26) Dimension de un Espacio Vectorial

Clase 26: Dimensión de un Espacio Vectorial

📚 Introducción

Esta clase introduce el concepto fundamental de dimensión de un espacio vectorial. El teorema 8 de la sección anterior implica que un espacio vectorial $V$ con una base $\mathcal{B}$ que contiene $n$ vectores es isomorfo a ${\mathbb{R}}^n$. En esta sección veremos que este número $n$ es una propiedad intrínseca del espacio $V$ que no depende de la elección particular de la base. El análisis de la dimensión le ayudará a comprender mejor las propiedades de las bases.

Objetivos de la Clase

• Comprender que todas las bases tienen el mismo número de vectores
• Definir formalmente la dimensión de un espacio vectorial
• Estudiar las dimensiones de subespacios de un espacio finito
• Aplicar el concepto a Nul A y Col A
• Entender el Teorema base y sus aplicaciones

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1. Unicidad del Número de Vectores en una Base

1.1 Resultado Fundamental

El primer teorema generaliza un resultado bien conocido acerca del espacio vectorial ${\mathbb{R}}^n$.

Teorema 9 - Tamaño de Bases

Si un espacio vectorial $V$ tiene una base $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n\}$, entonces cualquier conjunto en $V$ que contenga más de $n$ vectores debe ser linealmente dependiente.

1.2 Demostración del Teorema

Demostración

Sea $\{{\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{u}}_p\}$ un conjunto de $V$ con más de $n$ vectores. Los vectores de coordenadas $[{\mathbf{u}}_1{]}_{\mathcal{B}},\dots ,[{\mathbf{u}}_p{]}_{\mathcal{B}}$ forman un conjunto linealmente dependiente en ${\mathbb{R}}^n$, porque hay más vectores $(p)$ que entradas $(n)$ en cada vector.

Por lo tanto, existen escalares $c_1,\dots ,c_p$, no todos cero, tales que

$c_1[{\mathbf{u}}_1{]}_{\mathcal{B}}+\cdots +c_p[{\mathbf{u}}_p{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right]\text{El vector cero en }{\mathbb{R}}^n$

Como el mapeo de coordenadas es una transformación lineal,

$[c_1{\mathbf{u}}_1+\cdots +c_p{\mathbf{u}}_p{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right]$

El vector cero de la derecha muestra los $n$ pesos necesarios para construir el vector $c_1{\mathbf{u}}_1+\cdots +c_p{\mathbf{u}}_p$ de los vectores básicos en $\mathcal{B}$. Es decir,

$c_1{\mathbf{u}}_1+\cdots +c_p{\mathbf{u}}_p=0\cdot {\mathbf{b}}_1+\cdots +0\cdot {\mathbf{b}}_n=0$

Puesto que no todas las $c_i$ son cero, $\{{\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{u}}_p\}$ es linealmente dependiente.

1.3 Consecuencia Inmediata

Corolario

El Teorema 9 implica que si un espacio vectorial $V$ tiene una base $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n\}$, entonces cada conjunto linealmente independiente ubicado en $V$ no tiene más de $n$ vectores.

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2. Todas las Bases Tienen el Mismo Tamaño

2.1 Teorema Central

Teorema 10 - Unicidad del Tamaño de Base

Si un espacio vectorial $V$ tiene una base de $n$ vectores, entonces toda base de $V$ debe consistir exactamente en $n$ vectores.

2.2 Demostración del Teorema

Demostración

Sea ${\mathcal{B}}_1$ una base de $n$ vectores y ${\mathcal{B}}_2$ cualquier otra base (de $V$). Ya que ${\mathcal{B}}_1$ es una base y ${\mathcal{B}}_2$ es linealmente independiente, ${\mathcal{B}}_2$ no tiene más de $n$ vectores, de acuerdo con el Teorema 9.

Además, puesto que ${\mathcal{B}}_2$ es una base y ${\mathcal{B}}_1$ es linealmente independiente, ${\mathcal{B}}_2$ tiene al menos $n$ vectores.

Así, ${\mathcal{B}}_2$ se compone de exactamente $n$ vectores.

2.3 Implicación para Conjuntos Generadores

Si un espacio vectorial $V$ distinto de cero es generado por un conjunto finito $S$, entonces un subconjunto de $S$ es una base para $V$, de acuerdo con el teorema del conjunto generador. En este caso, el Teorema 10 asegura que la siguiente definición tiene sentido.

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3. Definición de Dimensión

3.1 Definición Formal

Definición - Dimensión

Si $V$ es generado por un conjunto finito, entonces $V$ se dice que tiene dimensión finita, y la dimensión de $V$, representada como dim $V$, es el número de vectores en una base para $V$.

La dimensión del espacio vectorial cero $\{0\}$ se define como cero. Si $V$ no es generado por un conjunto finito, entonces se dice que $V$ tiene dimensión infinita.

3.2 Ejemplos de Dimensiones

Ejemplo 1 - Dimensiones de Espacios Comunes

La base estándar para ${\mathbb{R}}^n$ contiene $n$ vectores, por lo que dim ${\mathbb{R}}^n=n$.

La base polinomial estándar $\{1,t,t^2\}$ indica que dim ${\mathcal{P}}_2=3$. En general, dim ${\mathcal{P}}_n=n+1$.

El espacio $\mathcal{P}$ de todos los polinomios es de dimensión infinita (ejercicio 27).

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4. Ejemplo de Cálculo de Dimensión

4.1 Encontrar Dimensión de un Subespacio

Ejemplo 2 - Dimensión de un Plano

Sea ${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right]$, ${\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$, y $\mathcal{B}=\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2\}$. Entonces $\mathcal{B}$ es una base para $H=\text{Gen}\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2\}$. Determine si x se encuentra en $H$ y, si lo está, encuentre el vector de coordenadas de x respecto de $\mathcal{B}$.

El plano estudiado en el ejemplo 7 de la sección 4.3. Una base para $H$ es $\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2\}$, ya que ${\mathbf{v}}_1$ y ${\mathbf{v}}_2$ no son múltiplos y, por consiguiente, son linealmente independientes. Por lo tanto, dim $H=2$.

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5. Subespacios de Espacios de Dimensión Finita

5.1 Clasificación por Dimensiones

Ejemplo 3 - Clasificación de Subespacios de \mathbb{R}^3

Los subespacios de ${\mathbb{R}}^3$ se pueden clasificar por dimensiones. Véase la figura 1.

Subespacios de dimensión 0: Solo el subespacio cero.

Subespacios de dimensión 1: Cualquier subespacio generado por un solo vector distinto de cero. Tales subespacios son rectas que pasan por el origen.

Subespacios de dimensión 2: Cualquier subespacio generado por dos vectores linealmente independientes. Tales subespacios son planos que pasan por el origen.

Subespacios de dimensión 3: Solo el propio ${\mathbb{R}}^3$. Cualesquiera tres vectores linealmente independientes en ${\mathbb{R}}^3$ generan todo ${\mathbb{R}}^3$, de acuerdo con el teorema de la matriz invertible.

5.2 Ilustración Visual

┌─────────────────┐  ┌─────────────────┐  ┌─────────────────┐
│    0-dim        │  │    1-dim        │  │    2-dim        │
│                 │  │                 │  │                 │
│       •         │  │      /          │  │    ╱────╲       │
│                 │  │     /           │  │   ╱      ╲      │
│                 │  │    /            │  │  ╱        ╲     │
└─────────────────┘  └─────────────────┘  └─────────────────┘
    Solo {0}           Rectas por          Planos por
                       el origen           el origen

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6. Subespacios de un Espacio de Dimensión Finita

6.1 Teorema de Subespacios

El siguiente teorema es una contraparte natural del teorema del conjunto generador.

Teorema 11 - Dimensión de Subespacios

Sea $H$ un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita $V$. Cualquier conjunto linealmente independiente en $H$ se puede expandir, si es necesario, a una base de $H$. Además, $H$ tiene dimensión finita y

$\text{dim }H\le \text{dim }V$

6.2 Demostración del Teorema

Demostración

Si $H=\{0\}$, entonces, sin duda, dim $H=0\le$ dim $V$. De lo contrario, sea $S=\{{\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{u}}_k\}$ cualquier conjunto linealmente independiente en $H$. Si $S$ genera a $H$, entonces $S$ es una base de $H$. De lo contrario, existe algún ${\mathbf{u}}_{k+1}$ en $H$ que no está en el generado por $S$. Pero entonces $\{{\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{u}}_k,{\mathbf{u}}_{k+1}\}$ será linealmente independiente, ya que ningún vector en el conjunto puede ser una combinación lineal de los vectores que le preceden (de acuerdo con el Teorema 4).

En tanto que el nuevo conjunto no genere a $H$, podemos continuar con este proceso de expansión de $S$ a un conjunto más amplio linealmente independiente en $H$. Sin embargo, el número de vectores en una expansión linealmente independiente de $S$ nunca podrá superar la dimensión de $V$, de acuerdo con el Teorema 9. Así, finalmente la expansión de $S$ generará a $H$ y, por lo tanto, será una base para $H$, y dim $H\le$ dim $V$.

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7. Teorema Base

7.1 Criterios para Bases

Cuando se conoce la dimensión de un espacio o subespacio vectorial, la búsqueda de una base se simplifica con el siguiente teorema, el cual dice que si un conjunto tiene el número correcto de elementos, entonces solo se tiene que demostrar ya sea que el conjunto es linealmente independiente o que este genera el espacio.

Teorema 12 - El Teorema Base

Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión $p$, donde $p\ge 1$. Cualquier conjunto linealmente independiente de exactamente $p$ elementos en $V$ es, de forma automática, una base para $V$. Cualquier conjunto de exactamente $p$ elementos que genera a $V$ es, de manera automática, una base para $V$.

7.2 Demostración del Teorema

Demostración

De acuerdo con el Teorema 11, un conjunto linealmente independiente $S$ de $p$ elementos se puede ampliar a una base para $V$. Sin embargo, esa base debe contener exactamente $p$ elementos, ya que dim $V=p$. Así que $S$ debe ser ya una base para $V$.

Ahora suponga que $S$ tiene $p$ elementos y genera a $V$. Puesto que $V$ es diferente de cero, el teorema del conjunto generador implica que un subconjunto $S^{\prime }$ de $S$ es una base de $V$. Como dim $V=p$, $S^{\prime }$ debe contener $p$ vectores. Por lo tanto, $S^{\prime }=S$.

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8. Las Dimensiones de Nul A y Col A

8.1 Relación con Variables Libres y Columnas Pivote

Como las columnas pivote de una matriz $A$ forman una base para Col $A$, conocemos la dimensión de Col $A$ tan pronto como se conocen las columnas pivote. Tal vez parezca que la dimensión de Nul $A$ requiere de más trabajo, ya que encontrar una base para Nul $A$, por lo general, toma más tiempo que una base para Col $A$. Pero, ¡hay un atajo!

Método Rápido

Sea $A$ una matriz de $m\times n$, y supongamos que la ecuación $A\mathbf{x}=0$ tiene $k$ variables libres. De la sección 4.2, sabemos que el método estándar para encontrar un conjunto generador para Nul $A$ producirá exactamente $k$ vectores linealmente independientes, por ejemplo, ${\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{u}}_k$, uno para cada variable libre. Por lo tanto, $\{{\mathbf{u}}_1,\dots ,{\mathbf{u}}_k\}$ es una base para Nul $A$, y el número de variables libres determina el tamaño de la base.

8.2 Resumen de Dimensiones

Dimensiones de Nul A y Col A

La dimensión de Nul $A$ es el número de variables libres en la ecuación $A\mathbf{x}=0$, y

la dimensión de Col $A$ es el número de columnas pivote de $A$.

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9. Ejemplo de Cálculo de Dimensiones

9.1 Ejemplo Completo

Ejemplo 4 - Determinación de Dimensiones

Determine las dimensiones del espacio nulo y el espacio columna de

$A=\left[\begin{array}{ccccc}-3& 6& -1& 1& -7\\ 1& -2& 2& 3& -1\\ 2& -4& 5& 8& -4\end{array}\right]$

Solución: Reduzca por filas la matriz aumentada $[A\mid 0]$ a la forma escalonada:

$\left[\begin{array}{cccccc}1& -2& 2& 3& -1& 0\\ 0& 0& 1& 2& -2& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Hay tres variables libres: $x_2$, $x_4$ y $x_5$. Por consiguiente, la dimensión de Nul $A$ es 3. Por otra parte, dim Col $A=2$ porque $A$ tiene dos columnas pivote.

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🚨 Conceptos Clave para Recordar

Ideas Centrales

1. Unicidad del tamaño: Todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de vectores
2. Dimensión: Es el número de vectores en cualquier base del espacio
3. Dimensión de subespacios: dim $H\le$ dim $V$ si $H$ es subespacio de $V$
4. Teorema base: Un conjunto con el número correcto de elementos es base si es LI o si genera
5. dim Nul $A$: Igual al número de variables libres
6. dim Col $A$: Igual al número de columnas pivote
7. Clasificación: Los subespacios se pueden clasificar por su dimensión

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicios Básicos

Ejercicios Fundamentales

Determine si cada enunciado es verdadero o falso, y dé una razón para cada respuesta. Aquí, $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita diferente de cero.

1. Si dim $V=p$, y si $S$ es un subconjunto linealmente dependiente de $V$, entonces $S$ contiene más que $p$ vectores.

2. Si $S$ genera a $V$ y si $T$ es un subconjunto de $V$ que contiene más vectores que $S$, entonces $T$ es linealmente dependiente.

Ejercicios Intermedios

Problemas de Aplicación

3. El conjunto $\mathcal{B}=\{1+t,1+t^2,t+t^2\}$ es una base para ${\mathcal{P}}_2$. Encuentre el vector de coordenadas de $p(t)=6+3t+t^2$ en relación con $\mathcal{B}$.

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Comprendo por qué todas las bases tienen el mismo número de vectores
• Puedo calcular la dimensión de cualquier espacio o subespacio
• Entiendo la relación entre dim Nul $A$ y variables libres
• Sé que dim Col $A$ es el número de columnas pivote
• Puedo aplicar el Teorema base para verificar bases
• Reconozco cómo clasificar subespacios por dimensión
• Comprendo la relación dim $H\le$ dim $V$

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🔗 Conexiones con Otros Temas

Vínculos Conceptuales

Clase anterior:

• 25) Sistemas de Coordenadas - Mapeo de coordenadas e isomorfismos

Clases anteriores relacionadas:

• 23_Espacios_Nulos_y_Columnas - Nul A y Col A
• 24_Conjuntos_Generadores_y_Bases - Definición de base

Próximas clases:

• Aplicaciones de dimensión a transformaciones lineales
• Rango y nulidad

Conceptos relacionados:

• Base - Conjunto LI que genera
• Dimension - Número de vectores en una base
• Rango - Dimensión del espacio columna

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 4.5, págs. 225-228

Conceptos Importantes

• El concepto de dimensión es fundamental en álgebra lineal
• La dimensión caracteriza completamente la “tamaño” de un espacio vectorial
• Permite comparar y clasificar espacios vectoriales

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Próximas Clases

En las siguientes clases, aplicaremos el concepto de dimensión para estudiar el rango de una matriz y su relación con transformaciones lineales, y exploraremos el Teorema del Rango que conecta las dimensiones de Nul $A$ y Col $A$.

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