1) Vectores Geometricos

Clase 01: Geometría y Algebra de Vectores

📚 Introducción

Esta clase introduce los conceptos fundamentales de vectores en el plano y el espacio, estableciendo las bases geométricas y algebraicas necesarias para el estudio del álgebra lineal.

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1. Concepto de Vector

1.1 Definición Fundamental

Un Vector es un segmento de recta dirigido que posee tres características esenciales:

• Magnitud (longitud)
• Dirección
• Sentido

1.2 Notación

• El vector de A a B se denota: $\overrightarrow{AB}$
  • A: Punto inicial u origen
  • B: Punto terminal o punta
• También se puede denotar por una letra minúscula en negrita: v

1.3 Vectores de Posición

Los vectores de posición son aquellos con origen en el punto $O$ (origen del sistema coordenado):

• A cada punto $A$ le corresponde el vector $\overrightarrow{OA}$
• A cada vector a con origen en $O$ le corresponde su punta $A$

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2. Vectores en el Plano (${\mathbb{R}}^2$)

2.1 Representación por Coordenadas

Los vectores en el plano se representan usando coordenadas:

• Si $A=(3,2)$, entonces $\mathbf{a}=\overrightarrow{OA}=[3,2]$
• Se usan corchetes para distinguir vectores de puntos

2.2 Componentes de un Vector

• Las coordenadas individuales se llaman componentes del vector
• Para $\mathbf{a}=[3,2]$:
  • Primera componente: 3
  • Segunda componente: 2

2.3 Igualdad de Vectores

Definición: Dos vectores son iguales si y solo si:

• Sus componentes correspondientes son iguales
• Tienen la misma longitud y dirección
• Coinciden al desplazar uno paralelamente al otro

Ejemplo: $[x,y]=[1,5]$ implica que $x=1$ y $y=5$

2.4 Desplazamiento y Traslación

Dos vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{CD}$ son iguales si representan el mismo desplazamiento:

$\overrightarrow{AB}=[6-3,3-1]=[3,2]$ $\overrightarrow{CD}=[-1-(-4),1-(-1)]=[3,2]$

Por tanto, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$

Nota: Un vector en posición estándar es aquel con punto inicial en el origen. Todo vector puede representarse en posición estándar mediante traslación.

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3. Tipos de Vectores

3.1 Vectores Columna

Representación como matriz de una columna: $\left[\begin{array}{c}ab\end{array}\right]$

• Mejor representación computacional
• $a$ y $b$ son las componentes del vector

3.2 Vectores Renglón

Representación como matriz de una fila: $\left[\begin{array}{cc}a& b\end{array}\right]$

3.3 Vector Cero (Nulo)

Vector con magnitud cero, sin dirección ni sentido: $0=\left[\begin{array}{c}00\end{array}\right]=\overrightarrow{00}=[0,0]$

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4. Operaciones con Vectores

4.1 Suma de Vectores

Si $\mathbf{u}=[u_1,u_2]$ y $\mathbf{v}=[v_1,v_2]$, entonces: $\mathbf{u}+\mathbf{v}=[u_1+v_1,u_2+v_2]$

Regla Punta a Origen

1. Traslade v de modo que su origen coincida con la punta de u
2. La suma $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ es el vector desde el origen de u hasta la punta de v

Regla del Paralelogramo

Para vectores en posición estándar, $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ es la diagonal del paralelogramo determinado por u y v.

4.2 Multiplicación Escalar

Dado un vector $\mathbf{v}$ y un escalar $c$: $c\mathbf{v}=c[v_1,v_2]=[c{v}_1,c{v}_2]$

Propiedades geométricas:

• Si $c>0$: mismo sentido que v
• Si $c<0$: sentido opuesto a v
• $|c\mathbf{v}|=|c|\cdot |\mathbf{v}|$ (magnitud)

4.3 Resta de Vectores

El negativo de v es: $-\mathbf{v}=(-1)\mathbf{v}$

La diferencia entre u y v es: $\mathbf{u}-\mathbf{v}=\mathbf{u}+(-\mathbf{v})$

Observación: $\mathbf{u}-\mathbf{v}$ corresponde a la otra diagonal del paralelogramo determinado por u y v.

Si los puntos $A$ y $B$ corresponden a vectores a y b en posición estándar: $\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$

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5. Vectores Unitarios

5.1 Definición

Vectores-Unitarios: Vectores con magnitud igual a 1 que indican únicamente dirección.

5.2 Vectores Unitarios Estándar

En ${\mathbb{R}}^2$:

• $\hat{i}=(1,0)$ - dirección positiva del eje X
• $\hat{j}=(0,1)$ - dirección positiva del eje Y

En ${\mathbb{R}}^3$:

• $\hat{k}=(0,0,1)$ - dirección positiva del eje Z

5.3 Descomposición en Vectores Unitarios

Todo vector en ${\mathbb{R}}^2$ se puede expresar como: $\vec{p}=(x,y)=x\hat{i}+y\hat{j}$

En ${\mathbb{R}}^n$ general: $\vec{v}={\sum }_{i=1}^n{v}_i\widehat{e_i}$

donde $\widehat{e_i}$ son los vectores unitarios canónicos.

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6. Vectores en Tres Dimensiones (${\mathbb{R}}^3$)

6.1 Sistema de Coordenadas

El espacio tridimensional utiliza tres ejes coordenados mutuamente perpendiculares:

• Eje X
• Eje Y
• Eje Z

6.2 Localización de Puntos y Vectores

Para localizar $A=(1,2,3)$:

1. Recorrer 1 unidad en el eje X
2. Avanzar 2 unidades paralelas al eje Y
3. Mover 3 unidades paralelas al eje Z

6.3 Visualización mediante Caja

El vector $[1,2,3]$ corresponde a la diagonal desde el origen hasta la esquina opuesta de una caja determinada por los planos coordenados.

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7. Vectores en ${\mathbb{R}}^n$

7.1 Definición General

${\mathbb{R}}^n$ es el conjunto de todas las n-adas ordenadas de números reales:

$$\mathbf{v}=[v_1,v_2,\dots ,v_n]\text{o}\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right]$$

• $v_i$: componente i-ésimo del vector

7.2 Operaciones en ${\mathbb{R}}^n$

Para $\mathbf{u}=[u_1,u_2,\dots ,u_n]$ y $\mathbf{v}=[v_1,v_2,\dots ,v_n]$:

• Suma: componente i-ésimo es $u_i+v_i$
• Multiplicación escalar: componente i-ésimo es $c{v}_i$

⚠️ Importante: No suponer que la aritmética vectorial será idéntica a la de números reales. Verificar siempre las propiedades algebraicas antes de usarlas.

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8. Propiedades Algebraicas de Vectores

8.1 Conmutatividad de la Suma

La propiedad $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$ se verifica geométricamente:

Ambas sumas producen la misma diagonal del paralelogramo.

8.2 Propiedades Fundamentales en ${\mathbb{R}}^n$

Para todos $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in {\mathbb{R}}^n$ y escalares $c,d$:

Propiedad	Expresión	Nombre
1	$\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$	Conmutatividad
2	$(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$	Asociatividad
3	$\mathbf{u}+0=\mathbf{u}$	Elemento neutro
4	$\mathbf{u}+(-\mathbf{u})=0$	Elemento inverso
5	$c(\mathbf{u}+\mathbf{v})=c\mathbf{u}+c\mathbf{v}$	Distributividad escalar
6	$(c+d)\mathbf{u}=c\mathbf{u}+d\mathbf{u}$	Distributividad vectorial
7	$c(d\mathbf{u})=(cd)\mathbf{u}$	Asociatividad escalar
8	$1\mathbf{u}=\mathbf{u}$	Identidad escalar

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9. Combinaciones Lineales

9.1 Definición

Dados vectores ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$ en ${\mathbb{R}}^n$ y escalares $c_1,c_2,\dots ,c_p$:

$\mathbf{y}=c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_p{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$

se llama Combinacion-Lineal de los vectores con pesos $c_1,\dots ,c_p$.

9.2 Ejemplos de Combinaciones Lineales

Para vectores ${\mathbf{v}}_1$ y ${\mathbf{v}}_2$:

• $\sqrt{3}{\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_2$
• $\frac{1}{2}{\mathbf{v}}_1=\frac{1}{2}{\mathbf{v}}_1+0{\mathbf{v}}_2$
• $0=0{\mathbf{v}}_1+0{\mathbf{v}}_2$

Nota: Los pesos pueden ser cualquier número real, incluyendo cero.

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

1. Vector: Entidad con magnitud, dirección y sentido
2. Componentes: Coordenadas que definen un vector
3. Posición estándar: Vector con origen en O
4. Operaciones básicas: Suma, resta, multiplicación escalar
5. Vectores unitarios: Base para descomposición
6. Combinación lineal: Construcción fundamental en álgebra lineal

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📚 Referencias

• Poole, D. Álgebra lineal: Una introducción moderna. Sección 1.1, págs. 3-9
• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 1.3, pág. 24

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