12) La Derivada como una Función

Clase 12: La Derivada como una Función

📚 Introducción

Hasta ahora hemos considerado la derivada de una función $f$ en un número fijo $x=a$. En esta clase cambiamos la perspectiva: permitimos que el número $a$ varíe, convirtiendo la derivada en una nueva función $f^{\prime }$. Este cambio conceptual es fundamental, ya que nos permite estudiar cómo cambia la razón de cambio a lo largo de todo el dominio de la función original. Además, exploraremos la importante relación entre continuidad y derivabilidad, y aprenderemos a identificar cuándo una función no admite derivada.

Objetivos de la Clase

• Determinar la fórmula y dominio de una derivada (como función)
• Conocer las notaciones para la derivada una función $f$: $f^{\prime }(x)$, $\frac{d}{dx}f(x)$, $\frac{df}{dx}$, $\frac{dy}{dx}$
• Comprender la relación entre continuidad y derivabilidad:
  • Derivable implica continua
  • Discontinua implica no derivable
  • Continua y no derivable (es posible)
• Identificar gráficamente cuándo una función no admite derivada: (1) discontinua, (2) esquina o punta, y (3) tangente vertical
• Determinar condiciones (parámetros) para que una función sea derivable en un punto

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1. De la Derivada en un Punto a la Función Derivada

1.1 Recordatorio: Derivada en un Punto

En la clase anterior consideramos la derivada de una función $f$ en un número fijo $x=a$:

$f^{\prime }(a)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

1.2 La Derivada como Función

Ahora cambiamos el punto de vista y hacemos que el número $x=a$ varíe. Si en la ecuación anterior reemplazamos $a$ con una variable $x$, obtenemos:

Definición - Función Derivada

La derivada de $f$ es la función $f^{\prime }$ definida por:

$f^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

siempre que este límite exista.

Dado cualquier número $x$ para el cual este límite exista, asignamos a $x$ el número $f^{\prime }(x)$. De modo que consideramos a $f^{\prime }$ como una nueva función, llamada derivada de $f$ y definida por la ecuación anterior.

1.3 Dominio de la Derivada

Importante sobre el Dominio

El dominio de $f^{\prime }$ es el conjunto $x\mid f^{\prime }(x)\text{ existe}$ y puede ser menor que el dominio de $f$.

$\text{Dom}(f^{\prime })\subseteq \text{Dom}(f)$

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2. Notaciones para la Derivada

2.1 Notaciones Principales

Si usamos la notación tradicional $y=f(x)$ para indicar que la variable independiente es $x$ y la dependiente es $y$, entonces algunas notaciones comunes para la derivada son:

$f^{\prime }(x),\frac{d}{dx}f(x),\frac{df}{dx},\frac{dy}{dx}$

Lectura de las Notaciones

• $f^{\prime }(x)$ se lee “f prima de x”
• $\frac{d}{dx}f(x)$ se lee “la derivada de f respecto a x”
• $\frac{dy}{dx}$ se lee “dy sobre dx” o “la derivada de y respecto a x”

2.2 Notación de Leibniz

Los símbolos $D$ y $d/dx$ se llaman operadores de derivación porque indican la operación de derivación, que es el proceso de calcular una derivada.

La notación $\frac{dy}{dx}$, introducida por Leibniz, no debe considerarse como una razón (por ahora); es sencillamente un sinónimo de $f^{\prime }(x)$. No obstante, es una notación útil y sugerente, especialmente cuando se usa en la notación de incrementos.

2.3 Valor de la Derivada en un Punto

Si deseamos indicar el valor de una derivada $dy/dx$ en la notación de Leibniz en un número específico $x=a$, usamos la notación:

${\frac{dy}{dx}|}_{x=a}\text{o bien}{\left[\frac{dy}{dx}\right]}_{x=a}$

que es un sinónimo para $f^{\prime }(a)$.

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3. Ejemplos de Cálculo de Derivadas

3.1 Ejemplo 1: Función Cuadrática

Problema: Si $f(x)=x^3-x$, encuentre una fórmula para $f^{\prime }(x)$.

Solución

Cuando se usa la ecuación 2 para calcular una derivada, hay que recordar que la variable es $h$ y que $x$ se considera temporalmente como una constante durante el cálculo del límite:

$f^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$={\lim }_{h\to 0}\frac{[(x+h{)}^3-(x+h)]-[x^3-x]}{h}$

$={\lim }_{h\to 0}\frac{x^3+3x^{2}h+3x{h}^2+h^3-x-h-x^3+x}{h}$

$={\lim }_{h\to 0}\frac{3x^{2}h+3x{h}^2+h^3-h}{h}$

$={\lim }_{h\to 0}(3x^2+3xh+h^2-1)=3x^2-1$

Por lo tanto: $f^{\prime }(x)=3x^2-1$

3.2 Ejemplo 2: Función con Raíz Cuadrada

Problema: Si $f(x)=\sqrt{x}$, encuentre la derivada de $f$. Establezca el dominio de $f^{\prime }$.

Solución

$f^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}={\lim }_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$

Racionalizamos el numerador:

$={\lim }_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot \frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$

$={\lim }_{h\to 0}\frac{(x+h)-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}={\lim }_{h\to 0}\frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$

$={\lim }_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Dominio de $f^{\prime }$: Observe que $f^{\prime }(x)$ existe si $x>0$, de modo que el dominio de $f^{\prime }$ es $(0,\infty )$ y es menor que el dominio de $f$, $[0,\infty )$.

3.3 Ejemplo 3: Función Racional

Problema: Encuentre $f^{\prime }$ si $f(x)=\frac{1-x}{2+x}$.

Solución

$f^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$={\lim }_{h\to 0}\frac{\frac{1-(x+h)}{2+(x+h)}-\frac{1-x}{2+x}}{h}$

Simplificando el numerador compuesto:

$={\lim }_{h\to 0}\frac{\frac{(1-x-h)(2+x)-(1-x)(2+x+h)}{(2+x+h)(2+x)}}{h}$

$={\lim }_{h\to 0}\frac{(2+x-2x-x^2-2h-xh)-(2+x+h-2x-x^2-xh)}{h(2+x+h)(2+x)}$

$={\lim }_{h\to 0}\frac{-3h}{h(2+x+h)(2+x)}={\lim }_{h\to 0}\frac{-3}{(2+x+h)(2+x)}$

$=\frac{-3}{(2+x{)}^2}$

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4. Interpretación Gráfica de la Derivada

4.1 La Gráfica de $f^{\prime }$

Sabemos que el valor de $f^{\prime }$ en $x$, $f^{\prime }(x)$ puede interpretarse geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(x,f(x))$.

Cómo Graficar f' a partir de f

Puede estimar el valor de la derivada, en cualquier valor de $x$, trazando la tangente en el punto $(x,f(x))$ y estimando su pendiente. Por ejemplo, para $x=5$, trace la recta tangente en $P$ de la figura y estime su pendiente alrededor de $\frac{3}{2}$, por tanto, $f^{\prime }(5)\approx 1.5$.

4.2 Ejemplo: Comparación de Gráficas

Observaciones de las Gráficas

• Donde $f$ tiene tangentes horizontales, $f^{\prime }(x)=0$ (puntos $A$, $B$, $C$)
• Entre $0$ y $A$, las tangentes tienen pendiente positiva, por lo que $f^{\prime }(x)>0$
• Entre $A$ y $B$, las tangentes tienen pendiente negativa, por lo que $f^{\prime }(x)<0$
• La gráfica de $f^{\prime }$ cruza el eje $x$ en los puntos $A^{\prime }$, $B^{\prime }$ y $C^{\prime }$ directamente debajo de $A$, $B$ y $C$

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5. Relación entre Continuidad y Derivabilidad

5.1 Teorema Fundamental

Teorema - Derivable Implica Continua

Si $f$ es derivable en $x=a$, entonces $f$ es continua en $x=a$.

DEMOSTRACIÓN: Para demostrar que $f$ es continua en $x=a$, debemos demostrar que ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$. Para esto empezamos por probar que la diferencia $f(x)-f(a)$ tiende a $0$.

La información dada es que $f$ es derivable en $x=a$; es decir,

$f^{\prime }(a)={\lim }_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

existe (véase la ecuación 2.7.5). Para relacionar lo dado con lo desconocido, divida y multiplique $f(x)-f(a)$ por $x-a$ (lo cual es posible cuando $x\ne a$):

$f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot (x-a)$

De este modo, si usamos la ley del producto y la ecuación (2.7.5), podemos escribir:

${\lim }_{x\to a}[f(x)-f(a)]={\lim }_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot (x-a)$

$={\lim }_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot {\lim }_{x\to a}(x-a)$

$=f^{\prime }(a)\cdot 0=0$

En consecuencia, $f$ es continua en $x=a$. $\square$

NOTA: El inverso del teorema 4 es falso

Es decir, hay funciones que son continuas, pero que no son derivables. Por ejemplo, la función $f(x)=|x|$ es continua en $x=0$ porque:

${\lim }_{x\to 0}f(x)={\lim }_{x\to 0}|x|=0=f(0)$

(Véase el ejemplo 7 de la sección 2.3.) Pero en el ejemplo 5 demostramos que $f$ no es derivable en $x=0$.

5.2 Tres Formas en que una Función No es Derivable

¿Cómo deja de ser derivable una función?

Si la gráfica de una función $f$ tiene “esquinas” o “picos”, la gráfica de $f$ no tiene recta tangente en esos puntos y $f$ no es derivable allí. [Al intentar calcular $f^{\prime }(a)$, encontramos que los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes.]

El teorema señala otra forma en que una función no tiene derivada. En él se afirma que si $f$ no es continua en $a$, entonces $f$ no es derivable en $x=a$. Por ende, en cualquier discontinuidad (p. ej., una discontinuidad de salto), $f$ no es derivable.

Una tercera posibilidad es que la curva tenga una recta tangente vertical cuando $x=a$; es decir, $f$ es continua en $x=a$ y

${\lim }_{x\to a}|f^{\prime }(x)|=\infty$

Tres maneras para que f no sea derivable en x = a

1. Una esquina o pico
2. Una discontinuidad
3. Una tangente vertical

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6. Derivabilidad en un Intervalo

6.1 Definición

Definición - Derivable en un Intervalo

Una función $f$ es derivable en $x=a$ si $f^{\prime }(a)$ existe. Es derivable sobre un intervalo abierto $(a,b)$ [o $(a,\infty )$ o $(-\infty ,a)$ o $(-\infty ,\infty )$] si es derivable en todo número del intervalo.

6.2 Ejemplo: Función Valor Absoluto

Problema: ¿Dónde es derivable la función $f(x)=|x|$?

Solución (ya vista en Ejemplo 5)

Si $x>0$, entonces $|x|=x$ y podemos elegir $h$ lo suficientemente pequeño de modo que $x+h>0$, de aquí que $|x+h|=x+h$. Por tanto, para $x>0$ tenemos:

$f^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\frac{|x+h|-|x|}{h}={\lim }_{h\to 0}\frac{(x+h)-x}{h}={\lim }_{h\to 0}\frac{h}{h}={\lim }_{h\to 0}1=1$

y, por consiguiente, $f$ es derivable para cualquier $x>0$.

De manera análoga, para $x<0$ se tiene que $|x|=-x$ y se puede elegir $h$ lo suficientemente pequeña para que $x+h<0$ y, así, $|x+h|=-(x+h)$. Por tanto, para $x<0$:

$f^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\frac{|x+h|-|x|}{h}={\lim }_{h\to 0}\frac{-(x+h)-(-x)}{h}={\lim }_{h\to 0}\frac{-h}{h}={\lim }_{h\to 0}(-1)=-1$

así que $f$ es derivable para cualquier $x<0$.

Para $x=0$ debemos investigar:

$f^{\prime }(0)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}={\lim }_{h\to 0}\frac{|0+h|-|0|}{h}={\lim }_{h\to 0}\frac{|h|}{h}$

(si existe). Calcule por separado los límites por la izquierda y por la derecha:

${\lim }_{h\to 0^{-}}\frac{|h|}{h}={\lim }_{h\to 0^{-}}\frac{-h}{h}={\lim }_{h\to 0^{-}}(-1)=-1$

${\lim }_{h\to 0^{+}}\frac{|h|}{h}={\lim }_{h\to 0^{+}}\frac{h}{h}={\lim }_{h\to 0^{+}}1=1$

Puesto que estos límites son diferentes, $f^{\prime }(0)$ no existe. Así, $f$ es derivable en toda $x$, excepto en $x=0$.

La fórmula para $f^{\prime }$ está dada por:

$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{si }x>0\\ -1& \text{si }x<0\end{array}$

y su gráfica aparece en la figura. La inexistencia de $f^{\prime }(0)$ se refleja geométricamente en el hecho de que la curva $y=|x|$ no tiene recta tangente en $(0,0)$.

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7. Determinación de Parámetros para Derivabilidad

7.1 Ejemplo con Parámetros

Problema: Determine $a$ y $b$ para que $f$ sea derivable en $x=1$:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}ax+b& \text{si }x<1\\ x^2& \text{si }x\ge 1\end{array}$

Solución

Para que $f$ sea derivable en $x=1$, primero debe ser continua en $x=1$:

Continuidad: ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}(ax+b)=a+b$ ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}{x}^2=1$ $f(1)=1^2=1$

Para continuidad: $a+b=1$ … (ecuación 1)

Derivabilidad: $f^{\prime }(1^{-})={\lim }_{h\to 0^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}={\lim }_{h\to 0^{-}}\frac{a(1+h)+b-1}{h}$

Usando que $a+b=1$: $={\lim }_{h\to 0^{-}}\frac{a+ah+b-1}{h}={\lim }_{h\to 0^{-}}\frac{ah}{h}=a$

$f^{\prime }(1^{+})={\lim }_{h\to 0^{+}}\frac{(1+h{)}^2-1}{h}={\lim }_{h\to 0^{+}}\frac{1+2h+h^2-1}{h}$ $={\lim }_{h\to 0^{+}}(2+h)=2$

Para derivabilidad: $a=2$ … (ecuación 2)

De las ecuaciones 1 y 2: $a=2$ y $b=-1$

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Función derivada: $f^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ para cada $x$ donde existe el límite
2. Dominio de $f^{\prime }$: Puede ser menor que el dominio de $f$: $\text{Dom}(f^{\prime })\subseteq \text{Dom}(f)$
3. Notaciones: $f^{\prime }(x)$, $\frac{dy}{dx}$, $\frac{df}{dx}$, $\frac{d}{dx}f(x)$, $Df(x)$
4. Derivable implica continua: Si $f$ es derivable en $a$, entonces $f$ es continua en $a$
5. Continua NO implica derivable: Ejemplo: $f(x)=|x|$ es continua pero no derivable en $x=0$
6. Tres casos de no derivabilidad: esquina/pico, discontinuidad, tangente vertical

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Confundir f'(a) con f'(x)

• Incorrecto: Pensar que son lo mismo
• Correcto: $f^{\prime }(a)$ es un número (derivada en un punto), $f^{\prime }(x)$ es una función

Error 2: Asumir que continua implica derivable

• Incorrecto: “Si $f$ es continua en $a$, entonces $f$ es derivable en $a$”
• Correcto: Derivable $\Rightarrow$ Continua, pero NO al revés

Error 3: Olvidar verificar continuidad antes de derivabilidad

• Incorrecto: Solo verificar que los límites laterales de la derivada coinciden
• Correcto: Primero verificar continuidad, luego derivabilidad

Error 4: Pensar que \text{Dom}(f') = \text{Dom}(f) siempre

• Incorrecto: Asumir que tienen el mismo dominio
• Correcto: $\text{Dom}(f^{\prime })\subseteq \text{Dom}(f)$ (puede ser estrictamente menor)

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios de Práctica

1. Si $f(x)=x^2-3x+2$, encuentre $f^{\prime }(x)$ usando la definición
2. Calcule la derivada de $g(x)=\frac{1}{x^2}$ y determine su dominio
3. Grafique $f^{\prime }$ si la gráfica de $f$ es la que se muestra (use tangentes)
4. Determine $a$ y $b$ para que sea derivable en $x=2$: $f(x)=\{\begin{array}{llc}a{x}^2+b& x\le 2x^3-1& x>2\end{array}$
5. Explique por qué $f(x)=|x-3|$ no es derivable en $x=3$

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 2.8: La derivada como una función, págs. 154-159

Enlaces Relacionados

• 11) Razón de Cambio Promedio y Razón de Cambio Instantánea - Clase anterior
• Derivada-como-Funcion
• Continuidad-y-Derivabilidad
• Dominio-de-la-Derivada

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Sugerencia de Estudio

Enfatizar la diferencia entre la derivada en un punto (número) y la función derivada, así como la relación entre ambas. Es fundamental comprender que $\text{Dom}(f^{\prime })\subseteq \text{Dom}(f)$. Practicar el cálculo de derivadas por definición para funciones como $1/x$, $\sqrt{x}$, y funciones definidas por partes. El teorema “derivable implica continua” es crucial, pero recordar que el recíproco es FALSO.

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo calcular $f^{\prime }(x)$ usando la definición para diversas funciones
• Entiendo la diferencia entre $f^{\prime }(a)$ (número) y $f^{\prime }(x)$ (función)
• Conozco todas las notaciones de la derivada y cuándo usar cada una
• Comprendo que $\text{Dom}(f^{\prime })\subseteq \text{Dom}(f)$ y puedo determinarlo
• Sé que derivable implica continua, pero NO al revés
• Puedo identificar gráficamente los tres casos de no derivabilidad
• Sé determinar parámetros para que una función por partes sea derivable
• Puedo graficar $f^{\prime }$ aproximadamente si tengo la gráfica de $f$

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