15) Operaciones de Matrices

Clase 15: Operaciones de Matrices

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📋 Resumen Ejecutivo

Objetivos de la Clase

En esta clase aprenderás a:

• Realizar operaciones básicas con matrices (suma, multiplicación escalar)
• Multiplicar matrices entre sí
• Calcular la transpuesta de una matriz
• Comprender y aplicar las propiedades algebraicas de estas operaciones
• Reconocer matrices especiales (identidad, diagonal, nula)

Idea Central

Las matrices forman un álgebra con operaciones bien definidas que generalizan las operaciones con números. Sin embargo, el álgebra de matrices tiene particularidades importantes: la multiplicación no es conmutativa, y existen divisores de cero (matrices no nulas cuyo producto es la matriz cero).

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1. Suma de Matrices y Múltiplos Escalares

1.1 Igualdad de Matrices

Definición - Igualdad de Matrices

Dos matrices $A$ y $B$ son iguales si:

1. Tienen el mismo tamaño ($m\times n$)
2. Sus entradas correspondientes son iguales

Es decir, $A=B$ si y solo si $a_{ij}=b_{ij}$ para todo $i$ y $j$.

1.2 Suma de Matrices

Definición - Suma de Matrices

Si $A$ y $B$ son matrices de $m\times n$, entonces su suma $A+B$ es la matriz $m\times n$ cuyas entradas son las sumas de las entradas correspondientes de $A$ y $B$.

$(A+B{)}_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$

Importante: La suma $A+B$ solo está definida cuando $A$ y $B$ tienen el mismo tamaño.

Ejemplo 1 - Suma de Matrices

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 4\\ -1& 2& 6\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 2& 4& 6\end{array}\right]$

$A+B=\left[\begin{array}{ccc}1+0& -2+1& 4+0\\ -1+2& 2+4& 6+6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 4\\ 1& 6& 12\end{array}\right]$

1.3 Múltiplo Escalar

Definición - Múltiplo Escalar

Si $r$ es un escalar y $A$ es una matriz, entonces el múltiplo escalar $rA$ es la matriz cuyas entradas son $r$ veces las entradas correspondientes de $A$.

$(rA{)}_{ij}=r\cdot a_{ij}$

Ejemplo 2 - Múltiplo Escalar

Si $A=\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 4\\ -1& 2& 6\end{array}\right]$ y $B=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 2& 4& 6\end{array}\right]$, entonces:

$3B=\left[\begin{array}{ccc}0& 3& 0\\ 6& 12& 18\end{array}\right]$

$-2A=\left[\begin{array}{ccc}-2& 4& -8\\ 2& -4& -12\end{array}\right]$

$A-2B=A+(-2B)=\left[\begin{array}{ccc}1& -4& 4\\ -5& -6& -6\end{array}\right]$

1.4 Propiedades Algebraicas

Teorema 1 - Propiedades de la Suma y Múltiplos Escalares

Sean $A$, $B$ y $C$ matrices del mismo tamaño, y sean $r$ y $s$ escalares. Entonces:

a) $A+B=B+A$ (Conmutativa)

b) $(A+B)+C=A+(B+C)$ (Asociativa)

c) $A+O=A$ (Identidad aditiva), donde $O$ es la matriz cero

d) $r(A+B)=rA+rB$ (Distributiva respecto a la suma de matrices)

e) $(r+s)A=rA+sA$ (Distributiva respecto a la suma de escalares)

f) $r(sA)=(rs)A$ (Asociativa con escalares)

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2. Multiplicación de Matrices

2.1 Motivación

¿Por Qué Multiplicar Matrices?

La multiplicación de matrices surge naturalmente al componer transformaciones lineales. Si $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ y $S(\mathbf{x})=B\mathbf{x}$, entonces:

$(S\circ T)(\mathbf{x})=S(T(\mathbf{x}))=S(A\mathbf{x})=B(A\mathbf{x})$

Queremos una matriz $C$ tal que $B(A\mathbf{x})=C\mathbf{x}$. Esta matriz es el producto $BA$.

2.2 Definición del Producto

Definición - Producto de Matrices

Si $A$ es una matriz $m\times n$ y $B$ es una matriz $n\times p$ con columnas ${\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,\dots ,{\mathbf{b}}_p$, entonces el producto $AB$ es la matriz $m\times p$ cuyas columnas son $A{\mathbf{b}}_1,A{\mathbf{b}}_2,\dots ,A{\mathbf{b}}_p$:

$AB=A[{\mathbf{b}}_1{\mathbf{b}}_2\cdots {\mathbf{b}}_p]=[A{\mathbf{b}}_{1}A{\mathbf{b}}_2\cdots A{\mathbf{b}}_p]$

Condición de compatibilidad: El número de columnas de $A$ debe ser igual al número de filas de $B$.

2.3 Regla Fila-Columna

Regla Práctica

Para Calcular $(AB{)}_{ij}$

Si el producto $AB$ está definido, entonces la entrada en la fila $i$ y columna $j$ de $AB$ es:

$(AB{)}_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{in}{b}_{nj}$

Es decir, es el producto punto de la fila $i$ de $A$ con la columna $j$ de $B$.

2.4 Ejemplos Desarrollados

Ejemplo 3 - Producto de Matrices

Calcular $AB$ donde:

$A=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& -5\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}4& 3& 6\\ 1& -2& 3\end{array}\right]$

Solución:

Usando la definición por columnas, escribimos $B=[{\mathbf{b}}_1{\mathbf{b}}_2{\mathbf{b}}_3]$:

$A{\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& -5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}11\\ -1\end{array}\right]$

$A{\mathbf{b}}_2=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& -5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 13\end{array}\right]$

$A{\mathbf{b}}_3=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& -5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}21\\ -9\end{array}\right]$

Por tanto: $AB=[A{\mathbf{b}}_{1}A{\mathbf{b}}_{2}A{\mathbf{b}}_3]=\left[\begin{array}{ccc}11& 0& 21\\ -1& 13& -9\end{array}\right]$

Ejemplo 4 - Usando la Regla Fila-Columna

Para el mismo producto, calculemos la entrada $(AB{)}_{12}$ (fila 1, columna 2):

$(AB{)}_{12}=[23]\cdot \left[\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right]=2(3)+3(-2)=6-6=0$ ✓

2.5 Observación Importante sobre Columnas

Propiedad de las Columnas del Producto

Cada columna de $AB$ es una combinación lineal de las columnas de $A$, usando como pesos las entradas de la columna correspondiente de $B$.

Esto significa que: $\text{Col}(AB)\subseteq \text{Col}(A)$

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3. Propiedades de la Multiplicación de Matrices

3.1 Teorema de Propiedades

Teorema 2 - Propiedades del Producto Matricial

Sea $A$ una matriz $m\times n$, y sean $B$ y $C$ matrices con tamaños apropiados para que los productos estén definidos. Sean $r$ un escalar. Entonces:

a) $A(BC)=(AB)C$ (Asociativa)

b) $A(B+C)=AB+AC$ (Distributiva por la izquierda)

c) $(B+C)A=BA+CA$ (Distributiva por la derecha)

d) $r(AB)=(rA)B=A(rB)$

e) $I_{m}A=A=A{I}_n$ (Identidad multiplicativa)

3.2 Advertencias Importantes

¡La Multiplicación NO es Conmutativa!

En general, $AB\ne BA$, incluso cuando ambos productos están definidos.

Ejemplo: $A=\left[\begin{array}{cc}5& 1\\ 3& -2\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 4& 3\end{array}\right]$

$AB=\left[\begin{array}{cc}14& 3\\ -2& -6\end{array}\right],BA=\left[\begin{array}{cc}10& 2\\ 29& -2\end{array}\right]$

Claramente $AB\ne BA$.

Leyes de Cancelación NO se Cumplen

• Si $AB=AC$, NO podemos concluir que $B=C$
• Si $AB=O$ (matriz cero), NO podemos concluir que $A=O$ o $B=O$

Ejemplo de divisores de cero: $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$

¡Ninguna de las matrices es cero, pero su producto sí lo es!

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4. Potencias de una Matriz

4.1 Definición

Definición - Potencia de una Matriz

Si $A$ es una matriz cuadrada $n\times n$ y $k$ es un entero positivo, entonces $A^k$ denota el producto de $k$ copias de $A$:

$A^k=\underset{k\text{ veces}}{\underbrace{A\cdot A\cdot \cdots \cdot A}}$

Por convención, $A^0=I_n$ (la matriz identidad).

4.2 Propiedades

Reglas para Potencias

Si $A$ es cuadrada y $r$, $s$ son enteros no negativos:

• $A^r{A}^s=A^{r+s}$
• $(A^r{)}^s=A^{rs}$

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5. La Transpuesta de una Matriz

5.1 Definición

Definición - Transpuesta

Dada una matriz $A$ de $m\times n$, la transpuesta de $A$, denotada $A^T$, es la matriz $n\times m$ cuyas columnas son las filas de $A$.

Equivalentemente: $(A^T{)}_{ij}=a_{ji}$

5.2 Ejemplos

Ejemplo 5 - Transposición

$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]⟹A^T=\left[\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right]$

$B=\left[\begin{array}{cc}-5& 2\\ 1& -3\\ 0& 4\end{array}\right]⟹B^T=\left[\begin{array}{ccc}-5& 1& 0\\ 2& -3& 4\end{array}\right]$

$C=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ -3& 5& -2& 7\end{array}\right]⟹C^T=\left[\begin{array}{cc}1& -3\\ 1& 5\\ 1& -2\\ 1& 7\end{array}\right]$

5.3 Propiedades de la Transpuesta

Teorema 3 - Propiedades de la Transpuesta

Sean $A$ y $B$ matrices con tamaños apropiados, y sea $r$ un escalar. Entonces:

a) $(A^T{)}^T=A$

b) $(A+B{)}^T=A^T+B^T$

c) $(rA{)}^T=r{A}^T$

d) $(AB{)}^T=B^T{A}^T$ ⚠️ ¡El orden se invierte!

Orden en la Transpuesta de un Producto

La transpuesta de un producto es el producto de las transpuestas en orden inverso: $(AB{)}^T=B^T{A}^T\ne A^T{B}^T$

Esta propiedad se generaliza: $(ABC{)}^T=C^T{B}^T{A}^T$

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6. Matrices Especiales

6.1 Matriz Identidad

Definición - Matriz Identidad

La matriz identidad $I_n$ es la matriz cuadrada $n\times n$ con unos en la diagonal principal y ceros en todas las demás entradas:

$I_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

Propiedad: Para cualquier matriz $A$ de tamaño apropiado: $I_{m}A=A=A{I}_n$

6.2 Matriz Cero

Definición - Matriz Cero

La matriz cero $O$ es la matriz con todas sus entradas iguales a cero.

Propiedad: $A+O=A$ para cualquier matriz $A$

6.3 Matriz Diagonal

Definición - Matriz Diagonal

Una matriz cuadrada $D$ es diagonal si todas sus entradas fuera de la diagonal principal son cero:

$D=\left[\begin{array}{ccc}{d}_1& 0& 0\\ 0& d_2& 0\\ 0& 0& d_3\end{array}\right]$

Notación: A veces se escribe $D=\text{diag}(d_1,d_2,\dots ,d_n)$

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Asumir que la multiplicación es conmutativa

• Incorrecto: $AB=BA$ siempre
• Correcto: En general $AB\ne BA$. Solo en casos especiales son iguales.

Error 2: Aplicar leyes de cancelación

• Incorrecto: Si $AB=AC$ entonces $B=C$
• Correcto: No se puede cancelar en general. Se necesita que $A$ sea invertible.

Error 3: Transponer un producto incorrectamente

• Incorrecto: $(AB{)}^T=A^T{B}^T$
• Correcto: $(AB{)}^T=B^T{A}^T$ (orden inverso)

Error 4: Sumar matrices de diferentes tamaños

• Incorrecto: Intentar sumar una matriz $2\times 3$ con una $3\times 2$
• Correcto: Solo se pueden sumar matrices del mismo tamaño

Error 5: Confundir condiciones para multiplicar

• Incorrecto: Multiplicar una matriz $2\times 3$ por una $2\times 4$
• Correcto: Para $AB$, el número de columnas de $A$ debe igualar el número de filas de $B$

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicios Básicos

Problemas Fundamentales

1. Operaciones básicas: Dadas las matrices: $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

   Calcule: a) $A+B$ b) $3A-2B$ c) $AB$ d) $BA$ e) $AC$ y $CA$

2. Transpuesta: Para $A=\left[\begin{array}{ccc}1& -3& 2\\ 0& 5& -1\end{array}\right]$, calcule:

   a) $A^T$ b) $(A^T{)}^T$ c) $(2A{)}^T$

3. Verificar compatibilidad: Determine cuáles de los siguientes productos están definidos:

   • $A$ es $3\times 2$, $B$ es $2\times 4$: ¿Está definido $AB$? ¿Y $BA$?
   • $C$ es $4\times 1$, $D$ es $1\times 4$: ¿Está definido $CD$? ¿Y $DC$?

Ejercicios Intermedios

Práctica de Conceptos

4. Propiedades: Verifique que $(AB{)}^T=B^T{A}^T$ para: $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

5. Potencias: Si $A=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$, calcule $A^2$, $A^3$ y $A^n$ (patrón general).

6. Divisores de cero: Encuentre matrices $A$ y $B$ no nulas tales que $AB=O$ (matriz cero).

7. No conmutatividad: Encuentre matrices $2\times 2$ tales que $AB\ne BA$.

Ejercicios Avanzados

Problemas Conceptuales

8. Demostración: Demuestre que si $A$ es simétrica ($A=A^T$), entonces $A^2$ también es simétrica.

9. Producto por bloques: Si $A=\left[\begin{array}{cc}B& O\\ O& C\end{array}\right]$ donde $B$ y $C$ son matrices cuadradas y $O$ es la matriz cero, encuentre $A^2$.

10. Trazas: La traza de una matriz cuadrada es la suma de sus elementos diagonales. Demuestre que $\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$.

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos Fundamentales

1. Suma de matrices: Solo definida para matrices del mismo tamaño
2. Producto $AB$: Número de columnas de $A$ = número de filas de $B$
3. Regla fila-columna: $(AB{)}_{ij}$ = producto punto de fila $i$ de $A$ con columna $j$ de $B$
4. NO conmutativa: $AB\ne BA$ en general
5. Transpuesta de producto: $(AB{)}^T=B^T{A}^T$ (orden inverso)
6. Matriz identidad: $IA=A=AI$
7. Potencias: $A^k$ solo para matrices cuadradas
8. Divisores de cero: Existen matrices no nulas con producto cero

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo sumar matrices del mismo tamaño
• Sé calcular múltiplos escalares de matrices
• Comprendo cuándo está definido el producto de dos matrices
• Puedo calcular productos matriciales usando la regla fila-columna
• Entiendo por qué la multiplicación NO es conmutativa
• Sé calcular la transpuesta de una matriz
• Puedo aplicar $(AB{)}^T=B^T{A}^T$ correctamente
• Reconozco las matrices especiales (identidad, cero, diagonal)
• Comprendo las propiedades algebraicas del álgebra matricial

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🔗 Conexiones con Otros Temas

Vínculos Conceptuales

Próximas clases:

• 16) Matriz Inversa: Matriz inversa (resolver $AB=I$)
• 17) Matrices Elementales: Matrices elementales (operaciones de fila como productos)
• 18) Definicion del Determinante: Determinantes (función del producto)

Conceptos relacionados:

• Espacio-Vectorial - Estructura algebraica
• Algebra-Lineal - Operaciones lineales

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 2.1, págs. 92-99

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Próxima Clase

En la Clase 16, estudiaremos la matriz inversa, una de las herramientas más importantes del álgebra lineal. Aprenderemos cuándo una matriz tiene inversa y cómo esta se relaciona con la resolución de sistemas lineales y transformaciones invertibles.