17) Matrices Elementales

Clase 17: Matrices Elementales y Algoritmo para la Inversa

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📋 Resumen Ejecutivo

Objetivos de la Clase

En esta clase aprenderás a:

• Comprender qué son las matrices elementales
• Relacionar operaciones de fila con multiplicación matricial
• Desarrollar el algoritmo para calcular $A^{-1}$ mediante operaciones de fila
• Aplicar el Teorema de la Matriz Invertible
• Determinar si una matriz es invertible sin calcular su inversa
• Entender equivalencias fundamentales sobre invertibilidad

Idea Central

Las operaciones elementales de fila que hemos usado para resolver sistemas pueden expresarse como multiplicación por matrices especiales llamadas matrices elementales. Esto nos permite desarrollar un algoritmo eficiente para calcular inversas y nos conduce al Teorema de la Matriz Invertible, uno de los resultados más importantes del álgebra lineal.

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1. Matrices Elementales

1.1 Definición

Definición - Matriz Elemental

Una matriz elemental es aquella que se obtiene al realizar una sola operación elemental de fila sobre la matriz identidad $I_n$.

1.2 Los Tres Tipos

Recordemos las tres operaciones elementales de fila:

1. (Reemplazo): $R_i\leftarrow R_i+c{R}_j$
2. (Intercambio): $R_i\leftrightarrow R_j$
3. (Escalamiento): $R_i\leftarrow k{R}_i$ (con $k\ne 0$)

Cada una produce una matriz elemental diferente.

1.3 Ejemplos de Matrices Elementales

Ejemplo 1 - Matrices Elementales de 3 x 3

Partiendo de $I_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$:

Tipo 1 (Reemplazo): $R_3\leftarrow R_3+4R_1$ $E_1=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 4& 0& 1\end{array}\right]$

Tipo 2 (Intercambio): $R_1\leftrightarrow R_2$ $E_2=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

Tipo 3 (Escalamiento): $R_2\leftarrow 5R_2$ $E_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

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2. Operaciones de Fila como Producto Matricial

2.1 Teorema Fundamental

Teorema - Operaciones de Fila son Multiplicación Matricial

Si se realiza una operación elemental de fila sobre una matriz $A$ de $m\times n$, el resultado es $EA$, donde $E$ es la matriz elemental $m\times m$ que se obtiene al realizar la misma operación sobre $I_m$.

Esta es una observación profunda: las operaciones de fila que hemos usado para resolver sistemas son en realidad multiplicaciones matriciales por matrices especiales.

2.2 Ejemplo Ilustrativo

Ejemplo 2 - Operación de Fila como Producto

Sea $A=\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 0& 4& -1\\ 2& -3& 5\end{array}\right]$

Queremos realizar $R_3\leftarrow R_3-2R_1$.

Método 1 (Directo): Aplicar la operación: $\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 0& 4& -1\\ 0& 1& -1\end{array}\right]$

Método 2 (Matricial): Crear la matriz elemental $E$ aplicando la misma operación a $I_3$: $E=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -2& 0& 1\end{array}\right]$

Luego calcular $EA$: $EA=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -2& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 0& 4& -1\\ 2& -3& 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 0& 4& -1\\ 0& 1& -1\end{array}\right]$

¡Mismo resultado!

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3. Invertibilidad de Matrices Elementales

3.1 Teorema Clave

Teorema - Matrices Elementales son Invertibles

Toda matriz elemental $E$ es invertible. La inversa $E^{-1}$ es la matriz elemental del mismo tipo que deshace la operación de $E$.

3.2 Inversas de Cada Tipo

Cómo Invertir Cada Operación

1. Reemplazo: $R_i\leftarrow R_i+c{R}_j$ se invierte con $R_i\leftarrow R_i-c{R}_j$

2. Intercambio: $R_i\leftrightarrow R_j$ se invierte con la misma operación $R_i\leftrightarrow R_j$

3. Escalamiento: $R_i\leftarrow k{R}_i$ se invierte con $R_i\leftarrow \frac{1}{k}{R}_i$

3.3 Ejemplo de Inversas

Ejemplo 3 - Inversa de Matriz Elemental

Si $E=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 4& 0& 1\end{array}\right]$ (que representa $R_3\leftarrow R_3+4R_1$)

Entonces su inversa es: $E^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -4& 0& 1\end{array}\right]$ (que representa $R_3\leftarrow R_3-4R_1$)

Verificación: $E{E}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 4& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -4& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=I$

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4. Algoritmo para Calcular la Inversa

4.1 Idea Principal

Pregunta Clave

Si podemos reducir $A$ a $I$ mediante operaciones de fila, ¿qué pasa si aplicamos las mismas operaciones a $I$?

Respuesta: ¡Obtenemos $A^{-1}$!

4.2 Justificación Teórica

Teorema 7 - Algoritmo de Inversión

Una matriz $A$ de $n\times n$ es invertible si y solo si $A$ es equivalente por filas a $I_n$.

En este caso, cualquier secuencia de operaciones elementales que reduce $A$ a $I_n$ también transforma $I_n$ en $A^{-1}$.

Matemáticamente: Si existen matrices elementales $E_1,E_2,\dots ,E_p$ tales que: $E_p\cdots E_2{E}_{1}A=I_n$

Entonces: $A^{-1}=E_p\cdots E_2{E}_1=E_p\cdots E_2{E}_1{I}_n$

4.3 Procedimiento Práctico

Algoritmo

para Calcular $A^{-1}$

Paso 1: Formar la matriz aumentada $[A|I]$

Paso 2: Reducir por filas hasta obtener $[I|B]$

Paso 3: La matriz $B$ es $A^{-1}$

Si no se puede reducir $A$ a $I$, entonces $A$ no es invertible.

4.4 Ejemplo Completo

Ejemplo 4 - Calcular Inversa mediante Reducción

Encuentre la inversa de $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 3\\ 3& -2& 7\end{array}\right]$.

Paso 1: Formar $[A|I]$:

$$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 2& 1& 0& 0\\ 0& 1& 3& 0& 1& 0\\ 3& -2& 7& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

Paso 2: Aplicar operaciones de fila:

$R_3\leftarrow R_3-3R_1$:

$$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 2& 1& 0& 0\\ 0& 1& 3& 0& 1& 0\\ 0& -2& 1& -3& 0& 1\end{array}\right]$$

$R_3\leftarrow R_3+2R_2$:

$$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 2& 1& 0& 0\\ 0& 1& 3& 0& 1& 0\\ 0& 0& 7& -3& 2& 1\end{array}\right]$$

$R_3\leftarrow \frac{1}{7}{R}_3$:

$$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 2& 1& 0& 0\\ 0& 1& 3& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& -3/7& 2/7& 1/7\end{array}\right]$$

$R_2\leftarrow R_2-3R_3$:

$$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 2& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 9/7& 1/7& -3/7\\ 0& 0& 1& -3/7& 2/7& 1/7\end{array}\right]$$

$R_1\leftarrow R_1-2R_3$:

$$\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 0& 13/7& -4/7& -2/7\\ 0& 1& 0& 9/7& 1/7& -3/7\\ 0& 0& 1& -3/7& 2/7& 1/7\end{array}\right]$$

Resultado:

$$A^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}13/7& -4/7& -2/7\\ 9/7& 1/7& -3/7\\ -3/7& 2/7& 1/7\end{array}\right]$$

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5. El Teorema de la Matriz Invertible

5.1 Enunciado Completo

Teorema 8 - El Teorema de la Matriz Invertible (TMI)

Sea $A$ una matriz cuadrada $n\times n$. Las siguientes afirmaciones son equivalentes (todas verdaderas o todas falsas):

a) $A$ es una matriz invertible

b) $A$ es equivalente por filas a $I_n$

c) $A$ tiene $n$ posiciones pivote

d) La ecuación $A\mathbf{x}=0$ tiene solo la solución trivial

e) Las columnas de $A$ son linealmente independientes

f) La transformación $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ es uno a uno (inyectiva)

g) Para cada $\mathbf{b}$ en ${\mathbb{R}}^n$, la ecuación $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ tiene al menos una solución

h) Las columnas de $A$ generan ${\mathbb{R}}^n$

i) La transformación $\mathbf{x}\mapsto A\mathbf{x}$ es sobre (suprayectiva)

j) Existe una matriz $C$ de $n\times n$ tal que $CA=I$

k) Existe una matriz $D$ de $n\times n$ tal que $AD=I$

l) $A^T$ es una matriz invertible

5.2 Importancia del Teorema

¿Por Qué es Tan Importante?

Este teorema unifica casi todo lo que hemos aprendido sobre:

• Sistemas de ecuaciones lineales
• Independencia lineal
• Transformaciones lineales
• Equivalencia por filas
• Matrices inversas

Nos dice que todas estas propiedades están profundamente interconectadas: si una es verdadera, ¡todas lo son!

5.3 Aplicaciones Prácticas

Ejemplo 5 - Uso del TMI

Determine si $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ 3& 1& -2\\ -5& -1& 9\end{array}\right]$ es invertible.

Solución usando (c): Reducimos a forma escalonada:

$A\sim \left[\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ 0& 1& 4\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$

Como tiene 3 posiciones pivote (una en cada fila), por el apartado (c) del TMI, $A$ es invertible.

¡No necesitamos calcular $A^{-1}$ para saberlo!

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6. Caracterizaciones de Matrices NO Invertibles

6.1 Negaciones del TMI

Warning

Una Matriz $A$ de $n\times n$ NO es invertible si:

• $A$ no es equivalente por filas a $I_n$
• $A$ tiene menos de $n$ posiciones pivote
• $A\mathbf{x}=0$ tiene soluciones no triviales
• Las columnas de $A$ son linealmente dependientes
• La transformación no es uno a uno
• Existe algún $\mathbf{b}$ tal que $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ no tiene solución
• Las columnas no generan ${\mathbb{R}}^n$
• La transformación no es sobre

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Confundir [A|I] con [I|A]

• Incorrecto: Formar $[I|A]$ para calcular la inversa
• Correcto: Formar $[A|I]$ y reducir a $[I|A^{-1}]$

Error 2: Detenerse en forma escalonada

• Incorrecto: Detenerse cuando $A$ está en forma escalonada
• Correcto: Continuar hasta forma escalonada reducida ($I_n$)

Error 3: No verificar si la reducción falla

• Incorrecto: Asumir que siempre se puede llegar a $I$
• Correcto: Si aparece una fila de ceros en la parte izquierda, $A$ no es invertible

Error 4: Aplicar operaciones solo a A

• Incorrecto: Olvidar aplicar las operaciones también al lado derecho ($I$)
• Correcto: Cada operación debe aplicarse a toda la fila aumentada

Error 5: Malinterpretar el TMI

• Incorrecto: “Si una propiedad es falsa, algunas otras pueden ser verdaderas”
• Correcto: Todas las propiedades son equivalentes: todas verdaderas o todas falsas

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicios Básicos

Problemas Fundamentales

1. Matrices elementales: Para cada operación, encuentre la matriz elemental correspondiente:

   a) $R_2\leftarrow R_2-3R_1$ (en $I_3$)

   b) $R_1\leftrightarrow R_3$ (en $I_3$)

   c) $R_2\leftarrow -2R_2$ (en $I_3$)

2. Calcular inversas: Use el algoritmo $[A|I]\to [I|A^{-1}]$ para encontrar la inversa:

   a) $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right]$

   b) $\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right]$

3. Usar el TMI: Determine si cada matriz es invertible sin calcular la inversa:

   a) $\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 0& 1& 4\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

   b) $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 1& 1& 1\end{array}\right]$

Ejercicios Intermedios

Práctica de Conceptos

4. Inversas de matrices elementales: Para $E=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 3& 1\end{array}\right]$:

   a) ¿Qué operación representa?

   b) Encuentre $E^{-1}$

   c) Verifique que $E{E}^{-1}=I$

5. Factorización en matrices elementales: Exprese $A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 3\end{array}\right]$ como producto de matrices elementales.

6. TMI en acción: Si las columnas de una matriz $3\times 3$ son linealmente dependientes, ¿qué más puede concluir usando el TMI?

Ejercicios Avanzados

Problemas Conceptuales

7. Demostración: Demuestre que si $A$ y $B$ son matrices $n\times n$ invertibles, entonces $AB$ es invertible.

8. Análisis: Si $A^3=O$ (matriz cero), demuestre que $A$ no puede ser invertible.

9. Ecuaciones matriciales: Resuelva para $X$ usando inversas: $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]X\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

10. Equivalencias: Explique por qué el apartado (l) del TMI (sobre $A^T$) es equivalente a los demás.

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos Fundamentales

1. Matriz elemental: Se obtiene de $I$ con una operación de fila
2. Operación = multiplicación: Operación de fila en $A$ es $EA$
3. Matrices elementales son invertibles: $E^{-1}$ deshace la operación de $E$
4. Algoritmo: $[A|I]\stackrel{\text{reducir}}{\to }[I|A^{-1}]$
5. TMI: 12 afirmaciones equivalentes sobre invertibilidad
6. Equivalencia por filas: $A$ invertible ⟺ $A\sim I_n$
7. Pivotes: $A$ invertible ⟺ $n$ posiciones pivote
8. Columnas LI: $A$ invertible ⟺ columnas linealmente independientes

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Entiendo qué es una matriz elemental
• Puedo crear la matriz elemental correspondiente a cualquier operación
• Comprendo que operaciones de fila = multiplicación por matrices elementales
• Sé que toda matriz elemental es invertible
• Puedo aplicar el algoritmo $[A|I]\to [I|A^{-1}]$
• Reconozco cuándo una matriz NO es invertible durante la reducción
• Conozco el Teorema de la Matriz Invertible y sus 12 equivalencias
• Puedo usar el TMI para determinar invertibilidad sin calcular $A^{-1}$
• Entiendo las conexiones profundas entre todos los conceptos

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🔗 Conexiones con Otros Temas

Vínculos Conceptuales

Próximas clases:

• 18) Definicion del Determinante: Determinantes (otro criterio de invertibilidad)
• 22) Espacios y Subespacios Vectoriales: Subespacios (espacio columna)
• 23) Bases Independencia lineal: Bases y dimensión

Conceptos relacionados:

• Factorizacion-LU - Otra forma de ver eliminación
• Rango - Número de columnas pivote

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 2.2, págs. 106-114

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Próxima Clase

En la Clase 18, comenzaremos el estudio de los determinantes, una función escalar asociada a matrices cuadradas que proporciona otro criterio fundamental para determinar invertibilidad. El determinante tiene interpretaciones geométricas profundas y aplicaciones en cálculo, geometría y física.