18) Derivadas de Funciones Inversas y Derivación Logarítmica

Clase 18: Derivadas de Funciones Inversas y Derivación Logarítmica

📚 Introducción

Esta clase explora dos temas fundamentales que amplían nuestro repertorio de técnicas de derivación. Primero, aprenderemos a derivar funciones inversas, especialmente las funciones trigonométricas inversas (arcofunciones) y logaritmos en cualquier base. Segundo, dominaremos la derivación logarítmica, una técnica elegante que simplifica el cálculo de derivadas de funciones complicadas que involucran productos, cocientes o potencias.

Objetivos de la Clase

• Comprender la relación entre la derivada de una función y su inversa
• Derivar funciones trigonométricas inversas (arcoseno, arcocoseno, arcotangente)
• Calcular derivadas de logaritmos en cualquier base
• Aplicar la técnica de derivación logarítmica a funciones complejas
• Deducir la derivada de $x^{\alpha }$ para cualquier $\alpha \in \mathbb{R}$

---

1. Derivadas de Funciones Inversas

1.1 Teorema Fundamental

Ya vimos en la clase anterior que si $y=\arctan x$, entonces derivando implícitamente obtuvimos que $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}$. Este resultado sugiere un patrón general.

Teorema - Derivada de la Función Inversa

Si $f$ es una función uno a uno derivable con $f^{\prime }(f^{-1}(x))\ne 0$, entonces la función inversa $f^{-1}$ es derivable en $x$ y:

$(f^{-1}{)}^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(x))}$

En palabras: la derivada de la función inversa es el recíproco de la derivada de la función original, evaluada en el punto correspondiente.

1.2 Notación Alternativa

Si escribimos $y=f^{-1}(x)$, entonces $x=f(y)$, y el teorema se puede expresar como:

$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

Esta fórmula tiene sentido intuitivo: si $y$ cambia rápidamente respecto a $x$, entonces $x$ cambia lentamente respecto a $y$.

---

2. Derivadas de Funciones Trigonométricas Inversas

2.1 Derivada de $\arcsin x$

Recordemos que $y=\arcsin x$ significa que $\sin y=x$ con $-\frac{\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2}$.

Deducción

Partimos de la definición: $\sin y=x$

Derivamos implícitamente respecto a $x$: $\cos y\cdot \frac{dy}{dx}=1$

Despejamos: $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y}$

Como ${\cos }^{2}y+{\sin }^{2}y=1$, tenemos $\cos y=\sqrt{1-{\sin }^{2}y}=\sqrt{1-x^2}$

(tomamos raíz positiva porque $\cos y\ge 0$ en $[-\pi /2,\pi /2]$)

Resultado:

$\boxed{\frac{d}{dx}(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$

2.2 Derivada de $\arccos x$

Siguiendo un proceso similar, o notando que $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$:

$\boxed{\frac{d}{dx}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$

2.3 Derivada de $\arctan x$

Ya la obtuvimos en la clase 17:

$\boxed{\frac{d}{dx}(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2}}$

2.4 Tabla Completa de Derivadas de Funciones Inversas

Función	Derivada	Dominio de la derivada
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$(-1,1)$
$\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$(-1,1)$
$\arctan x$	$\frac{1}{1+x^2}$	$(-\infty ,\infty )$
$\text{arccsc},x$	$-\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$	$\Vert x\Vert >1$
$\text{arcsec},x$	$\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$	$\Vert x\Vert >1$
$\text{arccot},x$	$-\frac{1}{1+x^2}$	$(-\infty ,\infty )$

Observación Importante

Todas estas derivadas se pueden obtener mediante derivación implícita, como hicimos con arcoseno. El método es siempre el mismo:

1. Escribir la relación inversa (ej: si $y=\arcsin x$, entonces $\sin y=x$)
2. Derivar implícitamente
3. Usar identidades trigonométricas para expresar el resultado en términos de $x$

---

3. Derivadas de Logaritmos en Cualquier Base

3.1 Fórmula General para ${\log }_{a}x$

Ya sabemos que $\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$. ¿Qué pasa con logaritmos en otras bases?

Derivada de \log_a x \Large \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}

Demostración: Usando el cambio de base, ${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$, donde $\ln a$ es una constante:

$\frac{d}{dx}({\log }_{a}x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)=\frac{1}{\ln a}\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{x\ln a}$

3.2 Caso Especial: $a=e$

Cuando $a=e$, tenemos $\ln e=1$, por lo que la fórmula se reduce a:

$\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x\cdot 1}=\frac{1}{x}$

Esta es una razón más por la cual los logaritmos naturales son preferidos en cálculo: ¡la derivada tiene la forma más simple!

---

4. Derivación Logarítmica

4.1 Principio de la Técnica

La derivación logarítmica es especialmente útil cuando tenemos que derivar:

• Productos complicados
• Cocientes complicados
• Funciones elevadas a funciones (como $x^x$ o $(x^2{)}^{\sin x}$)

Fórmula Fundamental

$\frac{d}{dx}\ln (f(x))=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$

O equivalentemente: $\frac{d}{dx}[\ln g(x)]=\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}$

4.2 Procedimiento General

Pasos de la Derivación Logarítmica

Paso 1: Dada $y=f(x)$, tomar logaritmo natural en ambos lados: $\ln y=\ln [f(x)]$

Paso 2: Simplificar usando propiedades de logaritmos

Paso 3: Derivar implícitamente ambos lados respecto a $x$

Paso 4: Despejar $\frac{dy}{dx}$

Paso 5: Sustituir $y=f(x)$ para obtener la respuesta final

---

5. Ejemplos de Derivación Logarítmica

5.1 Ejemplo 7 (pág. 220): Producto Complicado

Problema: Derivar $y=\frac{x^{3/4}\sqrt{x^2+1}}{(3x+2{)}^5}$

Solución usando Derivación Logarítmica

Paso 1: Tomamos logaritmo natural: $\ln y=\ln \left(\frac{x^{3/4}\sqrt{x^2+1}}{(3x+2{)}^5}\right)$

Paso 2: Aplicamos propiedades de logaritmos: $\ln y=\ln (x^{3/4})+\ln (\sqrt{x^2+1})-\ln ((3x+2{)}^5)$

$\ln y=\frac{3}{4}\ln x+\frac{1}{2}\ln (x^2+1)-5\ln (3x+2)$

Paso 3: Derivamos implícitamente: $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2x}{x^2+1}-5\cdot \frac{3}{3x+2}$

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{3}{4x}+\frac{x}{x^2+1}-\frac{15}{3x+2}$

Paso 4: Despejamos: $\frac{dy}{dx}=y\left(\frac{3}{4x}+\frac{x}{x^2+1}-\frac{15}{3x+2}\right)$

Paso 5: Sustituimos $y$: $\frac{dy}{dx}=\frac{x^{3/4}\sqrt{x^2+1}}{(3x+2{)}^5}\left(\frac{3}{4x}+\frac{x}{x^2+1}-\frac{15}{3x+2}\right)$

Ventaja de la Derivación Logarítmica

Sin esta técnica, tendríamos que aplicar la regla del producto y del cociente repetidamente, lo cual sería mucho más laborioso y propenso a errores.

5.2 Ejemplo 8 (pág. 221): Derivada de $x^x$

Problema: Derivar $y=x^x$ para $x>0$

Solución

Este es un caso donde la base y el exponente son variables, por lo que ninguna fórmula anterior aplica directamente.

Paso 1: Tomamos logaritmo: $\ln y=\ln (x^x)=x\ln x$

Paso 2: Derivamos implícitamente (usando regla del producto en el lado derecho): $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=x\cdot \frac{1}{x}+\ln x\cdot 1=1+\ln x$

Paso 3: Despejamos: $\frac{dy}{dx}=y(1+\ln x)=x^x(1+\ln x)$

Resultado:

$\boxed{\frac{d}{dx}(x^x)=x^x(1+\ln x)}$

---

6. La Regla de la Potencia General

6.1 Deducción de $\frac{d}{dx}(x^{\alpha })$ para $\alpha \in \mathbb{R}$

Hasta ahora, la regla de la potencia $\frac{d}{dx}(x^n)=n{x}^{n-1}$ solo la habíamos probado para $n$ entero o racional. Con derivación logarítmica, podemos extenderla a cualquier exponente real.

Demostración - Regla de la Potencia General

Sea $y=x^{\alpha }$ donde $\alpha \in \mathbb{R}$ y $x>0$

Paso 1: Usamos la identidad $x^{\alpha }=e^{\alpha \ln x}$

Paso 2: Derivamos usando regla de la cadena: $\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(e^{\alpha \ln x})=e^{\alpha \ln x}\cdot \frac{d}{dx}(\alpha \ln x)$

$=e^{\alpha \ln x}\cdot \alpha \cdot \frac{1}{x}=x^{\alpha }\cdot \frac{\alpha }{x}$

$=\alpha x^{\alpha -1}$

Conclusión:

$\boxed{\frac{d}{dx}(x^{\alpha })=\alpha x^{\alpha -1}\text{para cualquier }\alpha \in \mathbb{R},,x>0}$

Esta es la versión completamente general de la regla de la potencia.

6.2 Ejemplo: Derivadas con exponentes irracionales

Derivar: $f(x)=x^{\pi }$

Solución: Aplicando la regla general: $f^{\prime }(x)=\pi x^{\pi -1}$

Derivar: $g(x)=x^{\sqrt{2}}$

Solución: $g^{\prime }(x)=\sqrt{2}\cdot x^{\sqrt{2}-1}$

---

7. Ejercicio 77 (pág. 217)

Este ejercicio aparece en las sugerencias de la planificación. Aunque no tengo el enunciado exacto, típicamente este tipo de ejercicios involucra encontrar la derivada de una función inversa en un punto específico usando el teorema de la derivada de la función inversa.

Estrategia General

Si se pide encontrar $(f^{-1}{)}^{\prime }(a)$ sabiendo que $f(b)=a$ y $f^{\prime }(b)=c$:

$(f^{-1}{)}^{\prime }(a)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(a))}=\frac{1}{f^{\prime }(b)}=\frac{1}{c}$

---

🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Derivada de inversa: $(f^{-1}{)}^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(x))}$
2. Arcofunciones: Las derivadas de arcoseno, arcocoseno y arcotangente
3. Logaritmo general: $\frac{d}{dx}{\log }_{a}x=\frac{1}{x\ln a}$
4. Derivación logarítmica: Tomar $\ln$ de ambos lados y derivar implícitamente
5. Regla fundamental: $\frac{d}{dx}\ln (f(x))=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$
6. Potencia general: $\frac{d}{dx}{x}^{\alpha }=\alpha x^{\alpha -1}$ para todo $\alpha \in \mathbb{R}$

---

🚨 Errores Comunes

Error 1: Olvidar el valor absoluto en algunos casos

• Incorrecto: Derivar $\ln x$ para todo $x$
• Correcto: $\ln |x|$ está definido para $x\ne 0$, y $\frac{d}{dx}\ln |x|=\frac{1}{x}$

Error 2: Confundir exponente variable con base variable

• Incorrecto: Derivar $x^x$ usando $\frac{d}{dx}{a}^x=a^x\ln a$
• Correcto: Usar derivación logarítmica porque tanto la base como el exponente varían

Error 3: No simplificar con propiedades de logaritmos antes de derivar

• Incorrecto: Derivar directamente $\ln \left(\frac{x^3\sqrt{x+1}}{(2x-1{)}^2}\right)$ como está
• Correcto: Primero expandir: $3\ln x+\frac{1}{2}\ln (x+1)-2\ln (2x-1)$

Error 4: Olvidar multiplicar por y al despejar en derivación logarítmica

• Incorrecto: Dejar la respuesta como $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\dots$
• Correcto: Despejar $\frac{dy}{dx}=y\cdot (\dots )$ y sustituir $y$

---

📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios de Práctica

1. Derivar $y=\arcsin (2x)$
2. Encontrar $\frac{d}{dx}{\log }_5(x^2+1)$
3. Usar derivación logarítmica para derivar $y=\frac{(x-1{)}^3(x+2{)}^4}{(x^2+1{)}^2}$
4. Derivar $f(x)=(\sin x{)}^x$ para $x\in (0,\pi )$
5. Demostrar que $\frac{d}{dx}\text{arccot},x=-\frac{1}{1+x^2}$

---

📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 3.5: Derivación implícita, págs. 213-214
• Sección 3.6: Derivadas de funciones logarítmicas, págs. 218-222
• Ejercicio 77, pág. 217
• Ejemplo 7, pág. 220
• Ejemplo 8, pág. 221

Material del Documento

• Derivadas de funciones trigonométricas inversas (pág. 213-214 del PDF)
• Derivación logarítmica (págs. 218-221 del PDF)
• Regla de la potencia para exponentes reales (pág. 221)

---

Sugerencia de Estudio

La derivación logarítmica es una de las técnicas más elegantes del cálculo. La clave está en reconocer cuándo usarla: cada vez que veas productos complicados, cocientes complicados, o peor aún, una función elevada a otra función, piensa en tomar logaritmo natural primero.

Recuerda que las propiedades de los logaritmos ($\ln (ab)=\ln a+\ln b$, $\ln (a/b)=\ln a-\ln b$, $\ln (a^n)=n\ln a$) son las que hacen esta técnica tan poderosa: convierten productos en sumas, cocientes en restas, y exponentes en factores multiplicativos.

---

✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Comprendo el teorema de la derivada de la función inversa
• Puedo derivar las tres arcofunciones principales (arcoseno, arcocoseno, arcotangente)
• Sé derivar logaritmos en cualquier base
• Entiendo cuándo es conveniente usar derivación logarítmica
• Puedo aplicar correctamente los pasos de la derivación logarítmica
• Comprendo por qué la regla de la potencia funciona para cualquier exponente real
• Sé derivar funciones del tipo $f(x{)}^{g(x)}$ (base y exponente variables)
• Recuerdo que debo sustituir $y$ al final en derivación logarítmica

---

🏷️ Tags

calculo derivadas funciones-inversas arcofunciones logaritmos derivacion-logaritmica regla-de-la-potencia clase-18