Asintota Vertical

Definicion

Asintota Vertical

La recta $x=a$ es una asintota vertical de la curva $y=f(x)$ si al menos una de las siguientes condiciones se cumple:

${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty \text{o}{\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty$

Interpretacion Geometrica

Una asintota vertical es una recta vertical que la grafica de la funcion se aproxima arbitrariamente pero nunca toca o cruza (en general).

Cuando Existe una Asintota Vertical

Condiciones

La recta $x=a$ es asintota vertical si ocurre al menos uno de estos casos:

1. ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=\infty$
2. ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=-\infty$
3. ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=\infty$
4. ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=-\infty$

Tipos de Asintotas Verticales

Tipo 1: Ambos Lados van al Infinito Positivo

${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=\infty \text{y}{\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=\infty$

Ejemplo: $f(x)=\frac{1}{x^2}$ en $x=0$

Tipo 2: Un Lado Positivo, Otro Negativo

${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=\infty \text{y}{\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=-\infty$

Ejemplo: $f(x)=\frac{1}{x}$ en $x=0$

Ejemplos

Ejemplo 1: Funcion Racional Simple

Encontrar asintotas verticales de $f(x)=\frac{1}{x-2}$

Paso 1: Identificar donde el denominador es cero $x-2=0⟹x=2$

Paso 2: Analizar limites laterales en $x=2$

• ${\lim }_{x\to 2^{-}}\frac{1}{x-2}=-\infty$
• ${\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{1}{x-2}=\infty$

Conclusion: $x=2$ es asintota vertical

Ejemplo 2: NO es Asintota (Discontinuidad Removible)

Analizar $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$

Simplificar: $f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1(x\ne 1)$

Limite en $x=1$: ${\lim }_{x\to 1}f(x)=2$

El limite existe y es finito, por tanto NO hay asintota vertical en $x=1$.

Como Encontrar Asintotas Verticales

Procedimiento

Paso 1: Para funciones racionales $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$, encontrar donde $q(x)=0$

Paso 2: Para cada valor $x=a$ donde $q(a)=0$:

• Verificar que $p(a)\ne 0$ (si $p(a)=0$, simplificar primero)
• Si $p(a)\ne 0$, entonces $x=a$ es asintota vertical

Paso 3: Analizar limites laterales para determinar el comportamiento

Clases Relacionadas

• 2) Limites Infinitos y Asintotas Verticales
• 9) Limites al Infinito y Asintotas Horizontales

Conceptos Relacionados

• Limites-Infinitos
• Asintota-Horizontal
• Limite-de-una-funcion

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