31) Diagonalizacion

Clase 31: Diagonalización

📚 Introducción

La diagonalización es uno de los procesos más útiles del álgebra lineal, ya que permite transformar matrices complicadas en matrices diagonales (mucho más simples de trabajar). Esta técnica tiene aplicaciones fundamentales en el cálculo de potencias de matrices, sistemas dinámicos, ecuaciones diferenciales y muchas otras áreas.

Objetivos de la Clase

• Comprender el concepto de matriz diagonalizable
• Aprender el teorema de diagonalización y sus condiciones
• Dominar el proceso de diagonalización paso a paso
• Aplicar la diagonalización al cálculo de potencias de matrices
• Entender casos donde la diagonalización no es posible

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1. Potencias de Matrices Diagonales

1.1 Motivación

Antes de definir diagonalización, veamos por qué las matrices diagonales son tan convenientes.

Ejemplo 1 - Potencias de Matriz Diagonal

Si $D=\left[\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$, entonces:

$D^2=\left[\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{5}^2& 0\\ 0& 3^2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}25& 0\\ 0& 9\end{array}\right]$

En general:

$D^k=\left[\begin{array}{cc}{5}^k& 0\\ 0& 3^k\end{array}\right]\text{para }k\ge 1$

1.2 Propiedad General

Teorema - Potencias de Matrices Diagonales

Si $D$ es una matriz diagonal con entradas diagonales ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$, entonces:

$D^k=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1^k& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2^k& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n^k\end{array}\right]$

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2. Definición de Diagonalización

2.1 Concepto Fundamental

Definición - Matriz Diagonalizable

Una matriz $A$ de $n\times n$ es diagonalizable si es similar a una matriz diagonal $D$. Es decir, si existe una matriz invertible $P$ y una matriz diagonal $D$ tales que:

$A=PD{P}^{-1}$

Equivalentemente: $P^{-1}AP=D$

2.2 Interpretación Geométrica

Significado Geométrico

Diagonalizar $A$ significa encontrar:

• Una nueva base (las columnas de $P$) donde la transformación $A$ actúa de manera muy simple
• En esta base, $A$ simplemente escala cada vector base por un factor (los valores propios)

2.3 Ventajas de la Diagonalización

Beneficios Clave

Si $A=PD{P}^{-1}$, entonces:

1. Potencias: $A^k=P{D}^k{P}^{-1}$ (fácil de calcular)

2. Ecuaciones: Sistemas como ${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k$ se simplifican enormemente

3. Funciones: Se pueden definir funciones de matrices: $e^A$, $\sin (A)$, etc.

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3. El Teorema de Diagonalización

3.1 Teorema Principal

Teorema - Diagonalización

Una matriz $A$ de $n\times n$ es diagonalizable si y solo si $A$ tiene $n$ vectores propios linealmente independientes.

En este caso:

• Las columnas de $P$ son los $n$ vectores propios linealmente independientes
• Las entradas diagonales de $D$ son los valores propios correspondientes

3.2 Construcción Explícita

Construcción de P y D

Si ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_n$ son $n$ vectores propios linealmente independientes de $A$ con valores propios correspondientes ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$, entonces:

$P=[{\mathbf{v}}_1{\mathbf{v}}_2\cdots {\mathbf{v}}_n]$

$D=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right]$

Y se cumple: $A=PD{P}^{-1}$

3.3 Demostración (Idea Principal)

Justificación del Teorema

Supongamos que $P=[{\mathbf{v}}_1{\mathbf{v}}_2\cdots {\mathbf{v}}_n]$ con $A{\mathbf{v}}_i={\lambda }_i{\mathbf{v}}_i$.

Entonces: $AP=A[{\mathbf{v}}_1{\mathbf{v}}_2\cdots {\mathbf{v}}_n]=[A{\mathbf{v}}_{1}A{\mathbf{v}}_2\cdots A{\mathbf{v}}_n]$ $=[{\lambda }_1{\mathbf{v}}_1{\lambda }_2{\mathbf{v}}_2\cdots {\lambda }_n{\mathbf{v}}_n]$ $=[{\mathbf{v}}_1{\mathbf{v}}_2\cdots {\mathbf{v}}_n]\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right]=PD$

Como $P$ es invertible (sus columnas son linealmente independientes): $AP=PD\Rightarrow A=PD{P}^{-1}$

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4. Proceso de Diagonalización

4.1 Algoritmo Paso a Paso

Procedimiento para Diagonalizar

Para diagonalizar una matriz $A$ de $n\times n$:

Paso 1: Encuentre los valores propios de $A$

• Resuelva la ecuación característica $\det (A-\lambda I)=0$

Paso 2: Encuentre $n$ vectores propios linealmente independientes

• Para cada valor propio λ, encuentre una base del espacio propio
• Si no puede encontrar $n$ vectores l.i., entonces $A$ no es diagonalizable

Paso 3: Construya $P$ y $D$

• $P$ = matriz con los vectores propios como columnas
• $D$ = matriz diagonal con los valores propios correspondientes

Paso 4: (Opcional) Verifique que $AP=PD$ o $A=PD{P}^{-1}$

4.2 Ejemplo Completo

Ejemplo 2 - Diagonalización Completa

Diagonalice la matriz $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 3\\ -3& -5& -3\\ 3& 3& 1\end{array}\right]$

Solución:

Paso 1: Valores propios (ya calculados previamente)

$\det (A-\lambda I)=-{\lambda }^3-3{\lambda }^2+4=-(\lambda -1)(\lambda +2{)}^2$

Valores propios: λ₁ = 1 (multiplicidad 1) y λ₂ = -2 (multiplicidad 2)

Paso 2: Vectores propios

Para λ = 1: $(A-I)\mathbf{x}=0$

Resolviendo: ${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right]$

Para λ = -2: $(A+2I)\mathbf{x}=0$

Base del espacio propio: ${\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

Verificación: Tenemos 3 vectores l.i., por lo tanto $A$ es diagonalizable.

Paso 3: Formar $P$ y $D$

$P=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& -1\\ -1& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right]$

Paso 4: Verificación (opcional)

Se puede comprobar que $AP=PD$ multiplicando las matrices.

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5. Condición Suficiente para Diagonalización

5.1 Teorema de Valores Propios Distintos

Teorema - Condición Suficiente

Una matriz de $n\times n$ con $n$ valores propios distintos es diagonalizable.

5.2 Justificación

Demostración

Sean ${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p$ vectores propios correspondientes a valores propios distintos ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_p$ de una matriz $A$.

Afirmación: El conjunto $\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p\}$ es linealmente independiente.

Esto se demuestra por inducción sobre $p$ (Teorema 2, Sección 5.1).

Por lo tanto, si $A$ tiene $n$ valores propios distintos, entonces tiene $n$ vectores propios l.i., y por el Teorema de Diagonalización, $A$ es diagonalizable.

5.3 Advertencia Importante

No es Condición Necesaria

Incorrecto: Pensar que solo matrices con $n$ valores propios distintos son diagonalizables

Correcto: Matrices con valores propios repetidos pueden ser diagonalizables

Ejemplo: La matriz identidad $I_n$ tiene un solo valor propio (λ = 1 con multiplicidad $n$), pero es diagonal (¡ya está diagonalizada!).

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6. Matrices No Diagonalizables

6.1 Criterio de No Diagonalizabilidad

Cuándo NO es Diagonalizable

Una matriz $A$ de $n\times n$ NO es diagonalizable si:

• La suma de las dimensiones de los espacios propios es menor que $n$
• Equivalentemente: No se pueden encontrar $n$ vectores propios l.i.

6.2 Ejemplo de Matriz No Diagonalizable

Ejemplo 3 - Matriz No Diagonalizable

Considere $A=\left[\begin{array}{ccc}2& 4& 3\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right]$

Análisis:

Como $A$ es triangular, los valores propios son las entradas diagonales: λ₁ = 2, λ₂ = 0, λ₃ = 5

Para λ = 0: El espacio propio es unidimensional (solo un vector propio independiente)

Para λ = 2: El espacio propio es unidimensional

Para λ = 5: El espacio propio es unidimensional

Total: 3 vectores propios l.i. → $A$ es diagonalizable

Contraejemplo: $B=\left[\begin{array}{cc}5& 1\\ 0& 5\end{array}\right]$

Valor propio: λ = 5 (multiplicidad 2)

Para λ = 5: $(B-5I)=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$

El espacio propio es unidimensional: solo $\text{gen}\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\right\}$

Como solo hay 1 vector propio l.i. (necesitamos 2), $B$ NO es diagonalizable.

6.3 Multiplicidad Geométrica

Definición - Multiplicidad Geométrica

La multiplicidad geométrica de un valor propio λ es la dimensión del espacio propio correspondiente.

Para que una matriz sea diagonalizable, la multiplicidad geométrica debe igualar la multiplicidad algebraica para cada valor propio.

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7. Aplicaciones de la Diagonalización

7.1 Cálculo de Potencias

Ejemplo 4 - Cálculo de A^k

Sea $A=\left[\begin{array}{cc}7& 2\\ -4& 1\end{array}\right]$. Encuentre una fórmula para $A^k$.

Solución:

Se puede mostrar que:

$A=PD{P}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& -1\end{array}\right]$

Entonces:

$A^k=P{D}^k{P}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{5}^k& 0\\ 0& 3^k\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& -1\end{array}\right]$

Multiplicando:

$A^k=\left[\begin{array}{cc}2\cdot 5^k-3^k& 5^k-3^k\\ -2\cdot 5^k+2\cdot 3^k& -5^k+2\cdot 3^k\end{array}\right]$

7.2 Sistemas Dinámicos

Aplicación: Evolución de Sistemas

Para el sistema ${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k$ con $A=PD{P}^{-1}$:

${\mathbf{x}}_k=A^k{\mathbf{x}}_0=P{D}^k{P}^{-1}{\mathbf{x}}_0$

Esto permite:

• Calcular estados futuros eficientemente
• Analizar comportamiento a largo plazo
• Identificar estados estables

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8. Teorema para Matrices con Valores Propios Distintos

8.1 Resultado Importante

Teorema

Sea $A$ una matriz de $n\times n$ cuyos valores propios distintos son ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_p$.

a) Para $1\le k\le p$, la dimensión del espacio propio para ${\lambda }_k$ es menor o igual que la multiplicidad algebraica de ${\lambda }_k$.

b) La matriz $A$ es diagonalizable si y solo si la suma de las dimensiones de los espacios propios es igual a $n$. Esto ocurre si y solo si:

• El polinomio característico se factoriza completamente en factores lineales, y
• La dimensión del espacio propio para cada ${\lambda }_k$ es igual a la multiplicidad algebraica de ${\lambda }_k$

c) Si $A$ es diagonalizable y ${\mathcal{B}}_k$ es una base del espacio propio correspondiente a ${\lambda }_k$ para cada $k$, entonces la colección total de vectores en los conjuntos ${\mathcal{B}}_1,\dots ,{\mathcal{B}}_p$ forma una base de vectores propios para ${\mathbb{R}}^n$.

8.2 Implicaciones Prácticas

Guía para Verificar Diagonalizabilidad

Para verificar si $A$ es diagonalizable:

1. Encuentre todos los valores propios distintos
2. Para cada valor propio, encuentre la dimensión de su espacio propio
3. Sume todas las dimensiones
4. Si la suma = $n$, entonces $A$ es diagonalizable
5. Si la suma < $n$, entonces $A$ NO es diagonalizable

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Confundir multiplicidad algebraica con geométrica

• Incorrecto: Asumir que si λ tiene multiplicidad algebraica 2, hay 2 vectores propios l.i.
• Correcto: La multiplicidad geométrica puede ser menor; verificar la dimensión del espacio propio

Error 2: Orden incorrecto en P y D

• Incorrecto: Colocar valores propios en $D$ en orden diferente al de vectores en $P$
• Correcto: Si ${\mathbf{v}}_i$ es la columna $i$ de $P$, entonces ${\lambda }_i$ debe estar en la posición $(i,i)$ de $D$

Error 3: No verificar independencia lineal

• Incorrecto: Asumir que $n$ vectores propios son automáticamente l.i.
• Correcto: Vectores propios de valores propios diferentes son siempre l.i., pero vectores del mismo valor propio deben verificarse

Error 4: Pensar que toda matriz es diagonalizable

• Incorrecto: Intentar diagonalizar cualquier matriz
• Correcto: Primero verificar que hay suficientes vectores propios l.i.

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicios Básicos

Ejercicios Fundamentales

1. Verificación: Verifique que las siguientes factorizaciones son correctas:

   a) $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1/2& 1/2\\ 1/2& -1/2\end{array}\right]$

2. Diagonalización directa: Diagonalice las siguientes matrices (si es posible):

   a) $\left[\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& -3\end{array}\right]$

   b) $\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right]$

3. Potencias: Use diagonalización para calcular $A^5$ donde:

   $A=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 1& 2\end{array}\right]$

Ejercicios Intermedios

Problemas de Aplicación

4. Análisis completo: Para la matriz $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 0\\ 3& 1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right]$:

   a) Encuentre los valores propios y vectores propios b) Diagonalice $A$ c) Use la diagonalización para calcular $A^{10}$

5. Sistema dinámico: Resuelva ${\mathbf{x}}_{k+1}=A{\mathbf{x}}_k$ con ${\mathbf{x}}_0=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$ donde:

   $A=\left[\begin{array}{cc}4& -2\\ 1& 1\end{array}\right]$

   Encuentre una fórmula explícita para ${\mathbf{x}}_k$.

6. No diagonalizable: Demuestre que $A=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 3\end{array}\right]$ no es diagonalizable.

Ejercicios Avanzados

Problemas Conceptuales

7. Teorema: Demuestre que si $A$ es diagonalizable y ${\mathcal{B}}_k$ es una base para el espacio propio correspondiente a cada valor propio ${\lambda }_k$, entonces la colección de todos los vectores en ${\mathcal{B}}_1,\dots ,{\mathcal{B}}_p$ forma una base de vectores propios para ${\mathbb{R}}^n$.

8. Multiplicidades: Sea $A$ una matriz 5×5 con valores propios 2, 3, y 5. El valor propio 2 tiene multiplicidad algebraica 3. ¿Cuáles son las posibles multiplicidades geométricas para λ = 2? ¿En qué casos $A$ es diagonalizable?

9. Condición necesaria y suficiente: Explique con ejemplos por qué tener $n$ valores propios distintos es condición suficiente pero no necesaria para diagonalizabilidad.

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos Fundamentales

1. Matriz diagonalizable: $A=PD{P}^{-1}$ para alguna $P$ invertible y $D$ diagonal
2. Teorema principal: $A$ es diagonalizable ⟺ tiene $n$ vectores propios l.i.
3. Construcción: Columnas de $P$ = vectores propios; diagonal de $D$ = valores propios
4. Potencias: Si $A=PD{P}^{-1}$, entonces $A^k=P{D}^k{P}^{-1}$
5. Condición suficiente: $n$ valores propios distintos ⇒ diagonalizable
6. Multiplicidad geométrica: dim(espacio propio) ≤ multiplicidad algebraica
7. Criterio: $A$ diagonalizable ⟺ suma de dim(espacios propios) = $n$
8. No siempre posible: Algunas matrices no son diagonalizables

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Entiendo qué significa que una matriz sea diagonalizable
• Puedo determinar si una matriz es diagonalizable
• Sé encontrar la factorización $A=PD{P}^{-1}$
• Puedo calcular potencias de matrices usando diagonalización
• Comprendo la diferencia entre multiplicidad algebraica y geométrica
• Sé cuándo una matriz NO es diagonalizable
• Puedo aplicar diagonalización a sistemas dinámicos
• Entiendo por qué vectores propios de valores propios distintos son l.i.
• Reconozco la importancia del orden en $P$ y $D$

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🔗 Conexiones con Otros Temas

Vínculos Conceptuales

Clases anteriores:

• Clase 29 - Valores y vectores propios
• Clase 30 - Ecuación característica y similitud

Conceptos relacionados:

• Espacio-Propio - Base para la diagonalización
• Independencia-Lineal - Condición clave para diagonalizabilidad
• Base - Los vectores propios forman una base
• Matriz-Invertible - $P$ debe ser invertible

Aplicaciones futuras:

• Formas cuadráticas
• Ecuaciones diferenciales
• Análisis de estabilidad

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 5.3, págs. 280-287

Lectura Complementaria

• Strang, G. Introducción al Álgebra Lineal. Capítulo 6, págs. 295-310
• Anton, H. Álgebra Lineal Elemental. Capítulo 7, págs. 415-435
• Friedberg, S., Insel, A., y Spence, L. Linear Algebra. 4a ed., Sección 5.2

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Próximas Clases

En las siguientes clases, exploraremos aplicaciones adicionales de valores propios y vectores propios, incluyendo formas cuadráticas, optimización y descomposición en valores singulares (SVD).

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