17) Derivación Implícita

Clase 17: Derivación Implícita

📚 Introducción

Hasta ahora hemos derivado funciones expresadas explícitamente como $y=f(x)$. Sin embargo, muchas relaciones importantes en matemáticas y ciencias se expresan mediante ecuaciones que definen $y$ implícitamente en términos de $x$, como $x^2+y^2=25$ o $x^3+y^3=6xy$. La derivación implícita es una técnica poderosa que nos permite encontrar $\frac{dy}{dx}$ sin necesidad de despejar $y$.

Objetivos de la Clase

• Comprender cuándo y por qué usar derivación implícita
• Aplicar el método de derivación implícita paso a paso
• Relacionar derivación implícita con la regla de la cadena
• Encontrar ecuaciones de rectas tangentes a curvas definidas implícitamente

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1. Funciones Definidas Implícitamente

1.1 Diferencia entre Explícita e Implícita

Definiciones

Función Explícita: La variable dependiente está despejada $y=x^2+1\text{o}y=\sqrt{25-x^2}$

Función Implícita: La relación entre variables se da mediante una ecuación $x^2+y^2=25\text{o}{x}^3+y^3=6xy$

1.2 ¿Por Qué Derivación Implícita?

Hay situaciones donde:

1. Es difícil o imposible despejar $y$ explícitamente
2. La ecuación define múltiples funciones simultáneamente
3. Queremos evitar cálculos algebraicos complejos

Ejemplo: Para $x^2+y^2=25$

• Podemos despejar: $y=\pm \sqrt{25-x^2}$ (dos funciones)
• Pero es más sencillo derivar implícitamente

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2. El Método de Derivación Implícita

2.1 Principio Fundamental

Idea Clave

Cuando derivamos una ecuación que contiene $y$, tratamos a $y$ como una función de $x$. Por lo tanto, al derivar términos con $y$, debemos aplicar la regla de la cadena.

2.2 Procedimiento Paso a Paso

Método - Derivación Implícita

Paso 1: Derivar ambos lados de la ecuación respecto a $x$

Paso 2: Al derivar términos con $y$, aplicar la regla de la cadena (aparecerá $\frac{dy}{dx}$ o $y^{\prime }$)

Paso 3: Agrupar todos los términos con $\frac{dy}{dx}$ en un lado

Paso 4: Despejar $\frac{dy}{dx}$

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3. Ejemplos Fundamentales

3.1 Ejemplo Básico: Círculo

Problema: Si $x^2+y^2=25$, encontrar $\frac{dy}{dx}$

Solución

Paso 1: Derivamos ambos lados respecto a $x$ $\frac{d}{dx}(x^2+y^2)=\frac{d}{dx}(25)$

Paso 2: Aplicamos derivadas (¡regla de la cadena en $y^2$!) $\frac{d}{dx}(x^2)+\frac{d}{dx}(y^2)=0$

$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$

Paso 3: Despejamos $\frac{dy}{dx}$ $2y\frac{dy}{dx}=-2x$

$\boxed{\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}}$

Nota Importante

La derivada $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$ está expresada en términos de ambas variables $x$ e $y$. Esto es normal en derivación implícita.

3.2 Ejemplo 2 (pág. 211): Recta Tangente

Problema: Encontrar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia $x^2+y^2=25$ en el punto $(3,4)$

Solución Paso a Paso

Paso 1: Ya sabemos que $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$

Paso 2: Evaluamos en $(3,4)$ $\frac{dy}{dx}{|}_{(3,4)}=-\frac{3}{4}$

Paso 3: Usamos la forma punto-pendiente $y-4=-\frac{3}{4}(x-3)$

$y-4=-\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}$

$\boxed{3x+4y=25}$

3.3 Ejemplo 4 (pág. 213): Folium de Descartes

Problema: Encontrar $y^{\prime }$ si $x^3+y^3=6xy$

Solución Detallada

Paso 1: Derivamos ambos lados $\frac{d}{dx}(x^3+y^3)=\frac{d}{dx}(6xy)$

Paso 2: Aplicamos reglas (¡regla del producto a la derecha!) $3x^2+3y^2\frac{dy}{dx}=6\left(x\frac{dy}{dx}+y\right)$

$3x^2+3y^2\frac{dy}{dx}=6x\frac{dy}{dx}+6y$

Paso 3: Agrupamos términos con $\frac{dy}{dx}$ $3y^2\frac{dy}{dx}-6x\frac{dy}{dx}=6y-3x^2$

Paso 4: Factorizamos y despejamos $\frac{dy}{dx}(3y^2-6x)=6y-3x^2$

$\boxed{\frac{dy}{dx}=\frac{6y-3x^2}{3y^2-6x}=\frac{2y-x^2}{y^2-2x}}$

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4. Relación con la Regla de la Cadena

4.1 ¿Por Qué Aparece $\frac{dy}{dx}$?

Explicación Profunda

Cuando derivamos $y^2$ respecto a $x$, en realidad estamos derivando $[y(x){]}^2$.

Por la regla de la cadena: $\frac{d}{dx}[y(x){]}^2=2y(x)\cdot \frac{d}{dx}y(x)=2y\frac{dy}{dx}$

La derivación implícita es una aplicación de la regla de la cadena donde la “función interna” es la propia $y(x)$.

4.2 Derivando Términos Comunes

Término	Derivada respecto a $x$	Explicación
$y$	$\frac{dy}{dx}$	Derivada de $y(x)$
$y^n$	$n{y}^{n-1}\frac{dy}{dx}$	Regla de la cadena
$xy$	$x\frac{dy}{dx}+y$	Regla del producto
$\frac{x}{y}$	$\frac{y-x\frac{dy}{dx}}{y^2}$	Regla del cociente
$\sin y$	$\cos y\cdot \frac{dy}{dx}$	Regla de la cadena
$e^y$	$e^y\cdot \frac{dy}{dx}$	Regla de la cadena

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5. Casos Especiales

5.1 Derivada de $x$ Respecto a $y$: Ejercicio 24 (pág. 215)

A veces se pide $\frac{dx}{dy}$ en lugar de $\frac{dy}{dx}$.

Método 1: Derivar implícitamente respecto a $y$ (tratando $x$ como función de $y$)

Método 2: Usar la relación $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$

siempre que $\frac{dy}{dx}\ne 0$

Ejemplo

Si $x^2+y^2=25$, ya sabemos que $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$

Entonces: $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{-\frac{x}{y}}=-\frac{y}{x}$

Se puede pedir $x^{\prime }(0)$, que significa $\frac{dx}{dy}{|}_{y=0}$

5.2 Derivadas de Orden Superior

Para encontrar $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ de una función implícita:

1. Primero encontramos $\frac{dy}{dx}$ por derivación implícita
2. Luego derivamos implícitamente la expresión de $\frac{dy}{dx}$ respecto a $x$
3. Sustituimos $\frac{dy}{dx}$ cuando sea necesario

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Derivación implícita: Método para derivar sin despejar $y$
2. Regla de la cadena: Base teórica de la derivación implícita
3. $y$ como función: Siempre tratamos $y$ como $y(x)$ al derivar
4. Términos con $y$: Producen $\frac{dy}{dx}$ al derivar
5. Despejar $\frac{dy}{dx}$: Paso final después de derivar
6. Evaluación: La derivada puede contener tanto $x$ como $y$

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🚨 Errores Comunes

Error 1: No aplicar regla de la cadena a términos con y

• Incorrecto: $\frac{d}{dx}(y^2)=2y$
• Correcto: $\frac{d}{dx}(y^2)=2y\frac{dy}{dx}$

Error 2: Olvidar la regla del producto

• Incorrecto: $\frac{d}{dx}(xy)=y$
• Correcto: $\frac{d}{dx}(xy)=x\frac{dy}{dx}+y$

Error 3: No agrupar correctamente los términos con \frac{dy}{dx}

• Incorrecto: Dejar términos con $\frac{dy}{dx}$ en ambos lados
• Correcto: Factorizar y despejar completamente $\frac{dy}{dx}$

Error 4: Confundir \frac{dy}{dx} con \frac{dx}{dy}

• Incorrecto: Pensar que son lo mismo
• Correcto: Son recíprocos cuando ambos existen y son no nulos

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios de Práctica

1. Si $x^2-xy+y^2=7$, encontrar $\frac{dy}{dx}$
2. Hallar la ecuación de la recta tangente a $x^3+y^3=6xy$ en $(3,3)$
3. Si $\sin (xy)=x$, encontrar $\frac{dy}{dx}$
4. Para $e^{x+y}=xy$, calcular $\frac{dy}{dx}$
5. Ejercicio 24 (pág. 215): Encontrar $x^{\prime }(0)$ para alguna curva dada

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 3.5: Derivación implícita, págs. 209-213
• Ejemplo 2, pág. 211
• Ejemplo 4, pág. 213
• Ejercicio 24, pág. 215

Material del Documento

• Sección 3.5 del PDF compartido (páginas 209-213)
• Ejemplos 1-4 de derivación implícita
• Figuras 1-6 ilustrando curvas y tangentes

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Sugerencia de Estudio

La derivación implícita es esencialmente una aplicación inteligente de la regla de la cadena. Cada vez que derives un término que contiene $y$, pregúntate: “¿Qué función estoy derivando y cuál es su función interna?” La respuesta siempre será que $y$ es la función interna, por lo que aparecerá $\frac{dy}{dx}$ multiplicando.

Practica identificando cuándo necesitas usar regla del producto o del cociente además de la derivación implícita. Los errores más comunes ocurren cuando hay productos o cocientes que involucran tanto $x$ como $y$.

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Entiendo la diferencia entre funciones explícitas e implícitas
• Puedo explicar por qué aparece $\frac{dy}{dx}$ al derivar términos con $y$
• Sé aplicar la regla del producto con derivación implícita
• Puedo encontrar ecuaciones de rectas tangentes a curvas implícitas
• Comprendo la relación entre $\frac{dy}{dx}$ y $\frac{dx}{dy}$
• Reconozco cuándo usar derivación implícita en lugar de despejar
• Puedo verificar mis respuestas sustituyendo en la ecuación original

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