30) Ecuacion Caracteristica

Clase 30: La Ecuación Característica

📚 Introducción

Esta clase desarrolla uno de los conceptos más importantes del álgebra lineal: la ecuación característica. A través de ella, podemos determinar los valores propios de una matriz sin necesidad de resolver sistemas de ecuaciones lineales directamente. Además, estudiaremos la similitud entre matrices y aplicaremos estos conceptos a sistemas dinámicos.

Objetivos de la Clase

• Comprender y aplicar la ecuación característica para determinar valores propios
• Entender el concepto de similitud entre matrices
• Relacionar valores propios con propiedades de las matrices
• Aplicar estos conceptos a sistemas dinámicos discretos

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1. Repaso: Valores y Vectores Propios

1.1 Definiciones Fundamentales

Recordatorio - Valor y Vector Propio

Un escalar λ es un valor propio de una matriz $A$ de $n\times n$ si existe un vector no nulo v tal que:

$Av=\lambda v$

El vector v es llamado vector propio correspondiente a λ.

1.2 Reformulación del Problema

La ecuación $Av=\lambda v$ puede reescribirse como:

$Av=\lambda v\Rightarrow Av=\lambda Iv\Rightarrow Av-\lambda Iv=0$

$\Rightarrow (A-\lambda I)v=0$

Observación Clave

λ es un valor propio de $A$ si y solo si la ecuación $(A-\lambda I)x=0$ tiene una solución no trivial.

Por el Teorema de la Matriz Invertible, esto ocurre si y solo si la matriz $(A-\lambda I)$ no es invertible.

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2. La Ecuación Característica

2.1 Definición

Definición - Ecuación Característica

Un escalar λ es un valor propio de una matriz $A$ de $n\times n$ si y solo si λ satisface la ecuación característica:

$\det (A-\lambda I)=0$

2.2 El Polinomio Característico

Teorema - Polinomio Característico

Si $A$ es una matriz de $n\times n$, entonces $\det (A-\lambda I)$ es un polinomio de grado $n$ llamado polinomio característico de $A$.

Los valores propios de $A$ son exactamente las raíces del polinomio característico.

2.3 Ejemplo Básico

Ejemplo 1 - Determinando Valores Propios

Determine los valores propios de $A=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 3& -6\end{array}\right]$

Solución:

Formamos $A-\lambda I$ y utilizamos el teorema:

$A-\lambda I=\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 3& -6\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \lambda \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2-\lambda & 3\\ 3& -6-\lambda \end{array}\right]$

La ecuación característica es:

$\det (A-\lambda I)=\det \left[\begin{array}{cc}2-\lambda & 3\\ 3& -6-\lambda \end{array}\right]=0$

Recordando que $\det \left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=ad-bc$:

$(2-\lambda )(-6-\lambda )-(3)(3)=0$ $-12-2\lambda +6\lambda +{\lambda }^2-9=0$ ${\lambda }^2+4\lambda -21=0$ $(\lambda -3)(\lambda +7)=0$

Por lo tanto, los valores propios son λ = 3 y λ = -7.

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3. Cálculo del Polinomio Característico

3.1 Matrices de 2×2

Para matrices de $2\times 2$, el cálculo es directo:

Fórmula para 2×2

Si $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$, entonces:

$\det (A-\lambda I)=(a-\lambda )(d-\lambda )-bc={\lambda }^2-(a+d)\lambda +(ad-bc)$

Es decir: ${\lambda }^2-\text{traza}(A)\cdot \lambda +\det (A)=0$

3.2 Matrices de 3×3

Ejemplo 2 - Matriz 3×3

Calcule el polinomio característico de:

$A=\left[\begin{array}{cccc}5& -2& 6& -1\\ 0& 3& -8& 0\\ 0& 0& 5& 4\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

Solución:

Como $A$ es triangular superior, podemos utilizar operaciones de fila o la propiedad de que el determinante de una matriz triangular es el producto de sus elementos diagonales:

$\det (A-\lambda I)=\det \left[\begin{array}{cccc}5-\lambda & -2& 6& -1\\ 0& 3-\lambda & -8& 0\\ 0& 0& 5-\lambda & 4\\ 0& 0& 0& 1-\lambda \end{array}\right]$

Por ser triangular:

$\det (A-\lambda I)=(5-\lambda )(3-\lambda )(5-\lambda )(1-\lambda )$ $=(5-\lambda {)}^2(3-\lambda )(1-\lambda )$

Los valores propios son: 5 (con multiplicidad 2), 3 y 1.

3.3 Multiplicidad Algebraica

Definición - Multiplicidad Algebraica

La multiplicidad algebraica de un valor propio λ es su multiplicidad como raíz del polinomio característico.

En el Ejemplo 2, λ = 5 tiene multiplicidad algebraica 2.

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4. Propiedades del Polinomio Característico

4.1 Relación con Determinantes

Teorema - Propiedades

Sea $A$ una matriz de $n\times n$ con valores propios ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ (contando multiplicidades):

a) El producto de los valores propios es igual al determinante: ${\lambda }_1\cdot {\lambda }_2\cdot \dots \cdot {\lambda }_n=\det (A)$

b) La suma de los valores propios es igual a la traza: ${\lambda }_1+{\lambda }_2+\dots +{\lambda }_n=\text{tr}(A)$

donde $\text{tr}(A)$ es la traza de $A$ (suma de elementos diagonales).

4.2 Invertibilidad

Conexión con Invertibilidad

$A$ es invertible si y solo si 0 no es un valor propio de $A$.

Demostración: $A$ es invertible ⟺ $\det (A)\ne 0$ ⟺ el producto de valores propios $\ne 0$ ⟺ ningún valor propio es 0.

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5. Similitud de Matrices

5.1 Definición de Similitud

Definición - Matrices Similares

Las matrices $A$ y $B$ de $n\times n$ son similares si existe una matriz invertible $P$ tal que:

$A=PB{P}^{-1}$

O equivalentemente: $P^{-1}AP=B$

Escribimos $A\sim B$ y decimos que $P^{-1}AP$ es una transformación de similitud.

5.2 Propiedades de la Similitud

Teorema - Similitud Preserva Valores Propios

Si $A$ y $B$ son matrices similares de $n\times n$, entonces tienen:

• El mismo polinomio característico
• Los mismos valores propios (con las mismas multiplicidades)

Demostración

Si $B=P^{-1}AP$, entonces:

$\det (B-\lambda I)=\det (P^{-1}AP-\lambda I)$ $=\det (P^{-1}AP-P^{-1}(\lambda I)P)$ $=\det (P^{-1}(A-\lambda I)P)$ $=\det (P^{-1})\cdot \det (A-\lambda I)\cdot \det (P)$ $=\det (P^{-1}P)\cdot \det (A-\lambda I)$ $=\det (I)\cdot \det (A-\lambda I)=\det (A-\lambda I)$

5.3 Advertencias sobre Similitud

Error Común - Similitud vs Equivalencia por Filas

Incorrecto: Pensar que similitud es lo mismo que equivalencia por filas

Correcto:

• Si $A$ es equivalente por filas a $B$, entonces $B=EA$ para alguna matriz $E$ invertible
• En general, las operaciones con filas cambian los valores propios
• Similitud preserva valores propios; equivalencia por filas NO

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6. Aplicación a Sistemas Dinámicos

6.1 Sistemas Dinámicos Discretos

Definición - Sistema Dinámico Discreto

Un sistema dinámico discreto es una secuencia de vectores de estado ${\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,\dots$ donde:

${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k(k=0,1,2,\dots )$

para alguna matriz $A$ de $n\times n$ y un vector inicial ${\mathbf{x}}_0$.

6.2 Solución Usando Valores Propios

Teorema - Evolución del Sistema

Si $A$ tiene valores propios ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ con vectores propios correspondientes ${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n$ que forman una base de ${\mathbb{R}}^n$, entonces:

${\mathbf{x}}_k=c_1{\lambda }_1^k{\mathbf{v}}_1+c_2{\lambda }_2^k{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_n{\lambda }_n^k{\mathbf{v}}_n$

donde los $c_i$ se determinan por el estado inicial ${\mathbf{x}}_0$.

6.3 Ejemplo Completo

Ejemplo 3 - Sistema Dinámico

Sea $A=\left[\begin{array}{cc}0.95& 0.03\\ 0.05& 0.97\end{array}\right]$ que describe la migración entre ciudad y suburbios. Analice el comportamiento a largo plazo del sistema dinámico ${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k$ con ${\mathbf{x}}_0=\left[\begin{array}{c}0.6\\ 0.4\end{array}\right]$.

Solución:

Paso 1: Encontrar valores propios

$\det (A-\lambda I)=\det \left[\begin{array}{cc}0.95-\lambda & 0.03\\ 0.05& 0.97-\lambda \end{array}\right]$ $=(0.95-\lambda )(0.97-\lambda )-(0.03)(0.05)$ $={\lambda }^2-1.92\lambda +0.92$

Por la fórmula cuadrática: $\lambda =\frac{1.92\pm \sqrt{(1.92{)}^2-4(0.92)}}{2}=\frac{1.92\pm 0.08}{2}$

Los valores propios son: λ₁ = 1 y λ₂ = 0.92

Paso 2: Encontrar vectores propios

Para λ₁ = 1: ${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right]$

Para λ₂ = 0.92: ${\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$

Paso 3: Expresar ${\mathbf{x}}_0$ en términos de ${\mathbf{v}}_1$ y ${\mathbf{v}}_2$

${\mathbf{x}}_0=c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2$

Resolviendo: $c_1=0.125$ y $c_2=0.225$

Paso 4: Solución general

${\mathbf{x}}_k=0.125(1{)}^k\left[\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right]+0.225(0.92{)}^k\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$

Comportamiento a largo plazo:

Como $k\to \infty$, $(0.92{)}^k\to 0$, por lo tanto:

${\mathbf{x}}_k\to 0.125\left[\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0.375\\ 0.625\end{array}\right]$

Interpretación: A largo plazo, el 37.5% de la población estará en la ciudad y el 62.5% en los suburbios.

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Confundir (A - \lambda I) con A - \lambda

• Incorrecto: $A-\lambda$ (no tiene sentido restar un escalar de una matriz)
• Correcto: $A-\lambda I$ donde $I$ es la matriz identidad

Error 2: Olvidar incluir todas las multiplicidades

• Incorrecto: Decir que una matriz 3×3 tiene solo 2 valores propios cuando uno tiene multiplicidad 2
• Correcto: Una matriz $n\times n$ tiene exactamente $n$ valores propios (contando multiplicidades)

Error 3: Pensar que similitud implica igualdad

• Incorrecto: Si $A\sim B$, entonces $A=B$
• Correcto: $A$ y $B$ son similares pero pueden verse muy diferentes; solo comparten valores propios

Error 4: Usar valores propios complejos sin cuidado

• Incorrecto: Ignorar valores propios complejos en el polinomio característico
• Correcto: El polinomio característico puede tener raíces complejas; estas también son valores propios

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicios Básicos

Ejercicios Fundamentales

1. Ecuación característica: Encuentre la ecuación característica y los valores propios de:

   a) $\left[\begin{array}{cc}2& 7\\ 7& 2\end{array}\right]$

   b) $\left[\begin{array}{cc}-4& -1\\ 6& 1\end{array}\right]$

2. Verificación: Para $A=\left[\begin{array}{cc}8& 4\\ 4& 8\end{array}\right]$, verifique que:

   a) La suma de los valores propios = traza de $A$ b) El producto de los valores propios = $\det (A)$

3. Matriz triangular: Determine los valores propios de:

   $\left[\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ 4& 5& 2\end{array}\right]$

Ejercicios Intermedios

Problemas de Aplicación

4. Similitud: Sean $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right]$ y $P=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -2\end{array}\right]$. Calcule $P^{-1}AP$ y verifique que tiene los mismos valores propios que $A$.

5. Sistema dinámico: Analice el comportamiento a largo plazo del sistema ${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k$ donde:

   $A=\left[\begin{array}{cc}0.8& 0.3\\ 0.2& 0.7\end{array}\right],{\mathbf{x}}_0=\left[\begin{array}{c}100\\ 100\end{array}\right]$

6. Multiplicidad: Encuentre todos los valores de $a$ para los cuales la matriz tiene valores propios repetidos:

   $\left[\begin{array}{cc}2& a\\ a& 2\end{array}\right]$

Ejercicios Avanzados

Problemas Conceptuales

7. Demostración: Demuestre que si $A$ es invertible, entonces $\lambda$ es un valor propio de $A$ si y solo si $\frac{1}{\lambda }$ es un valor propio de $A^{-1}$.

8. Potencias: Si λ es un valor propio de $A$, demuestre que ${\lambda }^k$ es un valor propio de $A^k$ para cualquier entero positivo $k$.

9. Sistemas dinámicos: Para el sistema ${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k$, explique por qué el comportamiento a largo plazo está determinado por el valor propio con mayor valor absoluto (llamado valor propio dominante).

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos Fundamentales

1. Ecuación característica: $\det (A-\lambda I)=0$
2. Polinomio característico: Polinomio de grado $n$ cuyas raíces son los valores propios
3. Multiplicidad algebraica: Multiplicidad de λ como raíz del polinomio característico
4. Traza: $\text{tr}(A)=\sum {\lambda }_i$ (suma de valores propios)
5. Determinante: $\det (A)=\prod {\lambda }_i$ (producto de valores propios)
6. Similitud: $A\sim B$ si $A=PB{P}^{-1}$ para alguna $P$ invertible
7. Preservación: Matrices similares tienen mismos valores propios
8. Sistema dinámico: ${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k$ se resuelve usando valores/vectores propios

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo calcular la ecuación característica de matrices 2×2 y 3×3
• Entiendo la diferencia entre valor propio y multiplicidad algebraica
• Sé usar la relación entre valores propios, traza y determinante
• Comprendo qué significa que dos matrices sean similares
• Puedo verificar si dos matrices son similares
• Entiendo por qué la similitud preserva valores propios
• Sé resolver sistemas dinámicos discretos usando valores propios
• Puedo analizar el comportamiento a largo plazo de sistemas dinámicos
• Reconozco cuándo una matriz tiene valores propios complejos

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🔗 Conexiones con Otros Temas

Vínculos Conceptuales

Clases anteriores:

• Clase 29 - Definición de valor y vector propio

Próxima clase:

• Clase 31: Diagonalización de matrices

Conceptos relacionados:

• Determinante - Base para la ecuación característica
• Matriz-Invertible - Relación con valores propios no nulos
• Espacio-Propio - Complementa el estudio de valores propios

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 5.2, págs. 273-279

Ejercicios Recomendados

• Lay, Ejercicio 19, pág. 280

Lectura Complementaria

• Strang, G. Introducción al Álgebra Lineal. Capítulo 6, págs. 283-295
• Anton, H. Álgebra Lineal Elemental. Capítulo 7, págs. 395-415

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Próxima Clase

En la Clase 31, estudiaremos la diagonalización de matrices, un proceso que utiliza valores y vectores propios para simplificar matrices y facilitar cálculos como potencias de matrices.

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