{ij}=A_{ji}$

• $(A^T{)}^T=A$
• $(A+B{)}^T=A^T+B^T$
• $(AB{)}^T=B^T{A}^T$

Clase 16: Matriz Inversa

Definición - Matriz Invertible

$A$ es invertible si existe $A^{-1}$ tal que: $A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$

Propiedades:

• $(A^{-1}{)}^{-1}=A$
• $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
• $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$

Cálculo de inversa (2×2): $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]⟹A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$

Método de Gauss-Jordan: $$\begin{gathered} [A \\ | \\ I]\sim [I \\ | \\ {A}^{-1}] \end{gathered}$$

Clase 17: Matrices Elementales

Matriz elemental: Resultado de aplicar una operación elemental a la identidad

Factorización LU: $A=LU$ donde $L$ es triangular inferior y $U$ es triangular superior

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Capítulo 4: Determinantes (Clases 18-21)

Clase 18: Definición del Determinante

Determinante 2×2: $\det \left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=ad-bc$

Determinante n×n (expansión por cofactores): $\det (A)={\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{C}_{ij}$

donde $C_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$ y $M_{ij}$ es el menor

Clase 19: Propiedades del Determinante

Propiedades Fundamentales

1. $\det (AB)=\det (A)\det (B)$
2. $\det (A^T)=\det (A)$
3. $\det (cA)=c^n\det (A)$ para matriz $n\times n$
4. Si $A$ tiene fila/columna de ceros, $\det (A)=0$
5. Si dos filas son iguales, $\det (A)=0$
6. Intercambiar filas cambia el signo
7. Matriz triangular: $\det (A)=\prod a_{ii}$

Criterio de invertibilidad: $A$ es invertible ⟺ $\det (A)\ne 0$

Clases 20-21: Regla de Cramer y Aplicaciones

Regla de Cramer: Si $\det (A)\ne 0$, entonces: $x_i=\frac{\det (A_i(\mathbf{b}))}{\det (A)}$

donde $A_i(\mathbf{b})$ es $A$ con columna $i$ reemplazada por $\mathbf{b}$

Fórmula de la inversa: $A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\text{adj}(A)$

Aplicaciones geométricas:

• Área de paralelogramo: $$\begin{gathered} |\det ([\mathbf{u} \\ \mathbf{v}])| \end{gathered}$$
• Volumen de paralelepípedo: $$\begin{gathered} |\det ([\mathbf{u} \\ \mathbf{v} \\ \mathbf{w}])| \end{gathered}$$

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PARTE II: TEMAS AVANZADOS (Clases 22-43)

Capítulo 5: Espacios Vectoriales (Clases 22-28)

Clase 22: Espacios y Subespacios Vectoriales

Definición - Espacio Vectorial

Un espacio vectorial es un conjunto $V$ con operaciones de suma y multiplicación por escalar que satisfacen 10 axiomas:

Axiomas de la Suma:

1. $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$ (conmutatividad)
2. $(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$ (asociatividad)
3. Existe $0$ tal que $\mathbf{u}+0=\mathbf{u}$
4. Para cada $\mathbf{u}$ existe $-\mathbf{u}$ tal que $\mathbf{u}+(-\mathbf{u})=0$

Axiomas de la Multiplicación por Escalar: 5. $c(\mathbf{u}+\mathbf{v})=c\mathbf{u}+c\mathbf{v}$ 6. $(c+d)\mathbf{u}=c\mathbf{u}+d\mathbf{u}$ 7. $c(d\mathbf{u})=(cd)\mathbf{u}$ 8. $1\mathbf{u}=\mathbf{u}$

Axiomas de Cierre: 9. Si $\mathbf{u},\mathbf{v}\in V$, entonces $\mathbf{u}+\mathbf{v}\in V$ 10. Si $\mathbf{u}\in V$ y $c$ escalar, entonces $c\mathbf{u}\in V$

Ejemplos de espacios vectoriales:

• ${\mathbb{R}}^n$ con operaciones usuales
• $M_{m\times n}$: Matrices de $m\times n$
• ${\mathbb{P}}_n$: Polinomios de grado ≤ n
• $\mathcal{C}[a,b]$: Funciones continuas en $[a,b]$
• Secuencias doblemente infinitas

Definición - Subespacio Vectorial

$H$ es subespacio de $V$ si:

1. $0\in H$
2. $\mathbf{u},\mathbf{v}\in H⟹\mathbf{u}+\mathbf{v}\in H$ (cerrado bajo suma)
3. $\mathbf{u}\in H,c\text{ escalar}⟹c\mathbf{u}\in H$ (cerrado bajo multiplicación escalar)

Teorema 1 - Conjunto Generado es Subespacio

Si ${\mathbf{v}}_1,...,{\mathbf{v}}_p\in V$, entonces $\text{Gen}\{{\mathbf{v}}_1,...,{\mathbf{v}}_p\}$ es un subespacio de $V$.

Ejemplos de subespacios:

• Rectas por el origen en ${\mathbb{R}}^2$
• Planos por el origen en ${\mathbb{R}}^3$
• $\{0\}$ y $V$ (subespacios triviales)

Estrategia para Verificar Subespacios

Solo necesitas verificar 3 condiciones (mucho más fácil que verificar 10 axiomas):

1. Contiene $0$
2. Cerrado bajo suma
3. Cerrado bajo multiplicación escalar

Clase 23: Bases e Independencia Lineal

Definición - Base

Una base de un subespacio $H$ es un conjunto linealmente independiente $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,...,{\mathbf{b}}_p\}$ que genera $H$.

Teorema - Representación Única

Si $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,...,{\mathbf{b}}_n\}$ es base de $V$, entonces cada $\mathbf{x}\in V$ se puede escribir de manera única como: $\mathbf{x}=c_1{\mathbf{b}}_1+...+c_n{\mathbf{b}}_n$

Los escalares $c_1,...,c_n$ son las coordenadas de x relativas a $\mathcal{B}$.

Base estándar de ${\mathbb{R}}^n$: $\{{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,...,{\mathbf{e}}_n\}$

Base estándar de ${\mathbb{P}}_n$: $\{1,t,t^2,...,t^n\}$

Método para Encontrar Base

1. Escribir vectores como columnas de matriz $A$
2. Reducir por filas a forma escalonada
3. Columnas pivote de $A$ forman base

Clase 24: Espacios Nulos y Espacios Columna

Definiciones Fundamentales

Para matriz $A$ de $m\times n$:

Espacio nulo: $\text{Nul }A=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n:A\mathbf{x}=0\}$

• Subespacio de ${\mathbb{R}}^n$
• Conjunto solución de sistema homogéneo

Espacio columna: $\text{Col }A=\{\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^m:A\mathbf{x}=\mathbf{b}\text{ es consistente}\}$

• Subespacio de ${\mathbb{R}}^m$
• Generado por columnas de $A$: $\text{Col }A=\text{Gen}\{{\mathbf{a}}_1,...,{\mathbf{a}}_n\}$

Espacio fila: $\text{Fila }A=\text{Col }(A^T)$

• Subespacio de ${\mathbb{R}}^n$
• Generado por filas de $A$

Teorema - Columnas Pivote

Las columnas pivote de $A$ forman una base de $\text{Col }A$.

Método para encontrar base de Nul $A$:

1. Resolver $A\mathbf{x}=0$
2. Expresar solución en forma paramétrica
3. Vectores de los parámetros forman base

Método para encontrar base de Col $A$:

1. Reducir $A$ a forma escalonada
2. Identificar columnas pivote
3. Columnas correspondientes de $A$ original forman base

Clase 25: Sistemas de Coordenadas

Vector de Coordenadas

Si $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,...,{\mathbf{b}}_n\}$ es base de $V$ y $\mathbf{x}=c_1{\mathbf{b}}_1+...+c_n{\mathbf{b}}_n$, entonces: $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right]$

Teorema - Isomorfismo de Coordenadas

La función $\mathbf{x}\mapsto [\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$ es:

• Uno a uno (inyectiva)
• Sobreyectiva
• Preserva operaciones lineales

Aplicación: Problemas en $V$ se pueden traducir a ${\mathbb{R}}^n$ usando coordenadas

Clase 26: Dimensión de un Espacio Vectorial

Definición - Dimensión

La dimensión de un espacio vectorial $V$ (distinto de $\{0\}$) es el número de vectores en cualquier base de $V$: $\dim (V)=\text{nuˊmero de vectores en una base}$

Teorema - Bases Tienen Mismo Tamaño

Todas las bases de un espacio vectorial $V$ tienen el mismo número de vectores.

Dimensiones importantes:

• $\dim ({\mathbb{R}}^n)=n$
• $\dim ({\mathbb{P}}_n)=n+1$
• $\dim (M_{m\times n})=mn$

Teorema - Conjunto Generador y Base

Sea $V$ espacio vectorial con $\dim (V)=n$:

1. Si $\{{\mathbf{v}}_1,...,{\mathbf{v}}_n\}$ genera $V$, entonces es base
2. Si $\{{\mathbf{v}}_1,...,{\mathbf{v}}_n\}$ es linealmente independiente, entonces es base

Clase 27: Teorema del Rango

Teorema del Rango

Para matriz $A$ de $m\times n$: $\text{rango}(A)+\dim (\text{Nul }A)=n$

donde $\text{rango}(A)=\dim (\text{Col }A)$

Interpretación:

• $\text{rango}(A)$ = número de variables básicas
• $\dim (\text{Nul }A)$ = número de variables libres
• Suma = número total de variables

Teorema - Rango y Fila

$\text{rango}(A)=\dim (\text{Fila }A)=\dim (\text{Col }A)$

Aplicaciones:

• Determinar si sistema tiene solución única
• Calcular dimensión de espacios asociados
• Verificar invertibilidad

Clase 28: Cambio de Base

Matriz de Cambio de Base

Sean $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,...,{\mathbf{b}}_n\}$ y $\mathcal{C}=\{{\mathbf{c}}_1,...,{\mathbf{c}}_n\}$ bases de $V$.

La matriz $\underset{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}{P}$ que transforma coordenadas de $\mathcal{B}$ a $\mathcal{C}$ satisface: $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{C}}=\underset{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}{P}[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$

Construcción de matriz de cambio de base: $$\begin{gathered} \underset{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}{P}=[[{\mathbf{b}}_1{]}_{\mathcal{C}} \\ [{\mathbf{b}}_2{]}_{\mathcal{C}} \\ ... \\ [{\mathbf{b}}_n{]}_{\mathcal{C}}] \end{gathered}$$

Método práctico (en ${\mathbb{R}}^n$): $$\begin{gathered} [\mathcal{C} \\ | \\ \mathcal{B}]\sim [I \\ | \\ \underset{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}{P}] \end{gathered}$$

Propiedades

• $\underset{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}{P}$ es invertible
• $(\underset{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}{P}{)}^{-1}=\underset{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}{P}$

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Capítulo 6: Valores y Vectores Propios (Clases 29-33)

Clase 29: Valores y Vectores Propios

Definiciones Fundamentales

Para matriz $A$ de $n\times n$:

Vector propio: Vector no nulo $\mathbf{x}$ tal que $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$ para algún escalar $\lambda$

Valor propio: Escalar $\lambda$ para el cual existe vector propio correspondiente

Ecuación Característica

$\lambda$ es valor propio de $A$ si y solo si: $(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$ tiene solución no trivial.

Procedimiento para encontrar valores y vectores propios:

1. Resolver $\det (A-\lambda I)=0$ para encontrar valores propios
2. Para cada $\lambda$, resolver $(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$ para encontrar vectores propios

Definición - Espacio Propio

El espacio propio de $A$ correspondiente a $\lambda$ es: $E_{\lambda }=\text{Nul}(A-\lambda I)=\{\mathbf{x}:A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}\}$

Teorema 1 - Matrices Triangulares

Los valores propios de una matriz triangular son las entradas de su diagonal principal.

Teorema 2 - Independencia de Vectores Propios

Si ${\mathbf{v}}_1,...,{\mathbf{v}}_r$ son vectores propios correspondientes a valores propios distintos ${\lambda }_1,...,{\lambda }_r$, entonces $\{{\mathbf{v}}_1,...,{\mathbf{v}}_r\}$ es linealmente independiente.

Propiedad Especial

0 es valor propio de $A$ ⟺ $A$ no es invertible

Ejemplo completo: $A=\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 5& 2\end{array}\right]$

Paso 1: Encontrar valores propios $\det (A-\lambda I)=\det \left[\begin{array}{cc}1-\lambda & 6\\ 5& 2-\lambda \end{array}\right]=(1-\lambda )(2-\lambda )-30={\lambda }^2-3\lambda -28=0$

Valores propios: ${\lambda }_1=7$, ${\lambda }_2=-4$

Paso 2: Para $\lambda =7$: $(A-7I)\mathbf{x}=\left[\begin{array}{cc}-6& 6\\ 5& -5\end{array}\right]\mathbf{x}=0$ Vector propio: ${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$

Clase 30: Ecuación Característica

Polinomio Característico

El polinomio característico de matriz $A$ de $n\times n$ es: $p(\lambda )=\det (A-\lambda I)$

Es un polinomio de grado $n$ en $\lambda$.

Teorema - Valores Propios

$\lambda$ es valor propio de $A$ si y solo si $\lambda$ es raíz del polinomio característico.

Propiedades del polinomio característico:

• Coeficiente de ${\lambda }^n$: $(-1{)}^n$
• Coeficiente de ${\lambda }^{n-1}$: $(-1{)}^{n-1}\text{traza}(A)$
• Término constante: $\det (A)$

Teorema - Traza y Determinante

Si ${\lambda }_1,...,{\lambda }_n$ son los valores propios de $A$ (contando multiplicidades):

• $\text{traza}(A)={\lambda }_1+...+{\lambda }_n$
• $\det (A)={\lambda }_1\cdot ...\cdot {\lambda }_n$

Multiplicidades:

• Algebraica: Multiplicidad de $\lambda$ como raíz de $p(\lambda )$
• Geométrica: $\dim (E_{\lambda })$
• Relación: $1\le \text{geomeˊtrica}\le \text{algebraica}$

Clase 31: Diagonalización

Definición - Matriz Diagonalizable

$A$ es diagonalizable si existe matriz invertible $P$ y matriz diagonal $D$ tales que: $A=PD{P}^{-1}$

Equivalentemente: $P^{-1}AP=D$

Teorema de Diagonalización

Una matriz $A$ de $n\times n$ es diagonalizable si y solo si tiene $n$ vectores propios linealmente independientes.

En tal caso:

• $$\begin{gathered} P=[{\mathbf{v}}_1 \\ {\mathbf{v}}_2 \\ ... \\ {\mathbf{v}}_n] \end{gathered}$$ (columnas son vectores propios)
• $D=\text{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n)$ (diagonal con valores propios)

Procedimiento de diagonalización:

1. Encontrar todos los valores propios de $A$
2. Para cada valor propio, encontrar base del espacio propio
3. Si el total de vectores es $n$, construir $P$ y $D$

Condición Suficiente

Si $A$ tiene $n$ valores propios distintos, entonces $A$ es diagonalizable.

Aplicación - Potencias de matrices: $A^k=P{D}^k{P}^{-1}=P\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1^k& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n^k\end{array}\right]P^{-1}$

Ejemplo completo: $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 3\\ -3& -5& -3\\ 3& 3& 1\end{array}\right]$

Valores propios: ${\lambda }_1=1$, ${\lambda }_2=-2$

Vectores propios:

• Para $\lambda =1$: base de $E_1=\{\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right]\}$
• Para $\lambda =-2$: base de $E_{-2}=\{\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right]\}$

Diagonalización: $P=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ -1& 0& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right]$

Clase 32: Matriz de Transformación Lineal y Similitud

Definición - Matrices Similares

Matrices $A$ y $B$ son similares si existe matriz invertible $P$ tal que: $A=PB{P}^{-1}$

Propiedades de Matrices Similares

Si $A$ y $B$ son similares:

• Tienen los mismos valores propios
• $\det (A)=\det (B)$
• $\text{traza}(A)=\text{traza}(B)$
• $\text{rango}(A)=\text{rango}(B)$
• Mismo polinomio característico

Matriz de transformación lineal:

Si $T:V\to V$ es transformación lineal y $\mathcal{B},\mathcal{C}$ son bases: $[T(\mathbf{x}){]}_{\mathcal{C}}=[T{]}_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}}[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$

Cambio de base para transformaciones: $[T{]}_{\mathcal{C}}=P^{-1}[T{]}_{\mathcal{B}}P$

donde $P=\underset{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}{P}$

Clase 33: Valores Propios Complejos

Valores propios complejos:

Si $A$ tiene entradas reales, los valores propios complejos aparecen en pares conjugados: $\lambda =a+bi⟹\bar{\lambda }=a-bi\text{ tambieˊn es valor propio}$

Vectores propios complejos:

También aparecen en pares conjugados: si $\mathbf{v}$ es vector propio para $\lambda$, entonces $\bar{\mathbf{v}}$ es vector propio para $\bar{\lambda }$

Matrices de rotación:

Matriz de rotación por ángulo $\theta$: $R_{\theta }=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$

Valores propios: $\lambda =e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ y $\bar{\lambda }=e^{-i\theta }$

Representación Real

Para $\lambda =a+bi$ con vector propio $\mathbf{v}=\mathbf{u}+i\mathbf{w}$: $$\begin{gathered} P=[\mathbf{u} \\ \mathbf{w}],C=\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right] \end{gathered}$$

Entonces $AP=PC$ (forma real de diagonalización compleja)

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Capítulo 7: Ortogonalidad y Mínimos Cuadrados (Clases 34-39)

Clase 34: Producto Interior, Longitud y Ortogonalidad

Producto Interior

En ${\mathbb{R}}^n$, el producto interior de $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ es: $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}={\mathbf{u}}^T\mathbf{v}=u_1{v}_1+u_2{v}_2+...+u_n{v}_n$

Propiedades:

1. $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}$
2. $(\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot \mathbf{w}=\mathbf{u}\cdot \mathbf{w}+\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}$
3. $(c\mathbf{u})\cdot \mathbf{v}=c(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v})$
4. $\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}\ge 0$, y $\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}=0⟺\mathbf{u}=0$

Norma (Longitud)

$||\mathbf{v}||=\sqrt{\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}}=\sqrt{v_1^2+...+v_n^2}$

Propiedades de la norma:

• $||\mathbf{v}||\ge 0$
• $||\mathbf{v}||=0⟺\mathbf{v}=0$
• $||c\mathbf{v}||=|c|\cdot ||\mathbf{v}||$

Vector Unitario

$\mathbf{u}$ es unitario si $||\mathbf{u}||=1$

Normalización: $\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{||\mathbf{v}||}$

Distancia: $\text{dist}(\mathbf{u},\mathbf{v})=||\mathbf{u}-\mathbf{v}||$

Ortogonalidad

$\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ son ortogonales ($\mathbf{u}\perp \mathbf{v}$) si: $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=0$

Teorema de Pitágoras

$\mathbf{u}\perp \mathbf{v}⟺||\mathbf{u}+\mathbf{v}|{|}^2=||\mathbf{u}|{|}^2+||\mathbf{v}|{|}^2$

Complemento Ortogonal

El complemento ortogonal de subespacio $W$ es: $$\begin{gathered} W^{\perp }=\{\mathbf{v}\in V:\mathbf{v}\cdot \mathbf{w}=0 \\ \forall \mathbf{w}\in W\} \end{gathered}$$

Propiedades:

• $W^{\perp }$ es subespacio
• $(W^{\perp }{)}^{\perp }=W$
• $W\cap W^{\perp }=\{0\}$

Clase 35: Conjuntos Ortogonales

Definición - Conjunto Ortogonal

Conjunto $\{{\mathbf{u}}_1,...,{\mathbf{u}}_p\}$ es ortogonal si: ${\mathbf{u}}_i\cdot {\mathbf{u}}_j=0\text{ para todo }i\ne j$

Es ortonormal si además $||{\mathbf{u}}_i||=1$ para todo $i$.

Teorema - Independencia de Conjuntos Ortogonales

Si $\{{\mathbf{u}}_1,...,{\mathbf{u}}_p\}$ es conjunto ortogonal de vectores no nulos, entonces es linealmente independiente.

Expresión de vector en base ortogonal:

Si $\{{\mathbf{u}}_1,...,{\mathbf{u}}_n\}$ es base ortogonal de ${\mathbb{R}}^n$: $\mathbf{y}=\frac{\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_1}{{\mathbf{u}}_1\cdot {\mathbf{u}}_1}{\mathbf{u}}_1+...+\frac{\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_n}{{\mathbf{u}}_n\cdot {\mathbf{u}}_n}{\mathbf{u}}_n$

Si la base es ortonormal: $\mathbf{y}=(\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_1){\mathbf{u}}_1+...+(\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_n){\mathbf{u}}_n$

Matriz Ortogonal

Matriz $U$ de $n\times n$ es ortogonal si sus columnas forman conjunto ortonormal: $U^{T}U=I$

Equivalentemente: $U^{-1}=U^T$

Propiedades de matrices ortogonales:

• $||U\mathbf{x}||=||\mathbf{x}||$ (preserva longitudes)
• $(U\mathbf{x})\cdot (U\mathbf{y})=\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}$ (preserva productos interiores)
• $U\mathbf{x}\perp U\mathbf{y}⟺\mathbf{x}\perp \mathbf{y}$ (preserva ortogonalidad)

Clase 36: Proyecciones Ortogonales

Proyección Ortogonal sobre Vector

La proyección ortogonal de $\mathbf{y}$ sobre $\mathbf{u}$ es: ${\text{proy}}_{\mathbf{u}}(\mathbf{y})=\frac{\mathbf{y}\cdot \mathbf{u}}{\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}}\mathbf{u}$

Componente ortogonal: $\mathbf{z}=\mathbf{y}-{\text{proy}}_{\mathbf{u}}(\mathbf{y})$

donde $\mathbf{z}\perp \mathbf{u}$

Teorema de Descomposición Ortogonal

Sea $W$ subespacio de ${\mathbb{R}}^n$. Todo $\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^n$ se puede escribir de manera única como: $\mathbf{y}=\hat{\mathbf{y}}+\mathbf{z}$

donde $\hat{\mathbf{y}}\in W$ y $\mathbf{z}\in W^{\perp }$.

$\hat{\mathbf{y}}$ se llama proyección ortogonal de y sobre $W$, denotada ${\text{proy}}_W(\mathbf{y})$.

Cálculo de proyección sobre subespacio:

Si $\{{\mathbf{u}}_1,...,{\mathbf{u}}_p\}$ es base ortogonal de $W$: ${\text{proy}}_W(\mathbf{y})=\frac{\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_1}{{\mathbf{u}}_1\cdot {\mathbf{u}}_1}{\mathbf{u}}_1+...+\frac{\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_p}{{\mathbf{u}}_p\cdot {\mathbf{u}}_p}{\mathbf{u}}_p$

Si la base es ortonormal: ${\text{proy}}_W(\mathbf{y})=(\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_1){\mathbf{u}}_1+...+(\mathbf{y}\cdot {\mathbf{u}}_p){\mathbf{u}}_p$

Teorema de Mejor Aproximación

Sea $W$ subespacio de ${\mathbb{R}}^n$ y $\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^n$. Entonces $\hat{\mathbf{y}}={\text{proy}}_W(\mathbf{y})$ es el punto en $W$ más cercano a $\mathbf{y}$: $||\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}||<||\mathbf{y}-\mathbf{v}||\text{ para todo }\mathbf{v}\in W,\mathbf{v}\ne \hat{\mathbf{y}}$

Distancia de punto a subespacio: $\text{dist}(\mathbf{y},W)=||\mathbf{y}-\hat{\mathbf{y}}||$

Clase 37: Proceso de Gram-Schmidt

Proceso de Gram-Schmidt

Dado conjunto linealmente independiente $\{{\mathbf{x}}_1,...,{\mathbf{x}}_p\}$, construye conjunto ortogonal $\{{\mathbf{v}}_1,...,{\mathbf{v}}_p\}$ que genera el mismo subespacio:

${\mathbf{v}}_1={\mathbf{x}}_1$

${\mathbf{v}}_2={\mathbf{x}}_2-\frac{{\mathbf{x}}_2\cdot {\mathbf{v}}_1}{{\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_1}{\mathbf{v}}_1$

${\mathbf{v}}_3={\mathbf{x}}_3-\frac{{\mathbf{x}}_3\cdot {\mathbf{v}}_1}{{\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_1}{\mathbf{v}}_1-\frac{{\mathbf{x}}_3\cdot {\mathbf{v}}_2}{{\mathbf{v}}_2\cdot {\mathbf{v}}_2}{\mathbf{v}}_2$

$⋮$

${\mathbf{v}}_k={\mathbf{x}}_k-{\sum }_{j=1}^{k-1}\frac{{\mathbf{x}}_k\cdot {\mathbf{v}}_j}{{\mathbf{v}}_j\cdot {\mathbf{v}}_j}{\mathbf{v}}_j$

Para obtener base ortonormal: Normalizar cada vector ${\mathbf{u}}_k=\frac{{\mathbf{v}}_k}{||{\mathbf{v}}_k||}$

Teorema - Factorización QR

Si $A$ es matriz de $m\times n$ con columnas linealmente independientes, entonces $A$ se puede factorizar como: $A=QR$

donde:

• $Q$: matriz de $m\times n$ con columnas ortonormales
• $R$: matriz triangular superior invertible de $n\times n$ con entradas diagonales positivas

Construcción de QR:

1. Aplicar Gram-Schmidt a columnas de $A$ → base ortonormal $\{{\mathbf{u}}_1,...,{\mathbf{u}}_n\}$
2. $$\begin{gathered} Q=[{\mathbf{u}}_1 \\ ... \\ {\mathbf{u}}_n] \end{gathered}$$
3. Como ${\mathbf{a}}_k\in \text{Gen}\{{\mathbf{u}}_1,...,{\mathbf{u}}_k\}$, escribir ${\mathbf{a}}_k$ como combinación lineal → obtener $R$

Ejemplo completo:

Dado ${\mathbf{x}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$, ${\mathbf{x}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$, ${\mathbf{x}}_3=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right]$

Paso 1: ${\mathbf{v}}_1={\mathbf{x}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$

Paso 2: ${\mathbf{v}}_2={\mathbf{x}}_2-\frac{3}{4}{\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}-3/4\\ 1/4\\ 1/4\\ 1/4\end{array}\right]$

Paso 3: ${\mathbf{v}}_3={\mathbf{x}}_3-\frac{2}{4}{\mathbf{v}}_1-\frac{1/2}{3/4}{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}-1/2\\ -1/2\\ 1/2\\ 1/2\end{array}\right]$

Base ortonormal: ${\mathbf{u}}_1=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{u}}_2=\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{u}}_3=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$

Clase 38: Problemas de Mínimos Cuadrados

Problema de Mínimos Cuadrados

Dado sistema inconsistente $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$, encontrar $\hat{\mathbf{x}}$ que minimiza: $||A\mathbf{x}-\mathbf{b}||$

Interpretación geométrica:

• $A\mathbf{x}$ está en $\text{Col }A$
• Buscamos punto en $\text{Col }A$ más cercano a $\mathbf{b}$
• Respuesta: ${\text{proy}}_{\text{Col }A}(\mathbf{b})$

Teorema - Ecuaciones Normales

$\hat{\mathbf{x}}$ es solución de mínimos cuadrados si y solo si satisface: $A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$

Estas son las ecuaciones normales.

Teorema - Solución Única

Si columnas de $A$ son linealmente independientes:

• $A^{T}A$ es invertible
• Solución única de mínimos cuadrados: $\hat{\mathbf{x}}=(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T\mathbf{b}$

Error de aproximación: $||\mathbf{b}-A\hat{\mathbf{x}}||=||\mathbf{b}-{\text{proy}}_{\text{Col }A}(\mathbf{b})||$

Método usando factorización QR:

Si $A=QR$, las ecuaciones normales se simplifican a: $R\hat{\mathbf{x}}=Q^T\mathbf{b}$

Ventajas:

• $R$ triangular superior → fácil resolver
• Numéricamente más estable

Clase 39: Aplicaciones a Modelos Lineales

Regresión Lineal

Ajustar línea $y={\beta }_0+{\beta }_{1}x$ a datos $(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)$

Matriz de diseño: $X=\left[\begin{array}{cc}1& x_1\\ 1& x_2\\ ⋮& ⋮\\ 1& x_n\end{array}\right],\mathbf{\beta }=\left[\begin{array}{c}{\beta }_0\\ {\beta }_1\end{array}\right],\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right]$

Solución de mínimos cuadrados: $\hat{\mathbf{\beta }}=(X^{T}X{)}^{-1}{X}^T\mathbf{y}$

Regresión polinomial:

Para ajustar $y={\beta }_0+{\beta }_{1}x+{\beta }_2{x}^2+...+{\beta }_m{x}^m$:

$X=\left[\begin{array}{ccccc}1& x_1& x_1^2& \cdots & x_1^m\\ 1& x_2& x_2^2& \cdots & x_2^m\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& x_n& x_n^2& \cdots & x_n^m\end{array}\right]$

Regresión lineal múltiple:

Para $y={\beta }_0+{\beta }_1{x}_1+{\beta }_2{x}_2+...+{\beta }_k{x}_k$:

$X=\left[\begin{array}{ccccc}1& x_{11}& x_{12}& \cdots & x_{1k}\\ 1& x_{21}& x_{22}& \cdots & x_{2k}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& x_{n1}& x_{n2}& \cdots & x_{nk}\end{array}\right]$

Coeficiente de determinación $R^2$:

$R^2=1-\frac{{\text{SS}}_{\text{res}}}{{\text{SS}}_{\text{tot}}}=1-\frac{\sum (y_i-{\hat{y}}_i{)}^2}{\sum (y_i-\bar{y}{)}^2}$

donde $0\le R^2\le 1$. Valores cercanos a 1 indican buen ajuste.

---

Capítulo 8: Matrices Simétricas y Formas Cuadráticas (Clases 40-43)

Clase 40: Diagonalización de Matrices Simétricas

Matriz Simétrica

$A$ es simétrica si $A^T=A$

Teorema 1 - Ortogonalidad de Vectores Propios

Si $A$ es simétrica, entonces vectores propios correspondientes a valores propios distintos son ortogonales.

Demostración: Sean ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ y ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$ vectores propios correspondientes.

${\lambda }_1({\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_2)=({\lambda }_1{\mathbf{v}}_1)\cdot {\mathbf{v}}_2=(A{\mathbf{v}}_1)\cdot {\mathbf{v}}_2={\mathbf{v}}_1\cdot (A{\mathbf{v}}_2)={\mathbf{v}}_1\cdot ({\lambda }_2{\mathbf{v}}_2)={\lambda }_2({\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_2)$

Como ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$, entonces ${\mathbf{v}}_1\cdot {\mathbf{v}}_2=0$

Teorema 2 - Espectral Básico

Una matriz $A$ de $n\times n$ es diagonalizable ortogonalmente si y solo si $A$ es simétrica.

Diagonalización Ortogonal

$A$ es diagonalizable ortogonalmente si: $A=PD{P}^T$

donde:

• $P$ es matriz ortogonal (columnas ortonormales)
• $D$ es matriz diagonal

Teorema Espectral Completo

Si $A$ es matriz simétrica de $n\times n$:

1. $A$ tiene $n$ valores propios reales (contando multiplicidades)
2. Para cada valor propio $\lambda$: $\dim (E_{\lambda })=$ multiplicidad algebraica de $\lambda$
3. Los espacios propios son mutuamente ortogonales
4. $A$ es diagonalizable ortogonalmente

Procedimiento de diagonalización ortogonal:

1. Encontrar valores propios de $A$
2. Para cada valor propio, encontrar base ortogonal del espacio propio (usar Gram-Schmidt si es necesario)
3. Normalizar todos los vectores propios
4. Construir $P$ con vectores propios ortonormales como columnas
5. $D$ tiene valores propios en diagonal (en orden correspondiente a columnas de $P$)

Ejemplo completo:

$A=\left[\begin{array}{ccc}3& -2& 4\\ -2& 6& 2\\ 4& 2& 3\end{array}\right]$

Valores propios: ${\lambda }_1=7$, ${\lambda }_2=7$, ${\lambda }_3=-2$

Espacios propios:

• Para $\lambda =7$: $E_7=\text{Gen}\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right]\right\}$ (ya ortogonales)
• Para $\lambda =-2$: $E_{-2}=\text{Gen}\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 1\end{array}\right]\right\}$

Después de normalizar: $P=\left[\begin{array}{ccc}1/\sqrt{2}& -1/\sqrt{2}& -1/\sqrt{6}\\ 0& 1/\sqrt{2}& -2/\sqrt{6}\\ 1/\sqrt{2}& 0& 1/\sqrt{6}\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{ccc}7& 0& 0\\ 0& 7& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right]$

Descomposición Espectral

Si $A=PD{P}^T$ con $P$ ortogonal: $A={\lambda }_1{\mathbf{u}}_1{\mathbf{u}}_1^T+{\lambda }_2{\mathbf{u}}_2{\mathbf{u}}_2^T+...+{\lambda }_n{\mathbf{u}}_n{\mathbf{u}}_n^T$

donde ${\mathbf{u}}_i$ son columnas de $P$ y ${\lambda }_i$ son valores propios.

Interpretación:

• Cada ${\mathbf{u}}_i{\mathbf{u}}_i^T$ es matriz de proyección ortogonal sobre $\text{Gen}\{{\mathbf{u}}_i\}$
• $A$ es suma ponderada de proyecciones ortogonales

Clase 41: Formas Cuadráticas

Definición - Forma Cuadrática

Una forma cuadrática en variables $x_1,...,x_n$ es función: $Q(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}$

donde $A$ es matriz simétrica de $n\times n$.

Forma expandida: $Q(x_1,...,x_n)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j$

Construcción de matriz de forma cuadrática:

• Coeficientes de $x_i^2$ en diagonal: $a_{ii}$
• Coeficiente de $x_i{x}_j$ dividido entre 2 en posiciones $(i,j)$ y $(j,i)$: $a_{ij}=a_{ji}=\frac{\text{coef}(x_i{x}_j)}{2}$

Ejemplo: $Q(x_1,x_2,x_3)=5x_1^2+3x_2^2+2x_3^2+4x_1{x}_2-2x_1{x}_3$

Matriz asociada: $A=\left[\begin{array}{ccc}5& 2& -1\\ 2& 3& 0\\ -1& 0& 2\end{array}\right]$

Teorema 4 - Ejes Principales

Sea $A$ matriz simétrica. Existe cambio de variable ortogonal $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$ tal que: $Q(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}={\mathbf{y}}^{T}D\mathbf{y}={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+...+{\lambda }_n{y}_n^2$

donde ${\lambda }_i$ son valores propios de $A$ y $P$ diagonaliza ortogonalmente a $A$.

Ejes principales:

• Direcciones de los vectores propios de $A$
• En estas direcciones, la forma cuadrática no tiene términos cruzados

Procedimiento para eliminar términos cruzados:

1. Formar matriz $A$ de la forma cuadrática
2. Diagonalizar ortogonalmente: $A=PD{P}^T$
3. Cambio de variable: $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$
4. Forma cuadrática en nuevas variables: $Q={\lambda }_1{y}_1^2+...+{\lambda }_n{y}_n^2$

Clasificación de Formas Cuadráticas

Sea $Q(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}$ con $A$ simétrica:

• Positiva definida: $Q(\mathbf{x})>0$ para todo $\mathbf{x}\ne 0$ ⟺ todos ${\lambda }_i>0$
• Negativa definida: $Q(\mathbf{x})<0$ para todo $\mathbf{x}\ne 0$ ⟺ todos ${\lambda }_i<0$
• Indefinida: $Q$ toma valores positivos y negativos ⟺ ${\lambda }_i$ de signos mixtos
• Positiva semidefinida: $Q(\mathbf{x})\ge 0$ para todo $\mathbf{x}$ ⟺ todos ${\lambda }_i\ge 0$
• Negativa semidefinida: $Q(\mathbf{x})\le 0$ para todo $\mathbf{x}$ ⟺ todos ${\lambda }_i\le 0$

Aplicaciones geométricas:

La ecuación ${\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}=c$ define:

• Elipse/elipsoide: Si $A$ es positiva definida
• Hipérbola/hiperboloide: Si $A$ es indefinida
• Parábola/paraboloide: Si $A$ tiene al menos un ${\lambda }_i=0$

Ejes principales = direcciones de vectores propios Longitudes de semiejes = $\sqrt{c/{\lambda }_i}$

Optimización con restricción:

Para maximizar/minimizar $Q(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}$ sujeto a $||\mathbf{x}||=1$:

• Máximo: ${\lambda }_{\text{max}}$ (mayor valor propio)
• Mínimo: ${\lambda }_{\text{min}}$ (menor valor propio)
• Se alcanzan en direcciones de vectores propios correspondientes

Clase 42: Factorización de Cholesky

Definición - Factorización de Cholesky

Para matriz $A$ simétrica y positiva definida, existe factorización única: $A=R^{T}R$

donde $R$ es matriz triangular superior con entradas diagonales positivas.

Equivalentemente: $A=L{L}^T$ donde $L=R^T$ es triangular inferior.

Teorema - Existencia

$A$ simétrica admite factorización de Cholesky si y solo si $A$ es positiva definida.

Criterios para matriz positiva definida:

1. $A$ simétrica
2. Todos los valores propios ${\lambda }_i>0$
3. ${\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}>0$ para todo $\mathbf{x}\ne 0$
4. Todos los menores principales tienen determinante positivo

Algoritmo de Cholesky

Para calcular $R$ tal que $A=R^{T}R$:

Elemento diagonal: $r_{jj}=\sqrt{a_{jj}-{\sum }_{k=1}^{j-1}{r}_{kj}^2}$

Elementos fuera de la diagonal (para $i>j$): $r_{ji}=\frac{1}{r_{jj}}\left(a_{ji}-{\sum }_{k=1}^{j-1}{r}_{kj}{r}_{ki}\right)$

Se procesa columna por columna, de izquierda a derecha.

Complejidad: $\sim n^3/3$ operaciones (aproximadamente la mitad que factorización LU)

Ejemplo 2×2: $A=\left[\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 5\end{array}\right]$

Paso 1: $r_{11}=\sqrt{a_{11}}=\sqrt{4}=2$

Paso 2: $r_{12}=\frac{a_{12}}{r_{11}}=\frac{2}{2}=1$

Paso 3: $r_{22}=\sqrt{a_{22}-r_{12}^2}=\sqrt{5-1}=2$

Resultado: $R=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right]$

Verificación: $R^{T}R=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 5\end{array}\right]=A$ ✓

Ejemplo 3×3: $A=\left[\begin{array}{ccc}4& 2& 2\\ 2& 5& 3\\ 2& 3& 6\end{array}\right]$

Cálculos:

• $r_{11}=\sqrt{4}=2$
• $r_{12}=2/2=1$
• $r_{13}=2/2=1$
• $r_{22}=\sqrt{5-1^2}=2$
• $r_{23}=(3-1\cdot 1)/2=1$
• $r_{33}=\sqrt{6-1^2-1^2}=2$

Resultado: $R=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$

Indicador de falla:

Si en algún paso obtenemos $r_{jj}^2<0$, entonces $A$ no es positiva definida.

Ejemplo: $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right]$

• $r_{11}=1$
• $r_{12}=2$
• $r_{22}=\sqrt{3-4}=\sqrt{-1}$ ❌ (falla)

Confirmación: $\det (A)=3-4=-1<0$ → no positiva definida

Propiedades de Cholesky:

1. Unicidad: Con diagonales positivas, la factorización es única
2. Estabilidad numérica: No requiere pivoteo
3. Eficiencia: $\sim n^3/3$ operaciones vs $\sim 2n^3/3$ para LU
4. Preservación de estructura: Implícitamente mantiene simetría

Aplicaciones:

1. Resolución de sistemas $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$:

• Paso 1: Resolver $R^T\mathbf{y}=\mathbf{b}$ (sustitución adelante)
• Paso 2: Resolver $R\mathbf{x}=\mathbf{y}$ (sustitución atrás)

2. Ecuaciones normales:

• En mínimos cuadrados: $A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$
• $A^{T}A$ siempre simétrica y positiva definida (si $A$ rango completo)
• Usar Cholesky en $A^{T}A=R^{T}R$ es más estable que calcular $(A^{T}A{)}^{-1}$

3. Simulación estadística:

• Generar $\mathbf{x}\sim N(\mathbf{\mu },\Sigma )$ (normal multivariada)
• Factorizar $\Sigma =L{L}^T$ (Cholesky)
• Generar $\mathbf{z}\sim N(0,I)$
• Calcular $\mathbf{x}=\mathbf{\mu }+L\mathbf{z}$

Comparación con otras factorizaciones:

Factorización	Restricciones	Complejidad	Ventajas
Cholesky	Simétrica, pos. def.	$\sim n^3/3$	Más rápida, estable
LU	General	$\sim 2n^3/3$	Más general
QR	General	$\sim 2n^3$	Más estable para mín. cuad.
Espectral	Simétrica	$\sim 4n^3$	Da valores propios

Clase 43: Descomposición en Valores Singulares (DVS/SVD)

Motivación Geométrica

Una transformación lineal $A:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ mapea la esfera unitaria en ${\mathbb{R}}^n$ a un elipsoide en ${\mathbb{R}}^m$.

Los valores singulares son las longitudes de los semiejes principales del elipsoide.

Definición - Valores Singulares

Los valores singulares de matriz $A$ de $m\times n$ son: ${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}$

donde ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge ...\ge {\lambda }_n\ge 0$ son los valores propios de $A^{T}A$, ordenados de mayor a menor.

Interpretación:

• ${\sigma }_1={\max }_{||\mathbf{x}||=1}||A\mathbf{x}||$ (máximo estiramiento)
• ${\sigma }_n={\min }_{||\mathbf{x}||=1}||A\mathbf{x}||$ (mínimo estiramiento)

Teorema 10 - Descomposición en Valores Singulares

Para cualquier matriz $A$ de $m\times n$ con rango $r$, existe descomposición: $A=U\Sigma V^T$

donde:

• $U$: matriz ortogonal de $m\times m$ (vectores singulares izquierdos)
• $\Sigma$: matriz “diagonal” de $m\times n$ con valores singulares
• $V$: matriz ortogonal de $n\times n$ (vectores singulares derechos)

Forma de $\Sigma$: $\Sigma =\left[\begin{array}{cc}D& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$

donde $D=\text{diag}({\sigma }_1,{\sigma }_2,...,{\sigma }_r)$ con ${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge ...\ge {\sigma }_r>0$

Construcción paso a paso de la DVS:

Paso 1: Calcular $A^{T}A$ (matriz simétrica de $n\times n$)

Paso 2: Encontrar valores propios de $A^{T}A$: ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge ...\ge {\lambda }_n\ge 0$

Paso 3: Valores singulares: ${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}(i=1,...,n)$

Paso 4: Encontrar vectores propios ortonormales de $A^{T}A$: ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,...,{\mathbf{v}}_n$

Construir: $$\begin{gathered} V=[{\mathbf{v}}_1 \\ {\mathbf{v}}_2 \\ ... \\ {\mathbf{v}}_n] \end{gathered}$$

Paso 5: Para $i=1,...,r$ (valores singulares no nulos), calcular: ${\mathbf{u}}_i=\frac{1}{{\sigma }_i}A{\mathbf{v}}_i$

Paso 6: Extender $\{{\mathbf{u}}_1,...,{\mathbf{u}}_r\}$ a base ortonormal de ${\mathbb{R}}^m$

Construir: $$\begin{gathered} U=[{\mathbf{u}}_1 \\ ... \\ {\mathbf{u}}_m] \end{gathered}$$

Ejemplo completo (matriz 2×3):

$A=\left[\begin{array}{ccc}4& 11& 14\\ 8& 7& -2\end{array}\right]$

Paso 1: $A^{T}A=\left[\begin{array}{ccc}80& 100& 40\\ 100& 170& 140\\ 40& 140& 200\end{array}\right]$

Paso 2-3: Valores propios y singulares:

• ${\lambda }_1=360⟹{\sigma }_1=6\sqrt{10}$
• ${\lambda }_2=90⟹{\sigma }_2=3\sqrt{10}$
• ${\lambda }_3=0⟹{\sigma }_3=0$

Rango: $r=2$

Paso 4: Vectores propios de $A^{T}A$: ${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1/3\\ 2/3\\ 2/3\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}-2/3\\ -1/3\\ 2/3\end{array}\right],{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}2/3\\ -2/3\\ 1/3\end{array}\right]$

$V=\left[\begin{array}{ccc}1/3& -2/3& 2/3\\ 2/3& -1/3& -2/3\\ 2/3& 2/3& 1/3\end{array}\right]$

Paso 5: Calcular vectores singulares izquierdos: ${\mathbf{u}}_1=\frac{1}{{\sigma }_1}A{\mathbf{v}}_1=\frac{1}{6\sqrt{10}}\left[\begin{array}{c}18\\ 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3/\sqrt{10}\\ 1/\sqrt{10}\end{array}\right]$

${\mathbf{u}}_2=\frac{1}{{\sigma }_2}A{\mathbf{v}}_2=\frac{1}{3\sqrt{10}}\left[\begin{array}{c}3\\ -9\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1/\sqrt{10}\\ -3/\sqrt{10}\end{array}\right]$

$U=\left[\begin{array}{cc}3/\sqrt{10}& 1/\sqrt{10}\\ 1/\sqrt{10}& -3/\sqrt{10}\end{array}\right]$

Resultado final: $\Sigma =\left[\begin{array}{ccc}6\sqrt{10}& 0& 0\\ 0& 3\sqrt{10}& 0\end{array}\right]$

Verificación: $U\Sigma V^T=A$ ✓

Teorema 9 - Bases para Subespacios Fundamentales

La DVS proporciona bases ortonormales para los cuatro subespacios fundamentales:

• $\text{Col }A$: Primeras $r$ columnas de $U$ → $\{{\mathbf{u}}_1,...,{\mathbf{u}}_r\}$
• $\text{Nul }{A}^T$: Últimas $m-r$ columnas de $U$ → $\{{\mathbf{u}}_{r+1},...,{\mathbf{u}}_m\}$
• $\text{Fila }A$: Primeras $r$ columnas de $V$ → $\{{\mathbf{v}}_1,...,{\mathbf{v}}_r\}$
• $\text{Nul }A$: Últimas $n-r$ columnas de $V$ → $\{{\mathbf{v}}_{r+1},...,{\mathbf{v}}_n\}$

Además: $\text{rango}(A)=$ número de valores singulares no nulos $=r$

Aplicaciones de la DVS:

1. Aproximación de Rango Bajo

Aproximación Óptima

La mejor aproximación de rango $k$ a $A$ es: $A_k={\sum }_{i=1}^k{\sigma }_i{\mathbf{u}}_i{\mathbf{v}}_i^T=U_k{\Sigma }_k{V}_k^T$

donde $U_k$ son primeras $k$ columnas de $U$, etc.

Minimiza $||A-B||$ sobre todas las matrices $B$ de rango $k$.

Compresión de imágenes:

• Matriz original: $mn$ elementos
• Aproximación rango $k$: $k(m+n+1)$ elementos
• Si $k\ll \min (m,n)$: gran ahorro de almacenamiento

2. Análisis de Componentes Principales (PCA)

Para matriz de datos $X$ (centrada):

1. Calcular DVS: $X=U\Sigma V^T$
2. Componentes principales: columnas de $V$
3. Scores: columnas de $U\Sigma$
4. Varianza explicada por componente $i$: ${\sigma }_i^2/{\sum }_j{\sigma }_j^2$

Reducción de dimensionalidad: proyectar datos sobre primeras $k$ componentes

3. Pseudoinversa de Moore-Penrose

Definición - Pseudoinversa

Para $A=U\Sigma V^T$, la pseudoinversa es: $A^{+}=V{\Sigma }^{+}{U}^T$

donde ${\Sigma }^{+}$ se obtiene de $\Sigma$ mediante:

• Transponer $\Sigma$
• Reemplazar cada ${\sigma }_i\ne 0$ por $1/{\sigma }_i$

Propiedades:

• Si $A$ invertible: $A^{+}=A^{-1}$
• Si $A$ no cuadrada o rango deficiente: $A^{+}$ da solución de mínimos cuadrados
• $\hat{\mathbf{x}}=A^{+}\mathbf{b}$ minimiza $||A\mathbf{x}-\mathbf{b}||$
• Funciona incluso si $A$ no tiene rango completo

Ejemplo de pseudoinversa:

Para el ejemplo anterior con ${\sigma }_1=6\sqrt{10}$, ${\sigma }_2=3\sqrt{10}$, ${\sigma }_3=0$:

$\Sigma =\left[\begin{array}{ccc}6\sqrt{10}& 0& 0\\ 0& 3\sqrt{10}& 0\end{array}\right]⟹{\Sigma }^{+}=\left[\begin{array}{cc}1/(6\sqrt{10})& 0\\ 0& 1/(3\sqrt{10})\\ 0& 0\end{array}\right]$

$A^{+}=V{\Sigma }^{+}{U}^T$

Interpretación geométrica de la DVS:

La transformación $A\mathbf{x}=U\Sigma V^T\mathbf{x}$ es composición de:

1. $V^T$: Rotación/reflexión en ${\mathbb{R}}^n$
2. $\Sigma$: Escalamiento por factores ${\sigma }_1,...,{\sigma }_r$ (direcciones principales)
3. $U$: Rotación/reflexión en ${\mathbb{R}}^m$

Toda transformación lineal = rotación + escalamiento + rotación

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SECCIÓN DE FÓRMULAS ESENCIALES

Álgebra Matricial

Inversa 2×2: ${\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$

Propiedades de inversas:

• $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
• $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$

Propiedades de transpuestas:

• $(AB{)}^T=B^T{A}^T$
• $(A+B{)}^T=A^T+B^T$

Determinantes

Propiedades fundamentales:

• $\det (AB)=\det (A)\det (B)$
• $\det (A^T)=\det (A)$
• $\det (cA)=c^n\det (A)$ para matriz $n\times n$
• Matriz triangular: $\det (A)=\prod a_{ii}$

Criterio de invertibilidad:

• $A$ invertible ⟺ $\det (A)\ne 0$

Valores Propios

Ecuación característica: $\det (A-\lambda I)=0$

Propiedades:

• $\text{traza}(A)=\sum {\lambda }_i$
• $\det (A)=\prod {\lambda }_i$
• Matrices triangulares: valores propios en diagonal

Diagonalización: $A=PD{P}^{-1}⟹A^k=P{D}^k{P}^{-1}$

Ortogonalidad

Proyección sobre vector: ${\text{proy}}_{\mathbf{u}}(\mathbf{y})=\frac{\mathbf{y}\cdot \mathbf{u}}{\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}}\mathbf{u}$

Distancia a subespacio: $\text{dist}(\mathbf{y},W)=||\mathbf{y}-{\text{proy}}_W(\mathbf{y})||$

Proceso de Gram-Schmidt: ${\mathbf{v}}_k={\mathbf{x}}_k-{\sum }_{j=1}^{k-1}\frac{{\mathbf{x}}_k\cdot {\mathbf{v}}_j}{{\mathbf{v}}_j\cdot {\mathbf{v}}_j}{\mathbf{v}}_j$

Mínimos Cuadrados

Ecuaciones normales: $A^{T}A\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$

Solución única (si $A$ rango completo): $\hat{\mathbf{x}}=(A^{T}A{)}^{-1}{A}^T\mathbf{b}$

Regresión lineal: $\hat{\mathbf{\beta }}=(X^{T}X{)}^{-1}{X}^T\mathbf{y}$

Matrices Simétricas

Diagonalización ortogonal: $A=PD{P}^T\text{ con }{P}^{T}P=I$

Forma cuadrática: $Q(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}={\lambda }_1{y}_1^2+...+{\lambda }_n{y}_n^2$

Clasificación:

• Positiva definida: todos ${\lambda }_i>0$
• Negativa definida: todos ${\lambda }_i<0$
• Indefinida: ${\lambda }_i$ de signos mixtos

Factorizaciones

LU: $A=LU$ (triangular inferior × superior)

QR: $A=QR$ (ortogonal × triangular superior)

Espectral: $A=PD{P}^T$ ($A$ simétrica)

Cholesky: $A=R^{T}R$ ($A$ positiva definida)

DVS: $A=U\Sigma V^T$ (cualquier $A$)

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TEOREMAS CRÍTICOS PARA EL EXAMEN

Teorema de la Matriz Invertible

Las 12 Equivalencias

Para matriz $A$ de $n\times n$, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. $A$ es invertible
2. $A$ es equivalente por filas a $I_n$
3. $A$ tiene $n$ posiciones pivote
4. $A\mathbf{x}=0$ tiene solo solución trivial
5. Columnas de $A$ son linealmente independientes
6. $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ es inyectiva
7. $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ tiene solución única para todo $\mathbf{b}$
8. Columnas de $A$ generan ${\mathbb{R}}^n$
9. $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ es sobreyectiva
10. $\det (A)\ne 0$
11. 0 no es valor propio de $A$
12. $A^T$ es invertible

Teorema del Rango

$\text{rango}(A)+\dim (\text{Nul }A)=n$

Corolarios:

• $\text{rango}(A)=\dim (\text{Fila }A)=\dim (\text{Col }A)$
• Número de variables básicas + variables libres = total de variables

Teorema Espectral

Teorema Espectral Completo

Para matriz simétrica $A$ de $n\times n$:

1. Tiene $n$ valores propios reales
2. $\dim (E_{\lambda })=$ multiplicidad algebraica de $\lambda$
3. Espacios propios mutuamente ortogonales
4. $A$ es diagonalizable ortogonalmente

Teorema de Mejor Aproximación

$\hat{\mathbf{y}}={\text{proy}}_W(\mathbf{y})$ minimiza $||\mathbf{y}-\mathbf{v}||$ para todo $\mathbf{v}\in W$

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ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN

Diagonalización

Procedimiento:

1. Calcular polinomio característico: $\det (A-\lambda I)=0$
2. Encontrar raíces (valores propios)
3. Para cada $\lambda$: resolver $(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$
4. Verificar $n$ vectores propios linealmente independientes
5. Construir $$\begin{gathered} P=[{\mathbf{v}}_1 \\ ... \\ {\mathbf{v}}_n] \end{gathered}$$ y $D=\text{diag}({\lambda }_1,...,{\lambda }_n)$

Mínimos Cuadrados

Procedimiento:

1. Formar matriz $A^{T}A$ y vector $A^T\mathbf{b}$
2. Resolver sistema $(A^{T}A)\hat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}$
3. Calcular error: $||\mathbf{b}-A\hat{\mathbf{x}}||$

Verificación: $\mathbf{b}-A\hat{\mathbf{x}}\perp \text{Col }A$

Gram-Schmidt

Procedimiento:

1. ${\mathbf{v}}_1={\mathbf{x}}_1$
2. Para $k=2,...,n$: ${\mathbf{v}}_k={\mathbf{x}}_k-{\sum }_{j=1}^{k-1}\frac{{\mathbf{x}}_k\cdot {\mathbf{v}}_j}{{\mathbf{v}}_j\cdot {\mathbf{v}}_j}{\mathbf{v}}_j$
3. Normalizar si se requiere base ortonormal: ${\mathbf{u}}_k={\mathbf{v}}_k/||{\mathbf{v}}_k||$

Formas Cuadráticas

Procedimiento:

1. Construir matriz simétrica $A$ (dividir coeficientes de $x_i{x}_j$ entre 2)
2. Encontrar valores propios y vectores propios
3. Diagonalizar ortogonalmente: $A=PD{P}^T$
4. Cambio de variable: $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$
5. Forma diagonal: $Q={\lambda }_1{y}_1^2+...+{\lambda }_n{y}_n^2$
6. Clasificar según signos de ${\lambda }_i$

Factorización de Cholesky

Procedimiento:

1. Verificar que $A$ es simétrica y positiva definida
2. Aplicar algoritmo columna por columna:
   • Diagonal: $r_{jj}=\sqrt{a_{jj}-{\sum }_{k=1}^{j-1}{r}_{kj}^2}$
   • Fuera diagonal: $r_{ji}=\frac{1}{r_{jj}}(a_{ji}-{\sum }_{k=1}^{j-1}{r}_{kj}{r}_{ki})$
3. Si algún $r_{jj}^2<0$: matriz no es positiva definida

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ERRORES COMUNES A EVITAR

Error 1: Orden en Producto de Matrices

• Incorrecto: $(AB{)}^{-1}=A^{-1}{B}^{-1}$
• Correcto: $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

Error 2: Conmutatividad

• Incorrecto: Asumir $AB=BA$
• Correcto: En general $AB\ne BA$

Error 3: Diagonalización

• Incorrecto: Asumir que toda matriz es diagonalizable
• Correcto: Verificar que existan $n$ vectores propios LI

Error 4: Mínimos Cuadrados

• Incorrecto: Usar $(A^{T}A{)}^{-1}$ sin verificar invertibilidad
• Correcto: Verificar que columnas de $A$ sean LI

Error 5: Formas Cuadráticas

• Incorrecto: Poner coeficiente completo de $x_i{x}_j$ en matriz
• Correcto: Dividir coeficiente entre 2 y colocar en $(i,j)$ y $(j,i)$

Error 6: DVS vs Valores Propios

• Incorrecto: Confundir valores singulares con valores propios
• Correcto: Valores singulares son ${\sigma }_i=\sqrt{{\lambda }_i}$ donde ${\lambda }_i$ son valores propios de $A^{T}A$

Error 7: Cholesky

• Incorrecto: Olvidar tomar raíz positiva
• Correcto: Diagonales de $R$ deben ser positivas

Error 8: Normalización

• Incorrecto: Olvidar normalizar en diagonalización ortogonal
• Correcto: Columnas de $P$ deben ser vectores unitarios

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CHECKLIST FINAL DE ESTUDIO

Fundamentos (Clases 1-21)

• Operaciones vectoriales y producto punto
• Reducción por filas y forma escalonada
• Teorema de existencia y unicidad
• Multiplicación de matrices y propiedades
• Cálculo de matriz inversa
• Cálculo de determinantes
• Propiedades del determinante
• Espacios vectoriales y subespacios
• Independencia lineal
• Teorema de la Matriz Invertible (12 equivalencias)
• Teorema del Rango

Valores Propios (Clases 29-33)

• Definición de valor y vector propio
• Cálculo de valores propios (ecuación característica)
• Cálculo de vectores propios
• Espacios propios y bases
• Diagonalización de matrices
• Matrices similares y sus propiedades
• Valores propios complejos
• Aplicaciones a sistemas dinámicos

Ortogonalidad (Clases 34-39)

• Producto interior y norma
• Vectores ortogonales y ortonormales
• Proyección ortogonal sobre vector
• Proyección sobre subespacio
• Proceso de Gram-Schmidt
• Factorización QR
• Matrices ortogonales
• Ecuaciones normales de mínimos cuadrados
• Regresión lineal

Matrices Simétricas (Clases 40-43)

• Propiedades de matrices simétricas
• Teorema espectral (3 versiones)
• Diagonalización ortogonal
• Descomposición espectral
• Formas cuadráticas
• Clasificación de formas cuadráticas
• Teorema de ejes principales
• Factorización de Cholesky (algoritmo)
• DVS/SVD (construcción completa)
• Aplicaciones de DVS (aproximación, PCA, pseudoinversa)

Técnicas de Resolución

• Resolver sistemas lineales por reducción
• Calcular inversas (2×2 y método Gauss-Jordan)
• Diagonalizar matrices
• Aplicar Gram-Schmidt
• Resolver problemas de mínimos cuadrados
• Clasificar formas cuadráticas
• Calcular factorización de Cholesky
• Calcular DVS

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Resumen Completo Terminado

Este documento cubre todas las 43 clases del curso, con énfasis especial en las clases 22-43 como solicitado. Incluye:

✅ Definiciones formales con callouts ✅ Teoremas numerados y enunciados ✅ Ejemplos completamente trabajados ✅ Fórmulas esenciales ✅ Estrategias de resolución ✅ Errores comunes ✅ Checklist de estudio

¡Éxito en tu examen! 🎯

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📚 Referencias

• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Todas las secciones del curso
• Clases 1-43 del vault de Obsidian
• Material del curso MAT1203 - Universidad

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Documento creado: 25 de noviembre de 2025 Última actualización: 25 de noviembre de 2025