Recta Tangente

Definición Intuitiva

Concepto Geométrico

La recta tangente a una curva en un punto es la recta que “apenas toca” la curva en ese punto, siguiendo la misma dirección que la curva en ese instante.

Definición Formal

Definición - Recta Tangente

La recta tangente a la curva $y=f(x)$ en el punto $P(a,f(a))$ es la recta que pasa por $P$ con pendiente:

$m={\lim }_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

siempre que este límite exista.

Forma Alternativa

Usando el incremento $h=x-a$:

$m={\lim }_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Observación

Esta pendiente es precisamente la Derivada de $f$ en el punto $a$: $m=f^{\prime }(a)$

Ecuación de la Recta Tangente

Fórmula

Si la curva es $y=f(x)$ y queremos la tangente en el punto $(a,f(a))$:

$y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$

o equivalentemente:

$y=f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$

Forma Punto-Pendiente

Dado que conocemos:

• Punto: $(a,f(a))$
• Pendiente: $m=f^{\prime }(a)$

Usamos la forma punto-pendiente: $y-y_1=m(x-x_1)$

De la Secante a la Tangente

El concepto de tangente surge como límite de rectas secantes:

1. Recta secante $PQ$: Une dos puntos $P(a,f(a))$ y $Q(x,f(x))$

   • Pendiente: $m_{PQ}=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

2. Recta tangente: Cuando $Q\to P$ (es decir, $x\to a$)

   • Pendiente: $m={\lim }_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

Ejemplos

Ejemplo 1: Parábola

Encontrar la tangente a $y=x^2$ en $(1,1)$:

Paso 1: Calcular la pendiente $m={\lim }_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}={\lim }_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}={\lim }_{x\to 1}(x+1)=2$

Paso 2: Ecuación de la tangente $y-1=2(x-1)$ $y=2x-1$

Ejemplo 2: Hipérbola

Encontrar la tangente a $y=\frac{3}{x}$ en $(3,1)$:

Usando la forma con $h$: $m={\lim }_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}={\lim }_{h\to 0}\frac{\frac{3}{3+h}-1}{h}$

Simplificando: $m={\lim }_{h\to 0}\frac{3-(3+h)}{h(3+h)}={\lim }_{h\to 0}\frac{-h}{h(3+h)}=-\frac{1}{3}$

Ecuación: $y-1=-\frac{1}{3}(x-3)$ $y=-\frac{1}{3}x+2$

Ejemplo 3: Usando Derivadas

Para $f(x)=x^3$ en $x=2$:

Paso 1: Calcular $f^{\prime }(x)=3x^2$, entonces $f^{\prime }(2)=12$

Paso 2: Punto: $(2,8)$, Pendiente: $m=12$

Paso 3: Ecuación: $y-8=12(x-2)$ $y=12x-16$

Recta Normal

Definición - Recta Normal

La recta normal a la curva en un punto es la recta perpendicular a la tangente en ese punto.

Si la tangente tiene pendiente $m=f^{\prime }(a)$, entonces la normal tiene pendiente: $m_{\text{normal}}=-\frac{1}{f^{\prime }(a)}$

(siempre que $f^{\prime }(a)\ne 0$)

Ecuación de la normal: $y-f(a)=-\frac{1}{f^{\prime }(a)}(x-a)$

Interpretación Geométrica

La recta tangente:

• Toca la curva en el punto dado
• Tiene la misma dirección que la curva en ese punto
• Es la mejor aproximación lineal a la curva cerca del punto
• Su pendiente es la Derivada en ese punto

Casos Especiales

Tangente Horizontal

Cuando $f^{\prime }(a)=0$:

• Pendiente: $m=0$
• Ecuación: $y=f(a)$ (recta horizontal)
• Ocurre en máximos y mínimos locales

Tangente Vertical

Cuando ${\lim }_{x\to a}|f^{\prime }(x)|=\infty$:

• La tangente es vertical: $x=a$
• La función no es derivable en $a$
• Ejemplo: $f(x)=\sqrt[3]{x}$ en $x=0$

No Hay Tangente

En puntos con:

• Esquinas: Como $f(x)=|x|$ en $x=0$
• Discontinuidades
• Comportamiento oscilatorio

Aplicaciones

1. Geometría: Estudiar propiedades de curvas
2. Física: Dirección de movimiento en un instante
3. Aproximación: Aproximacion-Lineal de funciones
4. Optimización: Identificar extremos (tangentes horizontales)
5. Cinemática: Velocidad como pendiente de tangente a la trayectoria

Relación con Otros Conceptos

• La pendiente de la tangente ES la Derivada
• La tangente representa la Razon-de-Cambio instantánea
• En física, representa la Velocidad-Instantanea
• Se usa para Aproximacion-Lineal

Clases Relacionadas

• 10) Recta Tangente, Velocidad y el Concepto de Derivada - Introducción completa
• 20) Aproximaciones Lineales y Diferenciales - Aplicación

Conceptos Relacionados

• Derivada
• Velocidad-Instantanea
• Razon-de-Cambio
• Aproximacion-Lineal

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