16) Matriz Inversa

Clase 16: La Inversa de una Matriz

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📋 Resumen Ejecutivo

Objetivos de la Clase

En esta clase aprenderás a:

• Comprender el concepto de matriz inversa
• Determinar cuándo una matriz tiene inversa
• Calcular la inversa de matrices $2\times 2$
• Aplicar propiedades de la inversa
• Resolver sistemas lineales usando matrices inversas
• Relacionar la inversa con transformaciones lineales

Idea Central

La matriz inversa generaliza el concepto de inverso multiplicativo. Así como $5\cdot \frac{1}{5}=1$, una matriz $A$ tiene inversa $A^{-1}$ si $A{A}^{-1}=I$ (la matriz identidad). No todas las matrices tienen inversa, solo las matrices invertibles o no singulares.

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1. Definición y Motivación

1.1 Analogía con Números

Del Álgebra Elemental

Recordemos que para resolver $5x=7$, multiplicamos ambos lados por $\frac{1}{5}=5^{-1}$: $5^{-1}\cdot 5x=5^{-1}\cdot 7⟹x=\frac{7}{5}$

El inverso de 5 satisface: $5^{-1}\cdot 5=1$ y $5\cdot 5^{-1}=1$

Pregunta: ¿Podemos hacer algo similar con matrices para resolver $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$?

1.2 Definición Formal

Definición - Matriz Inversa

Una matriz $A$ de $n\times n$ es invertible si existe otra matriz $C$ de $n\times n$ tal que:

$CA=I\text{y}AC=I$

donde $I=I_n$ es la matriz identidad $n\times n$.

En este caso, $C$ es una inversa de $A$. Esta inversa es única y se denota mediante $A^{-1}$, de modo que:

$\boxed{A^{-1}A=I\text{y}A{A}^{-1}=I}$

Una matriz que no es invertible se llama matriz singular. Una matriz invertible se llama matriz no singular.

1.3 Observación Importante

Ambas Ecuaciones son Necesarias

Para matrices $n\times n$, si una de las ecuaciones $CA=I$ o $AC=I$ es verdadera, entonces automáticamente la otra también lo es, y $C=A^{-1}$.

Sin embargo, conceptualmente debemos verificar ambas direcciones. En la práctica, verificar una es suficiente.

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2. Ejemplo Fundamental

2.1 Verificación de Inversa

Ejemplo 1 - Comprobar que C es la Inversa de A

Sean: $A=\left[\begin{array}{cc}2& 5\\ -3& -7\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}-7& -5\\ 3& 2\end{array}\right]$

Verificar $CA=I$: $CA=\left[\begin{array}{cc}-7& -5\\ 3& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 5\\ -3& -7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-14+15& -35+35\\ 6-6& 15-14\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ ✓

Verificar $AC=I$: $AC=\left[\begin{array}{cc}2& 5\\ -3& -7\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-7& -5\\ 3& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-14+15& -10+10\\ 21-21& 15-14\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ ✓

Conclusión: $C=A^{-1}$

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3. Fórmula para la Inversa de una Matriz $2\times 2$

3.1 Teorema Fundamental para $2\times 2$

Teorema 4 - Fórmula de la Inversa 2 x 2

Sea $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$. Si $ad-bc\ne 0$, entonces $A$ es invertible y:

$\boxed{A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]}$

Si $ad-bc=0$, entonces $A$ no es invertible (es singular).

Nota: La cantidad $ad-bc$ se llama el determinante de $A$, y se denota $\det A$ o $|A|$.

3.2 Interpretación de la Fórmula

Cómo Recordar la Fórmula

1. Calcular el determinante: $\det A=ad-bc$
2. Intercambiar los elementos de la diagonal principal ($a\leftrightarrow d$)
3. Cambiar el signo de los elementos de la diagonal secundaria ($b\to -b$, $c\to -c$)
4. Dividir toda la matriz por el determinante

3.3 Ejemplos

Ejemplo 2 - Calcular la Inversa 2 x 2

Encuentre la inversa de $A=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]$.

Solución:

Paso 1: Calcular el determinante: $\det A=(3)(6)-(4)(5)=18-20=-2\ne 0$

Como $\det A\ne 0$, la matriz es invertible.

Paso 2: Aplicar la fórmula: $A^{-1}=\frac{1}{-2}\left[\begin{array}{cc}6& -4\\ -5& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-3& 2\\ 5/2& -3/2\end{array}\right]$

Verificación: $A{A}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-3& 2\\ 5/2& -3/2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$ ✓

Ejemplo 3 - Matriz No Invertible

Determine si $A=\left[\begin{array}{cc}4& 6\\ 2& 3\end{array}\right]$ es invertible.

Solución: $\det A=(4)(3)-(6)(2)=12-12=0$

Como $\det A=0$, la matriz NO es invertible (es singular).

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4. Propiedades de las Matrices Invertibles

4.1 Teoremas Fundamentales

Teorema 5 - Propiedades de la Inversa

Si $A$ es una matriz invertible, entonces:

a) $A^{-1}$ es invertible y $(A^{-1}{)}^{-1}=A$

b) Para cualquier escalar $k\ne 0$: $(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$

c) Si $A$ y $B$ son invertibles del mismo tamaño, entonces $AB$ es invertible y: $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ ⚠️ El orden se invierte (igual que con la transpuesta)

d) $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$

4.2 Demostración de $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

Prueba

Para mostrar que $B^{-1}{A}^{-1}$ es la inversa de $AB$, verificamos:

$(AB)(B^{-1}{A}^{-1})=A(B{B}^{-1})A^{-1}=AI{A}^{-1}=A{A}^{-1}=I$

$(B^{-1}{A}^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}IB=B^{-1}B=I$

Por tanto, $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ ✓

4.3 Generalización

Producto de Múltiples Matrices

La propiedad (c) se generaliza: si $A_1,A_2,\dots ,A_k$ son matrices invertibles, entonces:

$(A_1{A}_2\cdots A_k{)}^{-1}=A_k^{-1}\cdots A_2^{-1}{A}_1^{-1}$

El orden se invierte completamente.

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5. Aplicación: Resolver Sistemas Lineales

5.1 Uso de la Matriz Inversa

Teorema 6

Resolución mediante $A^{-1}$

Si $A$ es una matriz invertible $n\times n$, entonces para cada $\mathbf{b}$ en ${\mathbb{R}}^n$, la ecuación $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ tiene la solución única:

$\boxed{\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}}$

5.2 Justificación

¿Por Qué Funciona?

Partiendo de $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$, multiplicamos ambos lados por $A^{-1}$ a la izquierda:

$A^{-1}(A\mathbf{x})=A^{-1}\mathbf{b}$ $(A^{-1}A)\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$ $I\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$ $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$

5.3 Ejemplo Aplicado

Ejemplo 4

Resolver un Sistema con $A^{-1}$

Resuelva el sistema usando la matriz inversa:

$$\{\begin{array}{l}3x_1+4x_2=2\\ 5x_1+6x_2=3\end{array}$$

Solución:

El sistema se puede escribir como $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ donde: $A=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 5& 6\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]$

Del Ejemplo 2, sabemos que: $A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-3& 2\\ 5/2& -3/2\end{array}\right]$

Por tanto: $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}=\left[\begin{array}{cc}-3& 2\\ 5/2& -3/2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-6+6\\ 5-9/2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 1/2\end{array}\right]$

Solución: $x_1=0$, $x_2=\frac{1}{2}$

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6. Potencias de Matrices Invertibles

6.1 Exponentes Negativos

Definición - Potencias Negativas

Si $A$ es invertible y $k$ es un entero positivo, entonces:

$A^{-k}=(A^{-1}{)}^k=\underset{k\text{ veces}}{\underbrace{A^{-1}\cdot A^{-1}\cdots A^{-1}}}$

Propiedades:

• $A^k{A}^{-k}=I$
• $(A^k{)}^{-1}=A^{-k}$

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7. Matriz Inversa y Transformaciones Lineales

7.1 Transformaciones Invertibles

Interpretación Geométrica

Si $A$ es invertible, la transformación lineal $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ es invertible, es decir:

• Es uno a uno (inyectiva): diferentes entradas dan diferentes salidas
• Es sobre (suprayectiva): todo vector en el codominio es imagen de algún vector

La transformación inversa es $T^{-1}(\mathbf{x})=A^{-1}\mathbf{x}$, que “deshace” lo que $T$ hace.

Aplicar $T$ seguido de $T^{-1}$ (o viceversa) devuelve el vector original.

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Dividir entre matrices

• Incorrecto: Escribir $\mathbf{x}=\frac{\mathbf{b}}{A}$ o $\mathbf{x}=\mathbf{b}/A$
• Correcto: Escribir $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$ (multiplicar por la inversa)

Error 2:

Orden en $(AB{)}^{-1}$

• Incorrecto: $(AB{)}^{-1}=A^{-1}{B}^{-1}$
• Correcto: $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ (orden inverso)

Error 3: Asumir que toda matriz tiene inversa

• Incorrecto: “Toda matriz cuadrada es invertible”
• Correcto: Solo matrices con determinante no nulo son invertibles

Error 4:

Calcular $(A+B{)}^{-1}$

• Incorrecto: $(A+B{)}^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$
• Correcto: En general, NO existe una fórmula simple para $(A+B{)}^{-1}$

Error 5: Confundir inversa con recíproco de entradas

• Incorrecto: Pensar que la inversa se obtiene invirtiendo cada entrada
• Correcto: Usar la fórmula apropiada o el algoritmo de reducción por filas

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicios Básicos

Problemas Fundamentales

1. Verificación: Verifique que $B$ es la inversa de $A$: $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}-2& 1\\ 3/2& -1/2\end{array}\right]$

2. Calcular inversas $2\times 2$: Encuentre la inversa (si existe) de cada matriz:

   a) $\left[\begin{array}{cc}5& 7\\ 2& 3\end{array}\right]$

   b) $\left[\begin{array}{cc}6& 9\\ 4& 6\end{array}\right]$

   c) $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

3. Resolver usando inversas: Use la matriz inversa para resolver:

$$\{\begin{array}{l}2x+5y=7\\ -3x-7y=-9\end{array}$$

Ejercicios Intermedios

Práctica de Conceptos

4. Propiedades: Si $A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 2\end{array}\right]$, encuentre:

   a) $(A^{-1}{)}^{-1}$

   b) $(2A{)}^{-1}$

   c) $(A^T{)}^{-1}$

5. Producto de inversas: Si $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right]$ y $B=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$, calcule:

   a) $A^{-1}$

   b) $B^{-1}$

   c) $(AB{)}^{-1}$

   d) Verifique que $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

6. Potencias: Si $A=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$, calcule $A^{-3}$.

Ejercicios Avanzados

Problemas Conceptuales

7. Demostración: Demuestre que si $A$ es invertible, entonces $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$.

8. Ecuaciones matriciales: Resuelva para $X$:

   a) $AX=B$, donde $A$ es invertible

   b) $XA=B$, donde $A$ es invertible

   c) $AXB=C$, donde $A$ y $B$ son invertibles

9. Análisis: Si $A^2=I$, ¿qué puede decir sobre $A^{-1}$? Dé ejemplos de tales matrices.

10. Criterio de invertibilidad: Explique por qué una matriz $2\times 2$ con dos filas proporcionales no puede ser invertible.

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos Fundamentales

1. Matriz invertible: $A{A}^{-1}=I$ y $A^{-1}A=I$
2. Determinante $2\times 2$: $\det A=ad-bc$
3. Fórmula $2\times 2$: $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$
4. Inversa de producto: $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ (orden inverso)
5. Resolución de sistemas: $A\mathbf{x}=\mathbf{b}⟹\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$
6. Singular: Matriz sin inversa (determinante cero)
7. Unicidad: La inversa (si existe) es única
8. Transformaciones: Matriz invertible ⟺ transformación invertible

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Entiendo qué significa que una matriz sea invertible
• Puedo verificar si una matriz dada es la inversa de otra
• Sé calcular la inversa de matrices $2\times 2$ usando la fórmula
• Comprendo cuándo una matriz NO tiene inversa
• Puedo aplicar las propiedades de la inversa
• Sé que $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ (orden inverso)
• Puedo resolver sistemas lineales usando $A^{-1}$
• Entiendo la conexión entre matrices invertibles y transformaciones
• Reconozco que la inversa (si existe) es única

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🔗 Conexiones con Otros Temas

Vínculos Conceptuales

Próxima clase:

• 17) Matrices Elementales: Matrices elementales y algoritmo para calcular $A^{-1}$

Conceptos relacionados:

• Determinante - Criterio de invertibilidad
• Teorema-Matriz-Invertible - Equivalencias importantes
• Factorizacion-LU - Descomposiciones matriciales

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 2.2, págs. 102-106

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Próxima Clase

En la Clase 17, aprenderemos sobre matrices elementales y desarrollaremos un algoritmo sistemático para calcular la inversa de cualquier matriz invertible mediante operaciones de fila. También estudiaremos el Teorema de la Matriz Invertible, uno de los resultados más importantes del álgebra lineal.