Velocidad Instantanea

Definicion

Definicion Formal

Si $s(t)$ es la posicion de un objeto en el tiempo $t$, entonces la velocidad instantanea en $t=a$ es:

$v(a)={\lim }_{h\to 0}\frac{s(a+h)-s(a)}{h}=s^{\prime }(a)$

Interpretacion

La velocidad instantanea es la Derivada de la funcion posicion respecto al tiempo.

Velocidad Promedio vs Instantanea

Velocidad Promedio

La velocidad promedio en el intervalo $[t_1,t_2]$ es:

$v_{\text{prom}}=\frac{\text{desplazamiento}}{\text{tiempo}}=\frac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1}=\frac{\Delta s}{\Delta t}$

Interpretacion: Que tan rapido se movio en promedio durante el intervalo

Velocidad Instantanea

La velocidad instantanea en $t=a$ es:

$v(a)={\lim }_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{ds}{dt}{|}_{t=a}=s^{\prime }(a)$

Interpretacion: Que tan rapido se mueve exactamente en el instante $t=a$

Interpretacion Geometrica

En la Grafica Posicion vs Tiempo

En la grafica $s=s(t)$:

• Velocidad promedio: Pendiente de la recta secante
• Velocidad instantanea: Pendiente de la recta tangente

Relacion con Otras Cantidades Fisicas

Posicion, Velocidad y Aceleracion

Si $s(t)$ es la posicion:

1. Posicion: $s(t)$ (metros, pies, etc.)
2. Velocidad: $v(t)=s^{\prime }(t)=\frac{ds}{dt}$ (m/s, ft/s)
3. Aceleracion: $a(t)=v^{\prime }(t)=s^{\prime \prime }(t)=\frac{d^{2}s}{d{t}^2}$ (m/s², ft/s²)

Relacion Clave

• Velocidad es la razon de cambio de la posicion
• Aceleracion es la razon de cambio de la velocidad
• Aceleracion es la segunda derivada de la posicion

Rapidez vs Velocidad

Diferencia Importante

• Velocidad: Incluye direccion (puede ser positiva o negativa)
  • $v(t)>0$: Movimiento en direccion positiva
  • $v(t)<0$: Movimiento en direccion negativa
  • $v(t)=0$: Objeto en reposo
• Rapidez: Valor absoluto de la velocidad (siempre positiva)
  • Rapidez $=|v(t)|$

Ejemplos

Ejemplo 1: Pelota Cayendo

Una pelota cae desde altura. Su posicion es: $s(t)=450-4.9t^2$

Velocidad instantanea: $v(t)=s^{\prime }(t)=-9.8t$

Despues de 5 segundos: $v(5)=-9.8(5)=-49\text{ m/s}$

El signo negativo indica movimiento hacia abajo.

Ejemplo 2: Particula en Movimiento

Una particula se mueve segun: $s(t)=t^3-6t^2+9t$

Velocidad: $v(t)=3t^2-12t+9$

Cuando esta en reposo? Resolver $v(t)=0$: $3t^2-12t+9=0$ $t^2-4t+3=0$ $(t-1)(t-3)=0$

En reposo en $t=1$ s y $t=3$ s

Ejemplo 3: Pelota Lanzada Verticalmente

Se lanza una pelota hacia arriba con velocidad inicial 48 ft/s desde 432 ft: $s(t)=-16t^2+48t+432$

Velocidad: $v(t)=-32t+48$

Altura maxima (cuando $v(t)=0$): $-32t+48=0⟹t=1.5\text{ s}$

Interpretacion del Signo

Significado del Signo de la Velocidad

Condicion	Interpretacion
$v(t)>0$	Movimiento en direccion positiva
$v(t)<0$	Movimiento en direccion negativa
$v(t)=0$	En reposo (cambio de direccion)
$v(t)$ creciente	Acelerando en direccion positiva
$v(t)$ decreciente	Desacelerando (o acelerando negativamente)

Formulas Importantes

Movimiento con Aceleracion Constante

Si $a(t)=a_0$ (constante):

1. Velocidad: $v(t)=v_0+a_{0}t$
2. Posicion: $s(t)=s_0+v_{0}t+\frac{1}{2}{a}_0{t}^2$

Caida Libre

Cerca de la superficie terrestre, $a=-g$ donde $g\approx 9.8$ m/s² o $32$ ft/s²:

• Velocidad: $v(t)=v_0-gt$
• Posicion: $s(t)=s_0+v_{0}t-\frac{1}{2}g{t}^2$

Aplicaciones

Aplicaciones Practicas

1. Cinematica: Analizar movimiento de objetos
2. Optimizacion: Encontrar momento de velocidad maxima/minima
3. Fisica: Calcular energia cinetica ($E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$)
4. Ingenieria: Diseño de trayectorias

Relacion con la Recta Tangente

Conexion Geometrica

En la grafica posicion-tiempo:

• Velocidad instantanea es la pendiente de la Recta-Tangente
• Ecuacion de la tangente en $(a,s(a))$: $s=s(a)+v(a)(t-a)$

Clases Relacionadas

• 10) Recta Tangente, Velocidad y el Concepto de Derivada
• 11) Conjunto Solución de Sistemas Lineales
• 19) Razones de Cambio y Razones Relacionadas

Conceptos Relacionados

• Derivada
• Razon-de-Cambio
• Recta-Tangente
• Aproximacion-Lineal

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