Matriz

mat1203-algebra concepto matrices

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Definición

Una matriz es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones, organizados en filas y columnas.

Una matriz de dimensión $m\times n$ (se lee “m por n”) tiene:

• $m$ filas
• $n$ columnas
• $m\cdot n$ entradas (elementos)

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Notación

Notación General

$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$

donde:

• $A$ es el nombre de la matriz (letra mayúscula)
• $a_{ij}$ es el elemento en la fila $i$, columna $j$
• Dimensión: $A$ es una matriz $m\times n$

Notación Compacta

$A=[a_{ij}{]}_{m\times n}$

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Tipos de Matrices

Matriz Cuadrada

Matriz con el mismo número de filas que de columnas ($m=n$).

$A={\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]}_{3\times 3}$

Matriz Identidad

Matriz cuadrada con 1’s en la diagonal principal y 0’s en el resto:

$I_n={\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]}_{n\times n}$

Propiedad: $AI=IA=A$ (elemento neutro de la multiplicación)

Matriz Cero

Matriz con todos sus elementos iguales a cero:

$O=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right]$

Matriz Diagonal

Matriz cuadrada con elementos no ceros solo en la diagonal principal:

$D=\left[\begin{array}{cccc}{d}_1& 0& \cdots & 0\\ 0& d_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & d_n\end{array}\right]$

Matriz Triangular Superior

Todos los elementos bajo la diagonal principal son cero:

$U=\left[\begin{array}{ccc}{u}_{11}& u_{12}& u_{13}\\ 0& u_{22}& u_{23}\\ 0& 0& u_{33}\end{array}\right]$

Matriz Triangular Inferior

Todos los elementos sobre la diagonal principal son cero:

$L=\left[\begin{array}{ccc}{l}_{11}& 0& 0\\ l_{21}& l_{22}& 0\\ l_{31}& l_{32}& l_{33}\end{array}\right]$

Matriz Simétrica

Matriz cuadrada que es igual a su transpuesta: $A=A^T$

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 5\\ 3& 5& 6\end{array}\right]$

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Operaciones con Matrices

Suma de Matrices

Solo se pueden sumar matrices de la misma dimensión:

$A+B=[a_{ij}+b_{ij}]$

Ejemplo: $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}6& 8\\ 10& 12\end{array}\right]$

Multiplicación por Escalar

$cA=[c{a}_{ij}]$

Ejemplo: $3\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 6\\ 9& 12\end{array}\right]$

Multiplicación de Matrices

Para $A_{m\times n}$ y $B_{n\times p}$, el producto $AB$ es una matriz $m\times p$ donde:

$(AB{)}_{ij}={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$

Importante:

• Solo se pueden multiplicar si el número de columnas de $A$ = número de filas de $B$
• NO es conmutativa: $AB\ne BA$ en general

Transpuesta

La transpuesta de $A$ (denotada $A^T$) se obtiene intercambiando filas por columnas:

$(A^T{)}_{ij}=a_{ji}$

Ejemplo: $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]\Rightarrow A^T=\left[\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right]$

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Matriz Inversa

Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa $A^{-1}$ si:

$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$

Propiedades:

• Solo matrices cuadradas pueden tener inversa
• No todas las matrices cuadradas tienen inversa
• Si existe, la inversa es única
• Si $A$ y $B$ son invertibles: $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

Ver: Teorema de la Matriz Invertible

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Determinante

Para matrices cuadradas, el determinante es un escalar que proporciona información importante:

$\det (A)\text{ o }|A|$

Propiedades clave:

• $\det (A)\ne 0$ ⟺ $A$ es invertible
• $\det (AB)=\det (A)\cdot \det (B)$
• $\det (A^T)=\det (A)$

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Rango de una Matriz

El rango de una matriz es:

• El número de filas (o columnas) linealmente independientes
• La dimensión del espacio columna
• La dimensión del espacio fila

Notación: $\text{rango}(A)$ o $\text{rank}(A)$

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Matrices y Sistemas Lineales

Una matriz se usa para representar sistemas de ecuaciones lineales:

Sistema: $\{\begin{array}{l}2x+3y=5\\ 4x+6y=10\end{array}$

Forma matricial: $\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 4& 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ 10\end{array}\right]$

Forma compacta: $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$

Matriz Aumentada

$[A|\mathbf{b}]=\left[\begin{array}{cccc}2& 3& |& 5\\ 4& 6& |& 10\end{array}\right]$

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Transformaciones Lineales

Toda matriz $A_{m\times n}$ define una transformación lineal:

$T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$

Propiedades:

• $T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v})$
• $T(c\mathbf{u})=cT(\mathbf{u})$

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Valores y Vectores Propios

Para una matriz cuadrada $A$, un escalar $\lambda$ es un valor propio si existe un vector no nulo $\mathbf{v}$ tal que:

$A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$

El vector $\mathbf{v}$ es un vector propio correspondiente a $\lambda$.

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Factorizaciones Importantes

Factorización LU

$A=LU$ donde $L$ es triangular inferior y $U$ es triangular superior.

Diagonalización

Si $A$ es diagonalizable: $A=PD{P}^{-1}$ donde $D$ es diagonal y $P$ contiene los vectores propios.

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Espacios Asociados a una Matriz

Espacio Columna

El espacio columna de $A$ es el conjunto de todas las combinaciones lineales de las columnas de $A$.

Notación: $\text{Col}(A)$

Espacio Nulo

El espacio nulo de $A$ es el conjunto de soluciones de $A\mathbf{x}=0$.

Notación: $\text{Nul}(A)$

Espacio Fila

El espacio generado por las filas de $A$.

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Propiedades Algebraicas

Para matrices del tamaño apropiado:

1. Asociatividad de la suma: $(A+B)+C=A+(B+C)$
2. Conmutatividad de la suma: $A+B=B+A$
3. Asociatividad del producto: $(AB)C=A(BC)$
4. Distributividad: $A(B+C)=AB+AC$
5. Transpuesta del producto: $(AB{)}^T=B^T{A}^T$

⚠️ Importante: La multiplicación de matrices NO es conmutativa

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Aplicaciones

En Sistemas Lineales

• Resolución de sistemas de ecuaciones
• Método de eliminación de Gauss
• Sistemas homogéneos y no homogéneos

En Transformaciones

• Rotaciones, reflexiones, proyecciones
• Cambio de coordenadas
• Gráficos por computadora

En Ciencias e Ingeniería

• Redes neuronales
• Sistemas de control
• Análisis estructural
• Procesamiento de señales

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Conexiones con Otros Conceptos

Con Vectores

• Las columnas y filas de una matriz son vectores
• Multiplicación matriz-vector: $A\mathbf{x}$

Con Determinantes

• El determinante indica si la matriz es invertible
• Relacionado con volumen y orientación

Con Bases

• Las columnas de una matriz pueden formar una base
• Matriz de cambio de base

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Notación en Código/Software

# Python (NumPy)
import numpy as np
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

% MATLAB
A = [1 2; 3 4]

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Referencias

• Ver Clase 7: Matrices y Notación Matricial
• Ver Clase 15: Operaciones de Matrices
• Ver Clase 16: Matriz Inversa

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