25) Sistemas de Coordenadas

Clase 25: Sistemas de Coordenadas

📚 Introducción

Esta clase formaliza el concepto de sistemas de coordenadas en espacios vectoriales arbitrarios. Después de haber trabajado con la base estándar en ${\mathbb{R}}^n$, ahora estudiaremos cómo cualquier base genera un sistema de coordenadas único, y cómo esto permite crear isomorfismos entre espacios vectoriales de la misma dimensión.

Objetivos de la Clase

• Comprender el Teorema de la Representación Única
• Definir coordenadas respecto a una base arbitraria
• Estudiar el mapeo de coordenadas y sus propiedades
• Introducir isomorfismos entre espacios vectoriales
• Aplicar cambios de base y coordenadas

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1. Teorema de la Representación Única

1.1 Resultado Fundamental

Teorema 7 - Representación Única

Sea $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n\}$ una base para un espacio vectorial $V$. Así, para cada x en $V$, existe un conjunto único de escalares $c_1,\dots ,c_n$ tal que

$\mathbf{x}=c_1{\mathbf{b}}_1+\cdots +c_n{\mathbf{b}}_n$

1.2 Demostración del Teorema

Demostración

Existencia: Puesto que $\mathcal{B}$ genera a $V$, existen escalares tales que la ecuación (1) es válida.

Unicidad: Suponga que x también tiene la representación $\mathbf{x}=d_1{\mathbf{b}}_1+\cdots +d_n{\mathbf{b}}_n$

para escalares $d_1,\dots ,d_n$. Así, al restar, se tiene: $0=\mathbf{x}-\mathbf{x}=(c_1-d_1){\mathbf{b}}_1+\cdots +(c_n-d_n){\mathbf{b}}_n$

Puesto que $\mathcal{B}$ es linealmente independiente, los pesos en la ecuación deben ser cero. Es decir, $c_j=d_j$ para $1\le j\le n$.

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2. Coordenadas Respecto a una Base

2.1 Definición Formal

Definición - Coordenadas

Suponga que $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n\}$ es una base para $V$ y que x está en $V$. Las coordenadas de x respecto a la base $\mathcal{B}$ (o las $\mathcal{B}$-coordenadas de x) son los pesos $c_1,\dots ,c_n$ tales que

$\mathbf{x}=c_1{\mathbf{b}}_1+\cdots +c_n{\mathbf{b}}_n$

2.2 Vector de Coordenadas

Si $c_1,\dots ,c_n$ son las $\mathcal{B}$-coordenadas de x, entonces el vector en ${\mathbb{R}}^n$

$[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right]$

es el vector de coordenadas de x (respecto a $\mathcal{B}$), o el vector de $\mathcal{B}$-coordenadas de x.

Observación Clave

El mapeo $\mathbf{x}\mapsto [\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$ es el mapeo de coordenadas determinado por $\mathcal{B}$.

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3. Ejemplos de Coordenadas

3.1 Ejemplo Básico en ${\mathbb{R}}^2$

Ejemplo 1 - Coordenadas en el Plano

Considere una base $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2\}$ para ${\mathbb{R}}^2$, donde

${\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\text{y}{\mathbf{b}}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$

Supongamos que una x en ${\mathbb{R}}^2$ tiene el vector de coordenadas $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}-2\\ 3\end{array}\right]$. Determine x.

Solución: Las coordenadas de x nos dicen cómo construir x a partir de los vectores en $\mathcal{B}$. Es decir,

$\mathbf{x}=(-2){\mathbf{b}}_1+3{\mathbf{b}}_2=(-2)\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+3\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 6\end{array}\right]$

3.2 Ejemplo con Base Estándar

Ejemplo 2 - Base Estándar

Las entradas en el vector $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right]$ son las coordenadas de x respecto de la base estándar $\mathcal{E}=\{{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2\}$, ya que

$\left[\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right]=1\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]+5\cdot \left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]=1\cdot {\mathbf{e}}_1+5\cdot {\mathbf{e}}_2$

Si $\mathcal{E}=\{{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2\}$, entonces $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{E}}=\mathbf{x}$.

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4. Interpretación Gráfica de Coordenadas

4.1 Sistema de Coordenadas en el Plano

Un sistema de coordenadas en un conjunto se compone de un mapeo uno a uno de los puntos en el conjunto dentro de ${\mathbb{R}}^n$.

Visualización

Por ejemplo, el papel común para gráficas proporciona un sistema de coordenadas del plano cuando se seleccionan ejes perpendiculares y una unidad de medida en cada eje.

La Figura 1 muestra la base estándar $\{{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2\}$, los vectores b₁, b₂ del ejemplo 1, y del vector $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}1\\ 5\end{array}\right]$.

Las coordenadas 1 y 5 dan la ubicación de x respecto de la base estándar: 1 unidad en la dirección e₁ y 5 unidades en la dirección e₂.

La Figura 2 muestra los vectores b₁, b₂ y x de la figura 1. El sistema de coordenadas estándar se borró y se reemplazó por una malla especialmente adaptada a la base $\mathcal{B}$ del ejemplo 1. El vector de coordenadas $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}-2\\ 3\end{array}\right]$ da la ubicación de x en este nuevo sistema de coordenadas: –2 unidades en la dirección b₁ y 3 unidades en la dirección b₂.

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5. Coordenadas en ${\mathbb{R}}^n$

5.1 Cálculo de Coordenadas

Cuando una base $\mathcal{B}$ para ${\mathbb{R}}^n$ está fija, el vector de coordenadas $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$ de una x dada es fácil de determinar.

Ejemplo 3 - Encontrar Coordenadas

Sean ${\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$, ${\mathbf{b}}_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$ y $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2\}$. Determine el vector de coordenadas $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$ de x respecto de $\mathcal{B}$.

Solución: Las coordenadas $\mathcal{B}$ de $c_1,c_2$ de x satisfacen

$c_1\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ 5\end{array}\right]$

o

$\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ 5\end{array}\right]$

Esta ecuación se puede resolver mediante operaciones de fila en una matriz aumentada o utilizando la inversa de la matriz a la izquierda. En cualquier caso, la solución es $c_1=3$, $c_2=2$. Por lo tanto,

$[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right]$

5.2 Método General

Véase la figura 3. La matriz en la ecuación se cambia las coordenadas $\mathcal{B}$ de un vector x en las coordenadas estándar para x. Es posible realizar un cambio análogo de coordenadas en ${\mathbb{R}}^n$ para una base $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n\}$. Sea

$P_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{b}}_1& {\mathbf{b}}_2& \cdots & {\mathbf{b}}_n\end{array}\right]$

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6. Matriz de Cambio de Coordenadas

6.1 Ecuación de Cambio de Coordenadas

Entonces la ecuación vectorial

$\mathbf{x}=c_1{\mathbf{b}}_1+c_2{\mathbf{b}}_2+\cdots +c_n{\mathbf{b}}_n$

es equivalente a

$\mathbf{x}=P_{\mathcal{B}}[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}(4)$

Definición - Matriz de Cambio de Coordenadas

Se llama $P_{\mathcal{B}}$ a la matriz de cambio de coordenadas de $\mathcal{B}$ a la base estándar en ${\mathbb{R}}^n$. Multiplicando por la izquierda a $P_{\mathcal{B}}$ se transforma el vector de coordenadas $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$ en x.

6.2 Propiedades de la Matriz de Cambio

Teorema - Propiedades de P_{\mathcal{B}}

Puesto que las columnas de $P_{\mathcal{B}}$ forman una base para ${\mathbb{R}}^n$, $P_{\mathcal{B}}$ es invertible (por el teorema de la matriz invertible). Al multiplicar por la izquierda por $P_{\mathcal{B}}^{-1}$ se convierte a x en su vector de coordenadas $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$:

$P_{\mathcal{B}}^{-1}\mathbf{x}=[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$

Interpretación

La correspondencia $\mathbf{x}\mapsto [\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$, producida aquí por $P_{\mathcal{B}}^{-1}$, es el mapeo de coordenadas mencionado anteriormente.

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7. El Mapeo de Coordenadas

7.1 Como Transformación Lineal

La elección de una base $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n\}$ de un espacio vectorial $V$ introduce un sistema de coordenadas en $V$. El mapeo de coordenadas $\mathbf{x}\mapsto [\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$ conecta al espacio $V$, posiblemente desconocido, con el conocido espacio ${\mathbb{R}}^n$.

Teorema 8 - El Mapeo de Coordenadas

Sea $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n\}$ una base para un espacio vectorial $V$. Así, el mapeo de coordenadas

$\mathbf{x}\mapsto [\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$

es una transformación lineal uno a uno de $V$ en ${\mathbb{R}}^n$.

7.2 Demostración del Teorema

Demostración

Tome dos vectores típicos en $V$, por ejemplo,

$\mathbf{u}=c_1{\mathbf{b}}_1+\cdots +c_n{\mathbf{b}}_n$ $\mathbf{w}=d_1{\mathbf{b}}_1+\cdots +d_n{\mathbf{b}}_n$

Luego, utilizando las operaciones de vectores,

$\mathbf{u}+\mathbf{w}=(c_1-d_1){\mathbf{b}}_1+\cdots +(c_n-d_n){\mathbf{b}}_n$

De ello se sigue que

$[\mathbf{u}+\mathbf{w}{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}{c}_1+d_1\\ ⋮\\ c_n+d_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{d}_1\\ ⋮\\ d_n\end{array}\right]=[\mathbf{u}{]}_{\mathcal{B}}+[\mathbf{w}{]}_{\mathcal{B}}$

Por lo tanto, el mapeo de coordenadas conserva la adición. Si $r$ es un escalar cualquiera, entonces

$r\mathbf{u}=r(c_1{\mathbf{b}}_1+\cdots +c_n{\mathbf{b}}_n)=(r{c}_1){\mathbf{b}}_1+\cdots +(r{c}_n){\mathbf{b}}_n$

De esta forma,

$[r\mathbf{u}{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}r{c}_1\\ ⋮\\ r{c}_n\end{array}\right]=r\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right]=r[\mathbf{u}{]}_{\mathcal{B}}$

Así, el mapeo de coordenadas también conserva la multiplicación escalar, y por consiguiente, es una transformación lineal.

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8. Isomorfismos de Espacios Vectoriales

8.1 Definición de Isomorfismo

El mapeo de coordenadas en el teorema 8 es un importante ejemplo de un isomorfismo de $V$ en ${\mathbb{R}}^n$.

Definición - Isomorfismo

En general, una transformación lineal uno a uno de un espacio vectorial $V$ en un espacio vectorial $W$ se llama isomorfismo de $V$ en $W$ (el término proviene de los vocablos griegos iso, que significa “lo mismo”, y morfé, que significa “forma” o “estructura”).

La notación y la terminología para $V$ y $W$ pueden diferir, pero los dos espacios son indistinguibles como espacios vectoriales.

8.2 Propiedades de Isomorfismos

Consecuencias

Cada cálculo de espacio vectorial en $V$ se reproduce con exactitud en $W$, y viceversa. En particular, cualquier espacio vectorial real con una base de $n$ vectores es indistinguible de ${\mathbb{R}}^n$.

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9. Ejemplo: Espacio de Polinomios

9.1 Polinomios como Vectores

Ejemplo 4 - Isomorfismo de \mathcal{P}_3

Sea $\mathcal{B}$ la base estándar del espacio ${\mathcal{P}}_3$ de polinomios; es decir, sea $\mathcal{B}=\{1,t,t^2,t^3\}$. Un elemento típico $p$ de ${\mathcal{P}}_3$ tiene la forma

$p(t)=a_0+a_{1}t+a_2{t}^2+a_3{t}^3$

Puesto que $p$ ya se ha desplegado como una combinación lineal de los vectores básicos estándar, concluimos que

$[p{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]$

Así, el mapeo de coordenadas $p\mapsto [p{]}_{\mathcal{B}}$ es un isomorfismo de ${\mathcal{P}}_3$ sobre ${\mathbb{R}}^4$. Todas las operaciones de espacio vectorial en ${\mathcal{P}}_3$ corresponden a operaciones en ${\mathbb{R}}^4$.

9.2 Aplicación a Dependencia Lineal

Ejemplo 5 - Uso de Coordenadas

Utilice vectores de coordenadas para comprobar que los polinomios $1+2t^2$, $4+t+5t^2$, y $3+2t$ son linealmente dependientes en ${\mathcal{P}}_2$.

Solución: El mapeo de coordenadas del ejemplo 4 produce los vectores de coordenadas

$(1,0,2),(4,1,5)\text{ y }(3,2,0)$

respectivamente. Al representar estos vectores como las columnas de una matriz $A$, podemos determinar su independencia mediante reducción por filas de la matriz aumentada de $\mathbf{x}=0$:

$\left[\begin{array}{cccc}1& 4& 3& 0\\ 0& 1& 2& 0\\ 2& 5& 0& 0\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cccc}1& 4& 3& 0\\ 0& 1& 2& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Las columnas de $A$ son linealmente dependientes, por lo que los polinomios correspondientes son linealmente dependientes. De hecho, es fácil comprobar que la columna 3 de $A$ es la columna 2 multiplicada por 2, menos la columna 1 multiplicada por 5. La relación correspondiente de los polinomios es

$3+2t=2(4+t+5t^2)-5(1+2t^2)$

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10. Ejemplo: Plano en ${\mathbb{R}}^3$

10.1 Isomorfismo con ${\mathbb{R}}^2$

El último ejemplo se refiere a un plano en ${\mathbb{R}}^3$ que es isomorfo a ${\mathbb{R}}^2$.

Ejemplo 6 - Plano como Espacio Bidimensional

Sea

${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}3\\ 12\\ 7\end{array}\right]$

y $\mathcal{B}=\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2\}$. Entonces $\mathcal{B}$ es una base para $H=\text{Gen}\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2\}$. Determine si x se encuentra en $H$ y, si lo está, encuentre el vector de coordenadas de x respecto de $\mathcal{B}$.

Solución: Si x está en $H$, entonces la siguiente ecuación vectorial es consistente:

$c_1\left[\begin{array}{c}3\\ 6\\ 2\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 12\\ 7\end{array}\right]$

Los escalares $c_1$ y $c_2$, si existen, son las coordenadas $\mathcal{B}$ de x. Usando operaciones de fila, se obtiene

$\left[\begin{array}{ccc}3& -1& 3\\ 6& 0& 12\\ 2& 1& 7\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

Así, $c_1=2$, $c_2=3$ y $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]$. El sistema de coordenadas en $H$ determinados por $\mathcal{B}$ se muestra en la figura 7.

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🚨 Conceptos Clave para Recordar

Ideas Centrales

1. Teorema de representación única: Cada vector en $V$ tiene una expresión única como combinación lineal de los vectores de una base
2. Vector de coordenadas: $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$ contiene los pesos únicos en la representación de x
3. Mapeo de coordenadas: Es una transformación lineal uno a uno de $V$ en ${\mathbb{R}}^n$
4. Matriz de cambio de coordenadas: $P_{\mathcal{B}}$ convierte coordenadas $\mathcal{B}$ en coordenadas estándar
5. Isomorfismo: Una transformación lineal uno a uno entre espacios vectoriales
6. Espacios isomorfos: Son indistinguibles como espacios vectoriales

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicios Básicos

Ejercicios Fundamentales

1. Sea ${\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{c}-3\\ 5\end{array}\right]$, ${\mathbf{b}}_2=\left[\begin{array}{c}-4\\ 6\end{array}\right]$, $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right]$.

   a) Demuestre que el conjunto $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2\}$ es una base de ${\mathbb{R}}^2$. b) Encuentre la matriz de cambio de las coordenadas de $\mathcal{B}$ a la base estándar. c) Escriba la ecuación que relaciona x en ${\mathbb{R}}^2$ con $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$. d) Encuentre $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$, para la x dada anteriormente.

2. El conjunto $\mathcal{B}=\{1+t,1+t^2,t+t^2\}$ es una base para ${\mathcal{P}}_2$. Encuentre el vector de coordenadas de $p(t)=6+3t+t^2$ en relación con $\mathcal{B}$.

Ejercicios Intermedios

Problemas de Aplicación

3. En los ejercicios 5 a 8, encuentre el vector de coordenadas $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$ de x respecto de la base $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n\}$.

4. ${\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]$, ${\mathbf{b}}_2=\left[\begin{array}{c}3\\ -5\end{array}\right]$, $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$

5. ${\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -4\end{array}\right]$, ${\mathbf{b}}_2=\left[\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right]$, $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}-1\\ -6\end{array}\right]$

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Comprendo el Teorema de la Representación Única
• Puedo calcular vectores de coordenadas respecto a cualquier base
• Entiendo el concepto de mapeo de coordenadas
• Sé construir y usar la matriz de cambio de coordenadas
• Comprendo qué es un isomorfismo entre espacios vectoriales
• Puedo aplicar coordenadas a espacios como ${\mathcal{P}}_n$
• Reconozco cuándo dos espacios vectoriales son isomorfos

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🔗 Conexiones con Otros Temas

Vínculos Conceptuales

Clases anteriores:

• 22_Espacios_y_Subespacios_Vectoriales - Definición de espacios vectoriales
• 23_Espacios_Nulos_y_Columnas - Bases de subespacios
• 24_Conjuntos_Generadores_y_Bases - Concepto de base

Próxima clase:

• Clase 26: Dimensión de un espacio vectorial

Conceptos relacionados:

• Base - Conjunto linealmente independiente que genera
• Transformacion-Lineal - Mapeo de coordenadas
• Matriz-Invertible - Matriz de cambio de coordenadas

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 4.4, págs. 216-222

Observaciones del Instructor

• No es necesario ver matriz de cambio de coordenadas a la base estándar y enfocarse en el general de las clases posteriores.

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Próxima Clase

En la Clase 26, estudiaremos la dimensión de un espacio vectorial, un concepto fundamental que no depende de la elección particular de la base y que caracteriza completamente al espacio vectorial.