20) Aproximaciones Lineales y Diferenciales

Clase 20: Aproximaciones Lineales y Diferenciales

📚 Introducción

Esta clase desarrolla una de las aplicaciones más prácticas del cálculo diferencial: usar la recta tangente para aproximar funciones complicadas. La idea fundamental es que, cerca de un punto, una función derivable se comporta casi como su recta tangente. Esta observación simple pero poderosa nos permite calcular valores aproximados de funciones difíciles y estimar errores en mediciones.

Objetivos de la Clase

• Comprender el concepto de aproximación lineal o linealización de una función
• Determinar la aproximación lineal de una función en un punto dado
• Usar la aproximación lineal para calcular valores aproximados
• Introducir el concepto de diferenciales $dx$ y $dy$
• Aplicar diferenciales para estimar errores máximos en cálculos
• Distinguir entre error absoluto y error relativo

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1. Aproximación Lineal (Linealización)

1.1 Idea Fundamental

Observación Clave

Una curva se encuentra muy cerca de su recta tangente cerca del punto de tangencia. Al realizar un acercamiento hacia el punto en la gráfica de una función derivable, observamos que la gráfica se parece cada vez más a su recta tangente.

Esta observación es la base para aproximar funciones mediante sus rectas tangentes.

1.2 Definición de Aproximacion-Lineal

Definición - Aproximación Lineal

La aproximación lineal o linealización de $f$ en $a$ es la función lineal $L(x)$ cuya gráfica es la recta tangente de $f$ en $(a,f(a))$.

$L(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$

Y la aproximación es:

$\boxed{f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)}$

cuando $x$ está cerca de $a$.

Interpretación Geométrica

La linealización $L(x)$ es simplemente la ecuación de la recta tangente a $f$ en el punto $(a,f(a))$, escrita en forma punto-pendiente.

1.3 Ejemplo Fundamental

Ejemplo 1 - Aproximación de Raíz Cúbica

Encuentre la linealización de la función $f(x)=\sqrt[3]{x}$ en $a=1$ y úsela para obtener una aproximación de los números $\sqrt[3]{0.87}$ y $\sqrt[3]{1.04}$. ¿Estas aproximaciones son sobreestimaciones o subestimaciones?

Solución:

La derivada de $f(x)=x^{1/3}$ es: $f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}{x}^{-2/3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

Tenemos que $f(1)=1$ y $f^{\prime }(1)=\frac{1}{3}$. Por tanto, la linealización es:

$L(x)=f(1)+f^{\prime }(1)(x-1)=1+\frac{1}{3}(x-1)=\frac{2}{3}+\frac{x}{3}$

Para aproximar valores:

• $\sqrt[3]{0.87}\approx L(0.87)=\frac{2}{3}+\frac{0.87}{3}=\frac{2}{3}+0.29=0.96\overline{3}$

  Valor real: $\sqrt[3]{0.87}\approx \mathrm{0.954305...}$

• $\sqrt[3]{1.04}\approx L(1.04)=\frac{2}{3}+\frac{1.04}{3}=\frac{2}{3}+0.34\overline{6}=1.013\overline{3}$

  Valor real: $\sqrt[3]{1.04}\approx \mathrm{1.013136...}$

Tipo de aproximación: Como $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{2}{9}{x}^{-5/3}<0$, la función es cóncava hacia abajo, por lo que la recta tangente queda por arriba de la curva. Las aproximaciones son sobreestimaciones.

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2. Diferenciales

2.1 Concepto de Diferenciales

Las ideas detrás de las aproximaciones lineales se formulan en ocasiones en la terminología y notación de diferenciales.

Definición - Diferenciales

Si $y=f(x)$, donde $f$ es una función derivable, entonces:

• La diferencial $dx$ es una variable independiente; es decir, $dx$ puede ser cualquier número real
• La diferencial $dy$ es entonces definida en términos de $dx$ mediante la ecuación:

$\boxed{dy=f^{\prime }(x),dx}$

2.2 Interpretación Geométrica de Diferenciales

Sean $P(x,f(x))$ y $Q(x+\Delta x,f(x+\Delta x))$ puntos sobre la gráfica de $f$, y sea $dx=\Delta x$. El cambio correspondiente en $y$ es:

$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$

La pendiente de la recta tangente $PR$ es la derivada $f^{\prime }(x)$. Por consiguiente, la distancia dirigida de $S$ a $R$ es:

$dy=f^{\prime }(x),dx$

Por lo tanto:

• $dy$ representa la cantidad que la recta tangente se levanta o cae (el cambio en la linealización)
• $\Delta y$ representa la cantidad que la curva $y=f(x)$ se levanta o cae cuando $x$ cambia en una cantidad $dx$

2.3 Relación entre $dy$ y $\Delta y$

Observación Clave

• $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ es el cambio real en la función
• $dy=f^{\prime }(x),dx$ es el cambio en la linealización
• Cuando $dx$ es pequeño: $dy\approx \Delta y$

La aproximación lineal puede reescribirse usando diferenciales:

$\boxed{f(x+dx)\approx f(x)+dy}$

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3. Aplicaciones: Estimación de Errores

3.1 Error en Mediciones

Los diferenciales son útiles para estimar errores que ocurren debido a mediciones aproximadas.

Ejemplo - Error en el Volumen de una Esfera

Se midió el radio de una esfera y se encontró que es 21 cm con un posible error en la medición de cuanto mucho 0.05 cm. ¿Cuál es el error máximo al usar este valor del radio para calcular el volumen de la esfera?

Solución:

Si el radio de la esfera es $r$, entonces el volumen es $V=\frac{4}{3}\pi r^3$.

Si el error en el valor medido de $r$ se denota por medio de $dr=\Delta r$, entonces el error correspondiente en el valor calculado de $V$ es $\Delta V$, el cual puede aproximarse mediante el diferencial:

$dV=\frac{dV}{dr},dr=4\pi r^2,dr$

Cuando $r=21$ y $dr=0.05$, esto se convierte en:

$dV=4\pi (21{)}^2(0.05)\approx 277{\text{ cm}}^3$

El error máximo en el volumen calculado es de alrededor de 277 cm³.

3.2 Error Relativo y Porcentual

Definiciones

• Error relativo: $\frac{\Delta V}{V}\approx \frac{dV}{V}$
• Error porcentual: $\frac{dV}{V}\times 100\%$

Continuación del Ejemplo Anterior

El error relativo en el volumen es aproximadamente: $\frac{dV}{V}=\frac{4\pi r^2,dr}{\frac{4}{3}\pi r^3}=\frac{3,dr}{r}$

Cuando $r=21$ y $dr=0.05$:

$\frac{dV}{V}=\frac{3(0.05)}{21}=\frac{0.15}{21}\approx 0.007=0.7\%$

El error relativo en el volumen es aproximadamente tres veces el error relativo en el radio. Los errores pueden expresarse como:

• Error de 0.24% en el radio produce un error de 0.7% en el volumen
• En general: el error relativo en $r^n$ es aproximadamente $n$ veces el error relativo en $r$

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4. Estrategia de Resolución

4.1 Para Encontrar Aproximaciones Lineales

Método para Aproximación Lineal

Paso 1: Identifique la función $f(x)$ y el punto $a$ donde conoce el valor exacto

Paso 2: Calcule $f(a)$ y $f^{\prime }(a)$

Paso 3: Escriba la linealización: $L(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$

Paso 4: Evalúe $L(x)$ en el valor deseado

Paso 5: Compare con el valor real si es posible, o determine si es sobre/subestimación usando la concavidad

4.2 Para Estimar Errores con Diferenciales

Método para Estimación de Errores

Paso 1: Identifique la cantidad que se mide (variable independiente) y su error $dx$ o $dr$

Paso 2: Identifique la cantidad calculada (función de la variable medida)

Paso 3: Calcule la derivada $\frac{dy}{dx}$ o $\frac{dV}{dr}$

Paso 4: Use el diferencial para estimar el error: $dy=f^{\prime }(x),dx$

Paso 5: Si se pide error relativo: calcule $\frac{dy}{y}$ o $\frac{dV}{V}$

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5. Ejemplos Adicionales del Libro

5.1 Aproximación con Exactitud Especificada

Ejemplo 2 (pág. 252)

¿Para cuáles valores de $x$ la aproximación lineal

$\sqrt{x+3}\approx \frac{7}{4}+\frac{x}{4}$

es exacta con una diferencia menor que 0.5? ¿Qué puede decir de una exactitud con una diferencia menor que 0.1?

Solución:

Una exactitud con diferencia menor que 0.5 significa que las funciones deben diferir en menos de 0.5:

$\left|\sqrt{x+3}-\left(\frac{7}{4}+\frac{x}{4}\right)\right|<0.5$

Esto expresa que la aproximación lineal debe encontrarse entre las curvas que se obtienen al desplazar la curva $y=\sqrt{x+3}$ hacia arriba y hacia abajo en una cantidad de 0.5.

Usando una calculadora gráfica, se estima que la aproximación $\sqrt{x+3}\approx \frac{7}{4}+\frac{x}{4}$ es exacta con diferencia menor que 0.5 cuando $-2.6<x<8.6$.

Para exactitud con diferencia menor que 0.1, la aproximación es válida cuando $-1.1<x<3.9$.

5.2 Cálculo del Diferencial

Ejemplo 3 (pág. 253)

Compare los valores de $\Delta y$ y $dy$ si $y=x^3+x^2-2x+1$ y $x$ cambia:

a) de 2 a 2.05

b) de 2 a 2.01

Solución:

Tenemos que:

• $f(2)=2^3+2^2-2(2)+1=9$

a) Cuando $x$ cambia de 2 a 2.05:

$\Delta y=f(2.05)-f(2)=(2.05{)}^3+(2.05{)}^2-2(2.05)+1-9=0.717625$

En general, $dy=f^{\prime }(x),dx=(3x^2+2x-2),dx$

Cuando $x=2$ y $dx=\Delta x=0.05$:

$dy=3(2{)}^2+2(2)-2=0.7$

b) Cuando $dx=\Delta x=0.01$:

$dy=3(2{)}^2+2(2)-2=0.14$

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Aproximación lineal: $f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$ cuando $x$ está cerca de $a$
2. Linealización: $L(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$ es la recta tangente a $f$ en $a$
3. Diferencial $dx$: Variable independiente que puede ser cualquier número real
4. Diferencial $dy$: Variable dependiente definida como $dy=f^{\prime }(x),dx$
5. Interpretación: $dy$ es el cambio en la tangente, $\Delta y$ es el cambio real
6. Error máximo: Se estima usando $dy=f^{\prime }(x),dx$
7. Error relativo: $\frac{dy}{y}=\frac{f^{\prime }(x),dx}{f(x)}$

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Confundir dy con \Delta y

• Incorrecto: Pensar que $dy=\Delta y$ siempre
• Correcto: $dy\approx \Delta y$ solo cuando $dx$ es pequeño

Error 2: No verificar que x esté cerca de a

• Incorrecto: Usar $L(x)$ para valores muy alejados de $a$
• Correcto: La aproximación lineal solo es buena cerca del punto de tangencia

Error 3: Olvidar que dx es independiente

• Incorrecto: Pensar que $dx$ siempre debe ser pequeño
• Correcto: $dx$ puede ser cualquier número, pero la aproximación mejora cuando es pequeño

Error 4: Confundir error absoluto y relativo

• Incorrecto: Reportar solo el error absoluto cuando se pide porcentual
• Correcto: Error relativo es $\frac{dy}{y}$, error porcentual es $\frac{dy}{y}\times 100\%$

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios de Práctica

Del libro (págs. 250-254):

1. Ejemplo 1, pág. 251: Linealización de $\sqrt[3]{x}$ en $a=1$
2. Ejemplo 2, pág. 252: Determinar intervalo de validez de aproximación
3. Ejemplo 3, pág. 253: Comparar $\Delta y$ y $dy$
4. Ejemplo 4, pág. 254: Error máximo en volumen de esfera

Adicionales: 5. Encuentre la linealización de $f(x)=\sqrt{1+x}$ en $a=0$ y úsela para aproximar $\sqrt{0.95}$ y $\sqrt{1.1}$ 6. Use diferenciales para estimar el error al calcular el área de un círculo si el radio se mide como 10 cm con error de 0.1 cm 7. El lado de un cubo se mide como 30 cm con exactitud de 0.1 cm. Use diferenciales para estimar el error máximo en el volumen calculado

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 3.10: Aproximaciones lineales y diferenciales, págs. 250-254

Enlaces Relacionados

• Derivadas-Geometricas - Recta tangente
• 19) Razones de Cambio y Razones Relacionadas - Interpretación de la derivada

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Sugerencia de Estudio

Las aproximaciones lineales son una herramienta práctica fundamental. La clave está en entender que cerca de cualquier punto, una función suave se comporta casi como una línea recta (su tangente).

Para dominar este tema:

• Practica identificando cuál es el punto “conveniente” $a$ donde conoces valores exactos
• Visualiza siempre la situación geométricamente: ¿la tangente está por arriba o por debajo?
• En problemas de errores, identifica claramente qué se mide (variable independiente) y qué se calcula (variable dependiente)

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo encontrar la linealización $L(x)$ de cualquier función en un punto dado
• Comprendo cuándo una aproximación lineal es válida (cerca del punto de tangencia)
• Puedo usar $L(x)$ para aproximar valores de funciones
• Entiendo la diferencia entre $dy$ y $\Delta y$
• Sé calcular diferenciales: $dy=f^{\prime }(x),dx$
• Puedo usar diferenciales para estimar errores máximos
• Distingo entre error absoluto, relativo y porcentual
• Comprendo la interpretación geométrica de los diferenciales

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