Razon de Cambio

Definicion

Concepto Fundamental

Si $y=f(x)$, entonces la Derivada $\frac{dy}{dx}$ representa la razon de cambio instantanea de $y$ respecto a $x$.

Razon de Cambio Promedio vs Instantanea

Razon de Cambio Promedio

Definicion

La razon de cambio promedio de $y=f(x)$ entre $x=x_1$ y $x=x_2$ es:

$\text{Razon de cambio promedio}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Interpretacion: Pendiente de la recta secante

Razon de Cambio Instantanea

Definicion

La razon de cambio instantanea en $x=a$ es:

$\text{Razon instantanea}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{dy}{dx}{|}_{x=a}=f^{\prime }(a)$

Interpretacion: Pendiente de la recta tangente

Interpretacion

Significado Practico

La derivada $f^{\prime }(a)$ nos dice:

• Si $f^{\prime }(a)>0$: $y$ aumenta cuando $x$ aumenta (funcion creciente)
• Si $f^{\prime }(a)<0$: $y$ disminuye cuando $x$ aumenta (funcion decreciente)
• Si $f^{\prime }(a)=0$: $y$ no cambia (punto critico)

Aplicaciones en Fisica

Posicion, Velocidad y Aceleracion

Si $s(t)$ es la posicion de un objeto:

• Velocidad: $v(t)=\frac{ds}{dt}=s^{\prime }(t)$
• Aceleracion: $a(t)=\frac{dv}{dt}=v^{\prime }(t)=s^{\prime \prime }(t)$

Ejemplo Fisico

Si $s(t)=4.9t^2$ (caida libre):

• Velocidad: $v(t)=9.8t$ m/s
• Aceleracion: $a(t)=9.8$ m/s²

Aplicaciones en Economia

Funciones Marginales

Si $C(x)$ es el costo total de producir $x$ unidades:

• Costo marginal: $C^{\prime }(x)=\frac{dC}{dx}$
• Ingreso marginal: $R^{\prime }(x)=\frac{dR}{dx}$
• Utilidad marginal: $U^{\prime }(x)=R^{\prime }(x)-C^{\prime }(x)$

Ejemplo Economico

Si $C(x)=10000+5x+0.01x^2$:

• $C^{\prime }(x)=5+0.02x$
• $C^{\prime }(500)=15$ dolares/unidad

Razones Relacionadas

Concepto Clave

En problemas de razones relacionadas:

• Dos o mas cantidades cambian con el tiempo
• Estan relacionadas por una ecuacion
• Conocemos $\frac{dx}{dt}$ y queremos $\frac{dy}{dt}$
• Usamos la Regla-de-la-Cadena

Estrategia

1. Identificar variables que cambian con el tiempo
2. Escribir ecuacion que las relaciona
3. Derivar implicitamente respecto a $t$
4. Sustituir valores conocidos
5. Resolver para la razon desconocida

Ejemplos

Ejemplo 1: Movimiento

Un objeto se mueve segun $s(t)=t^3-6t^2+9t$.

Velocidad: $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-12t+9$

En $t=2$: $v(2)=3(4)-12(2)+9=-3\text{ m/s}$

Ejemplo 2: Geometria

Radio de un circulo crece a $\frac{dr}{dt}=2$ cm/s. ¿Que tan rapido crece el area cuando $r=5$ cm?

Relacion: $A=\pi r^2$

Derivando: $\frac{dA}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}$

Cuando $r=5$: $\frac{dA}{dt}=2\pi (5)(2)=20\pi {\text{ cm}}^2/\text{s}$

Notacion

Diferentes Notaciones

Notacion	Significado
$\frac{dy}{dx}$	Razon de cambio de $y$ respecto a $x$
$\frac{dy}{dt}$	Razon de cambio de $y$ respecto al tiempo
$f^{\prime }(a)$	Razon instantanea en $x=a$
$\Delta y/\Delta x$	Razon promedio

Clases Relacionadas

• 11) Razón de Cambio Promedio y Razón de Cambio Instantánea
• 19) Razones de Cambio y Razones Relacionadas
• 10) Recta Tangente, Velocidad y el Concepto de Derivada

Conceptos Relacionados

• Derivada
• Velocidad-Instantanea
• Recta-Tangente
• Costo-Marginal
• Regla-de-la-Cadena

---

razon-de-cambio derivada aplicaciones fisica economia concepto