25) Sistemas de Coordenadas

Clase 25: Sistemas de Coordenadas

📚 Introducción

Esta clase introduce uno de los conceptos más potentes del álgebra lineal: los sistemas de coordenadas. Veremos cómo una base para un espacio vectorial proporciona un “sistema de referencia” que permite identificar cada vector del espacio de manera única mediante un vector de coordenadas en ${\mathbb{R}}^n$.

Objetivos de la Clase

• Comprender el concepto de vector de coordenadas respecto a una base
• Estudiar el teorema de representación única
• Entender el mapeo de coordenadas como isomorfismo
• Aplicar sistemas de coordenadas en diferentes espacios vectoriales
• Comprender cómo las bases determinan sistemas de coordenadas

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1. Motivación: Más Allá de la Base Estándar

1.1 La Base Estándar en ${\mathbb{R}}^n$

En ${\mathbb{R}}^2$, estamos acostumbrados a escribir vectores usando la base estándar:

${\mathbf{e}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{e}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$

Cualquier vector $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$ se puede escribir como:

$\mathbf{x}=x_1{\mathbf{e}}_1+x_2{\mathbf{e}}_2$

1.2 ¿Y si Usamos Otra Base?

Pregunta Motivadora

Si $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2\}$ es otra base para ${\mathbb{R}}^2$, ¿cómo expresamos un vector $\mathbf{x}$ en términos de esta nueva base?

¿Existe una forma única de escribir $\mathbf{x}$ como combinación lineal de ${\mathbf{b}}_1$ y ${\mathbf{b}}_2$?

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2. Teorema de Representación Única

2.1 El Teorema Fundamental

Teorema 1 - Teorema de Representación Única

Sea $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,\dots ,{\mathbf{b}}_n\}$ una base para un espacio vectorial $V$.

Entonces, para cada $\mathbf{x}$ en $V$, existe un conjunto único de escalares $c_1,c_2,\dots ,c_n$ tales que:

$\mathbf{x}=c_1{\mathbf{b}}_1+c_2{\mathbf{b}}_2+\cdots +c_n{\mathbf{b}}_n$

Demostración

Existencia: Puesto que $\mathcal{B}$ genera a $V$, existe al menos una forma de escribir $\mathbf{x}$ como combinación lineal de los vectores de $\mathcal{B}$.

Unicidad: Supongamos que $\mathbf{x}$ también se puede escribir como:

$\mathbf{x}=d_1{\mathbf{b}}_1+d_2{\mathbf{b}}_2+\cdots +d_n{\mathbf{b}}_n$

Restando ambas ecuaciones:

$0=(c_1-d_1){\mathbf{b}}_1+(c_2-d_2){\mathbf{b}}_2+\cdots +(c_n-d_n){\mathbf{b}}_n$

Puesto que $\mathcal{B}$ es linealmente independiente, los pesos deben ser cero:

$c_i-d_i=0\text{ para todo }i=1,2,\dots ,n$

Por tanto, $c_i=d_i$ para todo $i$.

2.2 Implicaciones del Teorema

Consecuencia Importante

Este teorema nos dice que una base proporciona un sistema de referencia para el espacio vectorial. Los escalares $c_1,\dots ,c_n$ actúan como “coordenadas” que identifican de manera única a $\mathbf{x}$.

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3. Vector de Coordenadas

3.1 Definición Formal

Definición - Vector de Coordenadas

Sea $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n\}$ una base para un espacio vectorial $V$.

Si $\mathbf{x}=c_1{\mathbf{b}}_1+\cdots +c_n{\mathbf{b}}_n$, entonces las coordenadas de $\mathbf{x}$ respecto a la base $\mathcal{B}$ (o las $\mathcal{B}$-coordenadas de $\mathbf{x}$) son $c_1,\dots ,c_n$.

El vector de coordenadas de $\mathbf{x}$ respecto a $\mathcal{B}$ es:

$[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right]$

3.2 Notación y Convenciones

Observaciones sobre Notación

• El vector de coordenadas $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$ siempre es un vector en ${\mathbb{R}}^n$, sin importar cuál sea el espacio $V$

• El orden de los vectores en $\mathcal{B}$ es importante: diferentes ordenamientos darían diferentes vectores de coordenadas

• Cuando $\mathcal{B}$ es la base estándar de ${\mathbb{R}}^n$, entonces $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}=\mathbf{x}$

3.3 Ejemplos Fundamentales

Ejemplo 1 - Coordenadas en \mathbb{R}^2

Problema: Considere la base $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2\}$ para ${\mathbb{R}}^2$, donde

${\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{b}}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$

Supongamos que una $\mathbf{x}$ en ${\mathbb{R}}^2$ tiene el vector de coordenadas $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}-2\\ 3\end{array}\right]$. Determine $\mathbf{x}$.

Solución:

Las coordenadas de $\mathbf{x}$ nos dicen cómo construir $\mathbf{x}$ a partir de los vectores en $\mathcal{B}$:

$\mathbf{x}=(-2){\mathbf{b}}_1+3{\mathbf{b}}_2=-2\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+3\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-2\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}3\\ 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 6\end{array}\right]$

Por tanto, $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}1\\ 6\end{array}\right]$.

Ejemplo 2 - Encontrando el Vector de Coordenadas

Problema: Las entradas en el vector $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}1\\ 6\end{array}\right]$ son las coordenadas de $\mathbf{x}$ respecto de la base estándar $\mathcal{E}=\{{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2\}$.

Encuentre el vector de coordenadas de $\mathbf{x}$ respecto de la base $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2\}$ donde

${\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{b}}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$

Solución:

Si $\mathbf{x}$ está en ${\mathbb{R}}^2$, entonces la siguiente ecuación vectorial es consistente:

$c_1\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 6\end{array}\right]$

Los escalares $c_1,c_2$, si existen, son las $\mathcal{B}$-coordenadas de $\mathbf{x}$. Usando operaciones de fila, se obtiene:

$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 2& 6\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}1& 0& -2\\ 0& 1& 3\end{array}\right]$

Así, $c_1=-2$ y $c_2=3$, y

$[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}-2\\ 3\end{array}\right]$

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4. El Mapeo de Coordenadas

4.1 Definición del Mapeo

Definición - Mapeo de Coordenadas

Sea $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n\}$ una base para un espacio vectorial $V$.

El mapeo de coordenadas (determinado por $\mathcal{B}$) es la función

$\mathbf{x}\mapsto [\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$

que asocia a cada $\mathbf{x}$ en $V$ su vector de coordenadas $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$ en ${\mathbb{R}}^n$.

4.2 Propiedades del Mapeo de Coordenadas

Teorema 2 - El Mapeo de Coordenadas es una Transformación Lineal

Sea $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n\}$ una base para un espacio vectorial $V$.

El mapeo de coordenadas $\mathbf{x}\mapsto [\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$ es una transformación lineal uno a uno de $V$ en ${\mathbb{R}}^n$.

Demostración

Linealidad: Tome dos vectores típicos $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ en $V$, por ejemplo,

$\mathbf{u}=c_1{\mathbf{b}}_1+\cdots +c_n{\mathbf{b}}_n$ $\mathbf{v}=d_1{\mathbf{b}}_1+\cdots +d_n{\mathbf{b}}_n$

Luego, utilizando las operaciones de vectores,

$\mathbf{u}+\mathbf{v}=(c_1+d_1){\mathbf{b}}_1+\cdots +(c_n+d_n){\mathbf{b}}_n$

De esta forma,

$[\mathbf{u}+\mathbf{v}{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}{c}_1+d_1\\ ⋮\\ c_n+d_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{d}_1\\ ⋮\\ d_n\end{array}\right]=[\mathbf{u}{]}_{\mathcal{B}}+[\mathbf{v}{]}_{\mathcal{B}}$

Por lo tanto, el mapeo de coordenadas conserva la adición.

Si $r$ es un escalar cualquiera, entonces

$r\mathbf{u}=r(c_1{\mathbf{b}}_1+\cdots +c_n{\mathbf{b}}_n)=(r{c}_1){\mathbf{b}}_1+\cdots +(r{c}_n){\mathbf{b}}_n$

De esta forma,

$[r\mathbf{u}{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}r{c}_1\\ ⋮\\ r{c}_n\end{array}\right]=r\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right]=r[\mathbf{u}{]}_{\mathcal{B}}$

Así, el mapeo de coordenadas también conserva la multiplicación escalar, y por consiguiente, es una transformación lineal.

Uno a uno: El teorema de representación única garantiza que el mapeo es uno a uno.

4.3 Isomorfismo

Teorema 3 - El Mapeo de Coordenadas es un Isomorfismo

Sea $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n\}$ una base para un espacio vectorial $V$.

Entonces, el mapeo de coordenadas $\mathbf{x}\mapsto [\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$ es una transformación lineal uno a uno de $V$ en ${\mathbb{R}}^n$ que mapea $V$ sobre ${\mathbb{R}}^n$.

Definición - Isomorfismo

Una transformación lineal uno a uno $T$ de un espacio vectorial $V$ sobre un espacio vectorial $W$ se denomina isomorfismo de $V$ en $W$.

El espacio $V$ se dice que es isomorfo a $W$.

Interpretación

Dos espacios son isomorfos si tienen exactamente la misma estructura algebraica. La única diferencia puede estar en la forma en que se “ven” o se denotan sus elementos.

El mapeo de coordenadas muestra que cada espacio vectorial de dimensión $n$ es isomorfo a ${\mathbb{R}}^n$.

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5. Ejemplos en Espacios Vectoriales Generales

5.1 El Espacio de Polinomios ${\mathbb{P}}_3$

Ejemplo 3 - Coordenadas en \mathbb{P}_3

Problema: Sea $\mathcal{B}=\{1,t,t^2,t^3\}$ la base estándar del espacio ${\mathbb{P}}_3$ de polinomios de grado 3 o menos.

Un polinomio típico $p(t)=a_0+a_{1}t+a_2{t}^2+a_3{t}^3$ se identifica con su vector de coordenadas

$[p{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]$

a) Encuentre $[p{]}_{\mathcal{B}}$ para $p(t)=6+3t-t^2+5t^3$

b) Si $[q{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\\ 2\end{array}\right]$, encuentre $q(t)$

Solución:

a) Por inspección, $[p{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}6\\ 3\\ -1\\ 5\end{array}\right]$

b) $q(t)=1(1)+(-1)(t)+0(t^2)+2(t^3)=1-t+2t^3$

5.2 Una Base No Estándar para ${\mathbb{P}}_2$

Ejemplo 4 - Base No Estándar

Problema: Sean $p_1(t)=1$, $p_2(t)=t-1$, $p_3(t)=(t-1{)}^2$.

Entonces $\mathcal{B}=\{p_1,p_2,p_3\}$ es una base para ${\mathbb{P}}_2$.

Encuentre el vector de coordenadas de $p(t)=3-7t+2t^2$ respecto a $\mathcal{B}$.

Solución:

Debemos encontrar $c_1,c_2,c_3$ tales que:

$p(t)=c_1{p}_1(t)+c_2{p}_2(t)+c_3{p}_3(t)$

Es decir:

$3-7t+2t^2=c_1(1)+c_2(t-1)+c_3(t-1{)}^2$

Expandiendo el lado derecho:

$3-7t+2t^2=c_1+c_2(t-1)+c_3(t^2-2t+1)$ $=c_1+c_{2}t-c_2+c_3{t}^2-2c_{3}t+c_3$ $=(c_1-c_2+c_3)+(c_2-2c_3)t+c_3{t}^2$

Igualando coeficientes:

$\{\begin{array}{l}{c}_1-c_2+c_3=3\\ c_2-2c_3=-7\\ c_3=2\end{array}$

Resolviendo: $c_3=2$, $c_2=-7+2(2)=-3$, $c_1=3+c_2-c_3=3-3-2=-2$

Por tanto:

$[p{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 2\end{array}\right]$

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6. Una Interpretación Gráfica de Coordenadas

6.1 Sistema de Coordenadas en un Plano $H$ en ${\mathbb{R}}^3$

Si elegimos una base diferente para ${\mathbb{R}}^2$, el sistema de coordenadas asociado también se borra y se reemplaza por una malla especialmente adaptada a la base.

Ejemplo 5 - Visualización Gráfica

Sean

${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}3\\ 12\\ 7\end{array}\right]$

y $\mathcal{B}=\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2\}$. Entonces $\mathcal{B}$ es una base para $H=$ Gen$\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2\}$.

Determine si $\mathbf{x}$ está en $H$ y, si lo está, encuentre el vector de coordenadas de $\mathbf{x}$ respecto de $\mathcal{B}$.

Solución:

Si $\mathbf{x}$ está en $H$, entonces la siguiente ecuación vectorial es consistente:

$c_1\left[\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 12\\ 7\end{array}\right]$

Los escalares $c_1,c_2$, si existen, son las $\mathcal{B}$-coordenadas de $\mathbf{x}$. Usando operaciones de fila, se obtiene:

$\left[\begin{array}{ccc}3& -1& 3\\ 6& 0& 12\\ 2& 1& 7\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

Así, $c_1=2$ y $c_2=3$, y

$[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]$

El sistema de coordenadas en $H$ determinado por $\mathcal{B}$ se muestra en la figura.

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7. Coordenadas en ${\mathbb{R}}^n$

7.1 Procedimiento General

Cuando una base $\mathcal{B}$ para ${\mathbb{R}}^n$ está fija, el vector de coordenadas $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$ de una $\mathbf{x}$ dada es fácil de determinar, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6 - Coordenadas en \mathbb{R}^4

Problema: Sean

${\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right],{\mathbf{b}}_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}4\\ 5\end{array}\right]$

y $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2\}$. Determine el vector de coordenadas $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$ de $\mathbf{x}$ respecto de $\mathcal{B}$.

Solución:

Las coordenadas $c_1,c_2$ de $\mathbf{x}$ satisfacen

$c_1\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ 5\end{array}\right]$

o

$\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ 5\end{array}\right]$

Esta ecuación se puede resolver mediante operaciones de fila en una matriz ampliada o utilizando la inversa de la matriz a la izquierda. En cualquier caso, la solución es $c_1=3$, $c_2=2$. Por lo tanto,

$[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right]$

7.2 Matriz de Cambio de Coordenadas

La matriz en la ecuación del ejemplo 6 cambia las coordenadas de $\mathbf{x}$ en las coordenadas estándar.

$\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right]=\mathbf{x}$

o equivalentemente,

$P_{\mathcal{B}}[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}=\mathbf{x}$

La matriz en la ecuación (3) cambia las coordenadas $\mathcal{B}$ de un vector $\mathbf{x}$ en las coordenadas estándar para $\mathbf{x}$. Al multiplicar por la izquierda por $P_{\mathcal{B}}^{-1}$ se convierte a $\mathbf{x}$ en su vector de coordenadas $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$:

$P_{\mathcal{B}}^{-1}\mathbf{x}=[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$

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8. Aplicaciones y Propiedades

8.1 Unicidad del Sistema de Coordenadas

Propiedad Fundamental

Para una base fija $\mathcal{B}$, el mapeo de coordenadas establece una correspondencia uno a uno entre todos los vectores en $V$ y todos los vectores de coordenadas en ${\mathbb{R}}^n$.

8.2 Preservación de Operaciones

Operaciones en Coordenadas

Sean $\mathbf{u},\mathbf{v}\in V$ y $c$ un escalar. Entonces:

1. $[\mathbf{u}+\mathbf{v}{]}_{\mathcal{B}}=[\mathbf{u}{]}_{\mathcal{B}}+[\mathbf{v}{]}_{\mathcal{B}}$

2. $[c\mathbf{u}{]}_{\mathcal{B}}=c[\mathbf{u}{]}_{\mathcal{B}}$

Esto significa que podemos trabajar con vectores de coordenadas en ${\mathbb{R}}^n$ en lugar de los vectores originales en $V$.

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🚨 Conceptos Clave para Recordar

Ideas Centrales

1. Teorema de Representación Única: Cada vector en $V$ se expresa de manera única como combinación lineal de los vectores en una base $\mathcal{B}$

2. Vector de Coordenadas: $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$ contiene los pesos de la combinación lineal que produce $\mathbf{x}$

3. Mapeo de Coordenadas: Es una transformación lineal uno a uno de $V$ en ${\mathbb{R}}^n$

4. Isomorfismo: El mapeo de coordenadas muestra que todo espacio de dimensión $n$ es isomorfo a ${\mathbb{R}}^n$

5. Sistema de Coordenadas: Una base proporciona un “sistema de referencia” para todo el espacio vectorial

6. Operaciones preservadas: Las operaciones vectoriales en $V$ se corresponden con operaciones en ${\mathbb{R}}^n$

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📝 Ejercicios y Problemas

Ejercicios Básicos

Ejercicios de Práctica

1. Cálculo de coordenadas: Sea $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2\}$ donde

   ${\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{c}3\\ -5\end{array}\right],{\mathbf{b}}_2=\left[\begin{array}{c}-4\\ 6\end{array}\right]$

   Encuentre $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$ para $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right]$

2. De coordenadas a vector: Si $[\mathbf{p}{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right]$ para la base estándar de ${\mathbb{P}}_2$, encuentre $p(t)$

3. Verificación: Verifique que $\mathcal{B}=\{1+t,1-t,t^2\}$ es una base para ${\mathbb{P}}_2$

Ejercicios Intermedios

Problemas de Aplicación

4. Base no estándar: Sea $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,{\mathbf{b}}_3\}$ donde

   ${\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ -3\end{array}\right],{\mathbf{b}}_2=\left[\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 9\end{array}\right],{\mathbf{b}}_3=\left[\begin{array}{c}2\\ -2\\ -4\end{array}\right]$

   a) Muestre que $\mathcal{B}$ es una base para ${\mathbb{R}}^3$
   b) Encuentre $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$ para $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}-4\\ 7\\ 11\end{array}\right]$

5. Coordenadas en polinomios: Para $\mathcal{B}=\{1,t-1,(t-1{)}^2\}$ base de ${\mathbb{P}}_2$, encuentre $[p{]}_{\mathcal{B}}$ para $p(t)=1+3t-2t^2$

6. Isomorfismo: Demuestre que el mapeo de coordenadas de ${\mathbb{P}}_2$ a ${\mathbb{R}}^3$ es sobreyectivo

Ejercicios Avanzados

Problemas Conceptuales

7. Construcción de bases: Sea $V$ el subespacio de ${\mathbb{R}}^4$ generado por

   ${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

   Encuentre una base $\mathcal{B}$ para $V$ y exprese $\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ 2\\ 3\end{array}\right]$ en coordenadas $\mathcal{B}$

8. Espacios isomorfos: Sean $V=\text{Gen}\{1,{\cos }^{2}t,{\sin }^{2}t\}$ y $W={\mathbb{R}}^2$. ¿Son $V$ y $W$ isomorfos? Justifique su respuesta.

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🎯 Preparación para la Próxima Clase

Lo que Viene

En las próximas clases, estudiaremos el cambio de base y las matrices de cambio de coordenadas, que nos permitirán transformar vectores de coordenadas de una base a otra.

Temas clave:

• Matriz de cambio de base de $\mathcal{B}$ a $\mathcal{C}$
• Composición de cambios de base
• Aplicaciones en transformaciones lineales

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🏷️ Tags

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 4.4, págs. 216-222

Lectura Complementaria

• Strang, G. Introducción al Álgebra Lineal. Capítulo 3
• Poole, D. Álgebra lineal: Una introducción moderna. Sección 6.3

Temas Relacionados

• Clase 23 - Conjuntos linealmente independientes; bases
• Clase 24 - Espacios nulos y espacios columna
• Teorema-Representacion-Unica - Fundamento de coordenadas
• Isomorfismo - Espacios con la misma estructura

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