Regla de la Potencia

Definicion

Regla de la Potencia

Si $n$ es cualquier numero real y $f(x)=x^n$, entonces:

$\frac{d}{dx}(x^n)=n{x}^{n-1}$

En Palabras

“Bajar el exponente como coeficiente y restar 1 al exponente”

Casos Especiales

Constante

Si $f(x)=c$ (constante), entonces $n=0$: $\frac{d}{dx}(c)=0$

Funcion Lineal

Si $f(x)=x$, entonces $n=1$: $\frac{d}{dx}(x)=1$

Funcion Cuadratica

Si $f(x)=x^2$: $\frac{d}{dx}(x^2)=2x$

Raiz Cuadrada

Si $f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}$: $\frac{d}{dx}(x^{1/2})=\frac{1}{2}{x}^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Reciproco

Si $f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$: $\frac{d}{dx}(x^{-1})=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$

Ejemplos

Ejemplo 1: Exponentes Enteros Positivos

Derivar:

a) $f(x)=x^3⟹f^{\prime }(x)=3x^2$

b) $f(x)=x^{10}⟹f^{\prime }(x)=10x^9$

c) $f(x) = x^{100} \implies f’(x) = 100x^{99}$$

Ejemplo 2: Exponentes Negativos

Derivar:

a) $f(x)=x^{-3}=\frac{1}{x^3}$ $f^{\prime }(x)=-3x^{-4}=-\frac{3}{x^4}$

b) $f(x)=x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{2}{x}^{-3/2}$

Ejemplo 3: Exponentes Fraccionarios

Derivar:

a) $f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$ $f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}{x}^{-2/3}$

b) $f(x)=x^{2/3}$ $f^{\prime }(x)=\frac{2}{3}{x}^{-1/3}$

Regla de la Potencia Generalizada

Version con Funcion Compuesta

Si $u=g(x)$ es una funcion derivable y $n$ es un numero real:

$\frac{d}{dx}[g(x){]}^n=n[g(x){]}^{n-1}\cdot g^{\prime }(x)$

Esto combina la Regla de la Potencia con la Regla-de-la-Cadena.

Ejemplo: Potencia Generalizada

Derivar $y=(x^2+1{)}^5$:

Aqui $g(x)=x^2+1$ y $n=5$: $\frac{dy}{dx}=5(x^2+1{)}^4\cdot 2x=10x(x^2+1{)}^4$

Aplicaciones a Polinomios

Derivada de Polinomios

Para un polinomio general: $p(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$

Su derivada es: $p^{\prime }(x)=n{a}_n{x}^{n-1}+(n-1)a_{n-1}{x}^{n-2}+\cdots +a_1$

Ejemplo: Polinomio Cubico

Derivar $f(x)=3x^3-5x^2+2x-7$:

$f^{\prime }(x)=9x^2-10x+2$

Tecnicas de Reescritura

Reescribir para Usar la Regla

Muchas funciones se pueden reescribir como potencias:

Raices:

• $\sqrt{x}=x^{1/2}$
• $\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$
• $\sqrt[n]{x}=x^{1/n}$

Reciprocos:

• $\frac{1}{x}=x^{-1}$
• $\frac{1}{x^2}=x^{-2}$
• $\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}$

Errores Comunes

Error 1: Olvidar Restar 1 al Exponente

Incorrecto: $(x^5{)}^{\prime }=5x^5$

Correcto: $(x^5{)}^{\prime }=5x^4$

Error 2: Con Constantes

Incorrecto: $(5x^3{)}^{\prime }=5x^2$

Correcto: $(5x^3{)}^{\prime }=15x^2$ (multiplicar $5\times 3$)

Error 3: Exponente Cero

Incorrecto: $(x{)}^{\prime }=0$

Correcto: $(x{)}^{\prime }=1$ (porque $x=x^1$, no $x^0$)

Clases Relacionadas

• 13) Derivadas de Polinomios, Exponenciales y Regla del Producto - Introduccion
• 15) Regla de la Cadena - Version generalizada
• 12) La Derivada como una Función - Concepto de derivada

Conceptos Relacionados

• Derivada
• Regla-de-la-Cadena
• Regla-del-Producto

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