22) Espacios y Subespacios Vectoriales

Clase 22: Espacios y Subespacios Vectoriales

📚 Introducción

En esta clase damos el salto conceptual más importante del álgebra lineal: pasamos de trabajar con ${\mathbb{R}}^n$ a trabajar con espacios vectoriales abstractos. Este es un momento crucial en tu formación matemática, ya que veremos que las estructuras y propiedades que hemos estudiado hasta ahora son ejemplos particulares de una teoría mucho más general y poderosa.

El concepto de espacio vectorial nos permite unificar bajo un mismo marco teórico objetos tan diversos como vectores en ${\mathbb{R}}^n$, matrices, polinomios, funciones continuas y muchos más. Esta abstracción es la que le da al álgebra lineal su verdadero poder y versatilidad.

Objetivos de la Clase

• Comprender la definición axiomática de espacio vectorial
• Identificar ejemplos y no ejemplos de espacios vectoriales
• Definir y reconocer subespacios vectoriales
• Estudiar subespacios generados por conjuntos de vectores
• Desarrollar intuición sobre estructuras algebraicas abstractas

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1. Espacios Vectoriales

1.1 Motivación: Generalizando ${\mathbb{R}}^n$

Hasta ahora hemos trabajado extensamente con vectores en ${\mathbb{R}}^n$. Hemos observado que estos vectores se pueden sumar y multiplicar por escalares, y que estas operaciones satisfacen ciertas propiedades fundamentales como la conmutatividad, asociatividad y distributividad.

Pero si lo piensas bien, hay muchos otros objetos matemáticos que también se pueden “sumar” y “escalar” de maneras similares. Por ejemplo:

• Las matrices se pueden sumar y multiplicar por escalares
• Los polinomios se pueden sumar y multiplicar por escalares
• Las funciones continuas se pueden sumar y multiplicar por escalares

Pregunta para Reflexionar

¿Qué tienen en común todas estas estructuras? ¿Podemos capturar su esencia común en una definición abstracta?

La respuesta es sí, y eso es precisamente lo que hace la definición de espacio vectorial.

1.2 Definición Formal de Espacio Vectorial

Definición - Espacio Vectorial

Un espacio vectorial es un conjunto $V$ de objetos (llamados vectores) junto con dos operaciones:

1. Suma de vectores: $\mathbf{u}+\mathbf{v}\in V$ para todo $\mathbf{u},\mathbf{v}\in V$
2. Multiplicación por escalar: $c\mathbf{u}\in V$ para todo $\mathbf{u}\in V$ y todo escalar $c$

Estas operaciones deben satisfacer los siguientes 10 axiomas para todo $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in V$ y todos los escalares $c,d$:

Los 10 Axiomas de Espacio Vectorial

Axiomas de la Suma:

1. $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$ (Conmutatividad)
2. $(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$ (Asociatividad)
3. Existe un vector cero $0$ tal que $\mathbf{u}+0=\mathbf{u}$ para todo $\mathbf{u}$
4. Para cada $\mathbf{u}$ existe un vector opuesto $-\mathbf{u}$ tal que $\mathbf{u}+(-\mathbf{u})=0$

Axiomas de la Multiplicación por Escalar: 5. $c(\mathbf{u}+\mathbf{v})=c\mathbf{u}+c\mathbf{v}$ (Distributividad respecto a la suma de vectores) 6. $(c+d)\mathbf{u}=c\mathbf{u}+d\mathbf{u}$ (Distributividad respecto a la suma de escalares) 7. $c(d\mathbf{u})=(cd)\mathbf{u}$ (Asociatividad mixta) 8. $1\mathbf{u}=\mathbf{u}$ (Identidad multiplicativa)

Axiomas de Cierre: 9. Si $\mathbf{u},\mathbf{v}\in V$, entonces $\mathbf{u}+\mathbf{v}\in V$ (Cierre bajo la suma) 10. Si $\mathbf{u}\in V$ y $c$ es un escalar, entonces $c\mathbf{u}\in V$ (Cierre bajo multiplicación por escalar)

1.3 Interpretación de los Axiomas

Estos axiomas pueden parecer abstractos al principio, pero cada uno tiene un significado intuitivo importante:

Entendiendo los Axiomas

• Axiomas 1-2: La suma se comporta “naturalmente” sin importar el orden
• Axiomas 3-4: Siempre podemos “volver al origen” y “restar”
• Axiomas 5-6: Los escalares se distribuyen correctamente
• Axioma 7: Multiplicar por dos escalares consecutivos es lo mismo que multiplicar por su producto
• Axioma 8: Multiplicar por 1 no cambia el vector
• Axiomas 9-10: Las operaciones no nos sacan del espacio vectorial

1.4 Ejemplos Fundamentales de Espacios Vectoriales

Ejemplo 1

El Espacio ${\mathbb{R}}^n$

El espacio ${\mathbb{R}}^n$ con las operaciones usuales de suma y multiplicación por escalar es un espacio vectorial. Este es el ejemplo fundamental que hemos estado estudiando.

• Vector cero: $0=(0,0,\dots ,0)$
• Vector opuesto: $-\mathbf{u}=(-u_1,-u_2,\dots ,-u_n)$ si $\mathbf{u}=(u_1,u_2,\dots ,u_n)$

Podemos verificar que todos los 10 axiomas se satisfacen con estas definiciones.

Ejemplo 2

El Espacio de Matrices $M_{m\times n}$

El conjunto de todas las matrices de $m\times n$ forma un espacio vectorial bajo:

• Suma de matrices: $(A+B{)}_{ij}=A_{ij}+B_{ij}$
• Multiplicación por escalar: $(cA{)}_{ij}=c\cdot A_{ij}$

Vector cero: La matriz cero de $m\times n$ Vector opuesto: $-A$ es la matriz donde cada entrada es $-A_{ij}$

Ejemplo 3

El Espacio de Polinomios ${\mathbb{P}}_n$

El conjunto ${\mathbb{P}}_n$ de todos los polinomios de grado menor o igual a $n$ es un espacio vectorial:

Si $p(t)=a_0+a_{1}t+\cdots +a_n{t}^n$ y $q(t)=b_0+b_{1}t+\cdots +b_n{t}^n$, entonces:

• Suma: $(p+q)(t)=(a_0+b_0)+(a_1+b_1)t+\cdots +(a_n+b_n)t^n$
• Multiplicación por escalar: $(cp)(t)=c{a}_0+c{a}_{1}t+\cdots +c{a}_n{t}^n$

Vector cero: El polinomio cero $p(t)=0$ Vector opuesto: $-p(t)=-a_0-a_{1}t-\cdots -a_n{t}^n$

Ejemplo 4

El Espacio de Funciones Continuas $\mathcal{C}[a,b]$

El conjunto de todas las funciones continuas en el intervalo $[a,b]$ es un espacio vectorial:

• Suma: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$
• Multiplicación por escalar: $(cf)(x)=c\cdot f(x)$

Este espacio es infinito-dimensional y tiene aplicaciones importantes en análisis y física.

Ejemplo 5

El Espacio de Señales Discretas $\mathbb{S}$

El espacio $\mathbb{S}$ de todas las secuencias doblemente infinitas de números reales: $\{y_k\}=(\dots ,y_{-2},y_{-1},y_0,y_1,y_2,\dots )$

Este espacio aparece en:

• Procesamiento digital de señales
• Sistemas de control
• Análisis de series temporales

Las operaciones son componente a componente, similar a ${\mathbb{R}}^n$ pero con infinitas componentes.

1.5 Ejemplo de un No-Espacio Vectorial

Es instructivo ver también ejemplos de conjuntos que NO son espacios vectoriales:

Ejemplo 6 - Un No-Espacio Vectorial

Consideremos el conjunto $V$ de todos los puntos $(x,y)$ en ${\mathbb{R}}^2$ de la forma $(3s,2-5s)$ donde $s$ es cualquier número real.

Geométricamente, este es una recta en el plano que no pasa por el origen.

¿Por qué NO es un espacio vectorial?

El vector cero debe estar en $V$, pero $(0,0)$ no es de la forma $(3s,2-5s)$ para ningún valor de $s$, ya que la segunda componente siempre sería 2, no 0.

Por lo tanto, $V$ viola el Axioma 3 (existencia del vector cero) y no puede ser un espacio vectorial.

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2. Subespacios Vectoriales

2.1 Motivación y Definición

Dentro de un espacio vectorial grande, a menudo nos interesan subconjuntos especiales que son “espacios vectoriales por derecho propio”. Estos son los subespacios vectoriales.

La idea clave es que un subespacio debe ser cerrado bajo las operaciones del espacio mayor, de modo que al sumar vectores del subespacio o multiplicarlos por escalares, nunca salgamos del subespacio.

Definición - Subespacio Vectorial

Un subespacio de un espacio vectorial $V$ es un subconjunto $H$ de $V$ que tiene tres propiedades:

1. El vector cero de $V$ está en $H$
2. $H$ es cerrado bajo la suma de vectores: Si $\mathbf{u},\mathbf{v}\in H$, entonces $\mathbf{u}+\mathbf{v}\in H$
3. $H$ es cerrado bajo multiplicación por escalar: Si $\mathbf{u}\in H$ y $c$ es cualquier escalar, entonces $c\mathbf{u}\in H$

Teorema - Subespacios son Espacios Vectoriales

Si $H$ es un subespacio de un espacio vectorial $V$, entonces $H$ es en sí mismo un espacio vectorial bajo las mismas operaciones definidas en $V$.

Idea de la demostración: Las propiedades 1, 2 y 3 garantizan que los Axiomas 3, 9 y 10 se cumplen en $H$. Los otros axiomas (1, 2, 4-8) se heredan automáticamente de $V$ porque se refieren a cómo se comportan las operaciones, no a si los resultados están en $H$.

2.2 Verificación de Subespacios

Estrategia para Verificar Subespacios

Para demostrar que $H$ es un subespacio de $V$, solo necesitas verificar tres condiciones:

1. $0\in H$
2. $\mathbf{u}+\mathbf{v}\in H$ para todo $\mathbf{u},\mathbf{v}\in H$
3. $c\mathbf{u}\in H$ para todo $\mathbf{u}\in H$ y todo escalar $c$

¡Esto es mucho más fácil que verificar los 10 axiomas!

2.3 Ejemplos de Subespacios

Ejemplo 7 - Subespacios Triviales

En cualquier espacio vectorial $V$:

• El conjunto $\{0\}$ que contiene solo el vector cero es un subespacio (el subespacio cero)
• Todo el espacio $V$ es un subespacio de sí mismo

Estos se llaman subespacios triviales.

Ejemplo 8 - Una Recta por el Origen

Un plano en ${\mathbb{R}}^3$ que NO pasa por el origen NO es un subespacio de ${\mathbb{R}}^3$, porque no contiene el vector cero.

Del mismo modo, una recta en ${\mathbb{R}}^2$ que NO pasa por el origen NO es un subespacio de ${\mathbb{R}}^2$.

Sin embargo, una recta que SÍ pasa por el origen ES un subespacio (siempre que sea una recta, no solo un punto).

Ejemplo 9 - Demostración Detallada de un Subespacio

Sea $H$ el conjunto de todos los vectores de la forma $(a-3b,b-a,a,b)$ donde $a$ y $b$ son escalares arbitrarios.

Demostrar que $H$ es un subespacio de ${\mathbb{R}}^4$.

Solución:

Representemos los vectores en $H$ como vectores columna. Un vector arbitrario en $H$ tiene la forma: $\left(\begin{array}{c}a-3b\\ b-a\\ a\\ b\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Esto muestra que $H=\text{Gen}\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2\}$ donde: ${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Por lo tanto, $H$ es un subespacio de ${\mathbb{R}}^4$ de acuerdo con el Teorema 1 (ver siguiente sección).

2.4 Ejemplos de No-Subespacios

Ejemplo 10 - El Primer Cuadrante NO es un Subespacio

Sea $V$ el conjunto de todos los puntos en ${\mathbb{R}}^2$ de la forma $(3s,2-5s)$ donde $s\ge 0$.

¿Es $V$ un subespacio de ${\mathbb{R}}^2$?

No, porque no es cerrado bajo la multiplicación por escalar. Por ejemplo:

• El vector $(3,-3)$ está en $V$ (cuando $s=1$)
• Pero $-1\cdot (3,-3)=(-3,3)$ NO está en $V$

Por lo tanto, $V$ viola la propiedad 3 y no es un subespacio.

Ejemplo 11 - La Unión de Dos Subespacios

Sea $W$ la unión del primer y tercer cuadrantes en el plano $xy$. Es decir: $W=\{(x,y):xy\ge 0\}$

¿Es $W$ un subespacio de ${\mathbb{R}}^2$?

No, porque no es cerrado bajo la suma. Por ejemplo:

• $\mathbf{u}=(1,1)$ está en $W$ (primer cuadrante)
• $\mathbf{v}=(-1,-1)$ está en $W$ (tercer cuadrante)
• Pero $\mathbf{u}+\mathbf{v}=(0,0)$ está en $W$… espera, ¡sí está!

Intentemos con otros vectores:

• $\mathbf{u}=(1,1)$ está en $W$
• $\mathbf{v}=(-2,-1)$ está en $W$
• $\mathbf{u}+\mathbf{v}=(-1,0)$ está en el eje $x$ negativo, que SÍ está en $W$

De hecho, necesitamos encontrar un contraejemplo mejor. Si $\mathbf{u}=(1,1)$ y tomamos $c=-1$, entonces $c\mathbf{u}=(-1,-1)$ que SÍ está en $W$.

El problema viene con vectores como $(1,0)$ en el eje $x$ positivo y $(0,1)$ en el eje $y$ positivo, cuya suma $(1,1)$ está en el primer cuadrante… que también está en $W$.

Corrección: Tomemos $\mathbf{u}=(1,0)$ (en el eje $x$ positivo, parte de $W$) y un escalar como $c=i$ (número imaginario). Pero esto no funciona si estamos en ${\mathbb{R}}^2$ con escalares reales.

El verdadero contraejemplo: Si consideramos que el eje $x$ positivo es parte del primer cuadrante y el eje $x$ negativo es parte del tercer cuadrante, entonces no hay problema. PERO, si definimos los cuadrantes estrictamente (sin los ejes), entonces el vector cero NO estaría en $W$, violando la propiedad 1.

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3. Subespacios Generados por Conjuntos

3.1 Definición y Teorema Fundamental

Ya conocemos el concepto de “conjunto generado” (Gen) de la clase de combinaciones lineales. Ahora conectamos este concepto con subespacios:

Definición - Conjunto Generado

Si ${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p$ están en un espacio vectorial $V$, entonces $\text{Gen}\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p\}$ denota el conjunto de todas las combinaciones lineales de ${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p$: $\text{Gen}\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p\}=\{c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_p{\mathbf{v}}_p:c_1,\dots ,c_p\in \mathbb{R}\}$

Teorema 1 - El Conjunto Generado es un Subespacio

Si ${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p$ están en un espacio vectorial $V$, entonces $\text{Gen}\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p\}$ es un subespacio de $V$.

Demostración: Necesitamos verificar las tres propiedades de un subespacio.

1. Vector cero: $0=0{\mathbf{v}}_1+0{\mathbf{v}}_2+\cdots +0{\mathbf{v}}_p$, por lo que $0\in \text{Gen}\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p\}$

2. Cierre bajo suma: Sean $\mathbf{u}$ y $\mathbf{w}$ vectores arbitrarios en $\text{Gen}\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p\}$:

   • $\mathbf{u}=r_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +r_p{\mathbf{v}}_p$
   • $\mathbf{w}=s_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +s_p{\mathbf{v}}_p$

   Por los Axiomas 2, 3 y 5 para el espacio vectorial $V$: $\mathbf{u}+\mathbf{w}=(r_1+s_1){\mathbf{v}}_1+\cdots +(r_p+s_p){\mathbf{v}}_p$

   Esto muestra que $\mathbf{u}+\mathbf{w}$ está en $\text{Gen}\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p\}$.

3. Cierre bajo multiplicación por escalar: Si $\mathbf{u}$ está en $\text{Gen}\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p\}$ y $c$ es cualquier escalar: $c\mathbf{u}=c(r_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +r_p{\mathbf{v}}_p)=(c{r}_1){\mathbf{v}}_1+\cdots +(c{r}_p){\mathbf{v}}_p$

   Por los Axiomas 6 y 7, esto muestra que $c\mathbf{u}$ está en $\text{Gen}\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p\}$.

3.2 Conjunto Generador Mínimo

Cuando un subespacio $H$ es igual a $\text{Gen}\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p\}$, decimos que los vectores ${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p$ generan a $H$. Este conjunto de vectores actúa como una especie de “esqueleto” o “base constructiva” para todo el subespacio.

Técnica Útil para Expresar Subespacios

Si un subespacio $H=\text{Gen}\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p\}$, podemos pensar en los vectores ${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p$ del conjunto generador como “bloques de construcción” que nos permiten armar todo el subespacio $H$.

Cálculos con un número infinito de vectores en $H$ se reducen frecuentemente a operaciones con un número finito de vectores en el conjunto generador.

Ejemplo 12 - Problema de Práctica (Ejercicio del Libro)

Determine qué valor(es) de $h$ harán que $\mathbf{y}$ sea un subespacio de ${\mathbb{R}}^3$ generado por ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3$, si: ${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right),{\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ -5\end{array}\right),{\mathbf{v}}_3=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ h\end{array}\right),\mathbf{y}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ h\end{array}\right)$

Solución:

Esta pregunta es el problema de práctica 2 en la sección 1.3, que aquí se modificó utilizando el término subespacio en vez de Gen$\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3\}$. La solución obtenida ahí muestra que $\mathbf{y}$ está en Gen$\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3\}$ si y solo si $h=5$.

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🚨 Conceptos Clave para Recordar

Ideas Centrales

1. Espacios vectoriales abstractos: Conjuntos con operaciones de suma y multiplicación por escalar que satisfacen 10 axiomas fundamentales

2. Ejemplos diversos: ${\mathbb{R}}^n$, matrices, polinomios, funciones continuas y secuencias son todos espacios vectoriales

3. Subespacios: Subconjuntos cerrados bajo las operaciones que contienen el vector cero

4. Tres condiciones para subespacios: Verificar solo (1) contiene $0$, (2) cerrado bajo suma, (3) cerrado bajo multiplicación por escalar

5. Conjunto generado: Gen$\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p\}$ es siempre un subespacio

6. Intuición geométrica: Los subespacios en ${\mathbb{R}}^n$ son líneas, planos, hiperplanos que pasan por el origen

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo enunciar los 10 axiomas de un espacio vectorial
• Puedo verificar si un conjunto con operaciones dadas es un espacio vectorial
• Entiendo la diferencia entre un espacio vectorial y ${\mathbb{R}}^n$
• Puedo determinar si un subconjunto es un subespacio verificando las 3 condiciones
• Reconozco subespacios de ${\mathbb{R}}^2$ y ${\mathbb{R}}^3$ geométricamente
• Puedo demostrar que Gen$\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p\}$ es un subespacio
• Comprendo por qué los subespacios deben pasar por el origen
• Puedo expresar subespacios como conjuntos generados
• Entiendo los subespacios triviales ($\{0\}$ y $V$)
• Puedo aplicar el Teorema 1 a problemas concretos

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📝 Ejercicios y Problemas

Ejercicios Básicos

Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1: Determine si los siguientes conjuntos con las operaciones usuales son espacios vectoriales:

a) El conjunto de todos los polinomios de grado exactamente 3

b) El conjunto de todas las matrices de $2\times 2$ con determinante cero

c) El conjunto de todas las funciones continuas $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ tales que $f(0)=1$

Ejercicio 2: Demuestre que el conjunto $H$ de todos los puntos en ${\mathbb{R}}^2$ de la forma $(3s,2-5s)$ NO es un espacio vectorial. Identifique específicamente qué axioma(s) falla(n).

Ejercicios sobre Subespacios

Problemas de Subespacios

Ejercicio 3: Determine si los siguientes subconjuntos de ${\mathbb{R}}^3$ son subespacios:

a) $H_1=\{(a,b,c):a+2b-3c=0\}$

b) $H_2=\{(a,b,c):a^2+b^2=c^2\}$

c) $H_3=\{(a,0,0):a\in \mathbb{R}\}$

d) $H_4=\{(a,b,c):a=b=c\}$

Ejercicio 4: Sea $V$ el primer cuadrante en el plano $xy$. Es decir: $V=\{(x,y):x\ge 0,y\ge 0\}$

a) Si $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ están en $V$, ¿está $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ en $V$? ¿Por qué?

b) Encuentre un vector específico $\mathbf{u}$ en $V$ y un escalar $c$ tal que $c\mathbf{u}$ NO esté en $V$.

c) ¿Es $V$ un subespacio de ${\mathbb{R}}^2$? Explique.

Problemas sobre Conjuntos Generados

Ejercicios Avanzados

Ejercicio 5: Sea $W=\text{Gen}\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2\}$ donde: ${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right),{\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

a) Demuestre que $W$ es un subespacio de ${\mathbb{R}}^3$ usando el Teorema 1

b) Determine si el vector $\mathbf{w}=(2,-1,5{)}^T$ está en $W$

c) ¿Qué representa geométricamente $W$ en ${\mathbb{R}}^3$?

Ejercicio 6: Sea $H$ el conjunto de todas las matrices de $2\times 2$ de la forma: $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 0\end{array}\right)$ donde $a$ y $b$ son números reales cualesquiera.

a) Demuestre que $H$ es un subespacio del espacio vectorial $M_{2\times 2}$

b) Encuentre un conjunto de vectores que generen $H$

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🔗 Conexiones con Otros Temas

Vínculos Conceptuales

Clases anteriores:

• 5) Introducción a Sistemas de Ecuaciones LinealesAi - Conjuntos solución de sistemas lineales
• 12) Independencia Lineal - Independencia lineal

Próxima clase:

• 23) Bases Independencia lineal: Conjuntos linealmente independientes y bases

Conceptos relacionados:

• Combinacion-Lineal - Fundamento de conjuntos generados
• Sistema-Homogeneo - Su conjunto solución es un subespacio
• Bases-Dimension - Próximo concepto fundamental

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 4.1, págs. 190-195

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Próxima Clase

En la Clase 23, estudiaremos los conceptos de conjuntos linealmente independientes y bases para subespacios, que nos permitirán describir subespacios de manera única y eficiente mediante el menor número posible de vectores generadores.