14) Regla del Cociente y Derivadas Trigonométricas

Clase 14: Regla del Cociente y Derivadas Trigonométricas

📚 Introducción

Esta clase completa nuestro conjunto de reglas algebraicas de derivación al introducir la regla del cociente, que nos permite derivar el cociente de dos funciones. Además, abordaremos las derivadas de las funciones trigonométricas, herramientas fundamentales para aplicaciones en física, ingeniería y ciencias naturales. Veremos que las derivadas de las funciones trigonométricas tienen patrones elegantes y memorables.

Objetivos de la Clase

• Comprender y aplicar la regla del cociente para derivar cocientes de funciones
• Derivar las seis funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante
• Reconocer los patrones en las derivadas trigonométricas
• Aplicar estas reglas en combinación con las reglas previas

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1. Regla del Cociente

1.1 Motivación

Al igual que con el producto, la derivada de un cociente NO es el cociente de las derivadas:

$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]\ne \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

Necesitamos una regla específica para derivar cocientes.

1.2 La Regla del Cociente

Teorema - Regla del Cociente

Si $f$ y $g$ son derivables, entonces:

$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{g(x)\frac{d}{dx}[f(x)]-f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]}{[g(x){]}^2}$

En notación más compacta:

${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{g{f}^{\prime }-f{g}^{\prime }}{g^2}$

En palabras: La derivada de un cociente es el denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido entre el cuadrado del denominador.

1.3 Demostración de la Regla del Cociente

Encontramos una regla para derivar el cociente de dos funciones derivables $u=f(x)$ y $v=g(x)$ en gran parte de la misma manera que hemos encontrado la regla del producto.

Si $x$, $u$ y $v$ se incrementan por cantidades $\Delta x$, $\Delta u$ y $\Delta v$, entonces el cambio correspondiente en el cociente $u/v$ es:

$\Delta \left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u+\Delta u}{v+\Delta v}-\frac{u}{v}=\frac{(u+\Delta u)v-u(v+\Delta v)}{v(v+\Delta v)}=\frac{v\Delta u-u\Delta v}{v(v+\Delta v)}$

Por tanto:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta (u/v)}{\Delta x}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{v\frac{\Delta u}{\Delta x}-u\frac{\Delta v}{\Delta x}}{v(v+\Delta v)}$

Cuando $\Delta x\to 0$, también $\Delta v\to 0$, porque $v=g(x)$ es derivable y, por consiguiente, continua. Así, al aplicar las leyes de los límites, se obtiene:

$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v{\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta u}{\Delta x}-u{\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta v}{\Delta x}}{v{\lim }_{\Delta x\to 0}(v+\Delta v)}=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}$

1.4 Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1

Si $f(x)=\frac{\sqrt{x}g(x)}{x^2+1}$, donde $g(4)=2$ y $g^{\prime }(4)=3$, encuentre $f^{\prime }(4)$.

Solución: Aplicando la regla del cociente:

$f^{\prime }(x)=\frac{(x^2+1)\frac{d}{dx}[\sqrt{x}g(x)]-\sqrt{x}g(x)\frac{d}{dx}[x^2+1]}{(x^2+1{)}^2}$

Primero necesitamos $\frac{d}{dx}[\sqrt{x}g(x)]$ usando la regla del producto:

$\frac{d}{dx}[\sqrt{x}g(x)]=\sqrt{x}{g}^{\prime }(x)+g(x)\frac{1}{2\sqrt{x}}$

Entonces:

$f^{\prime }(4)=\frac{(4^2+1)[\sqrt{4}{g}^{\prime }(4)+g(4)\frac{1}{2\sqrt{4}}]-\sqrt{4}g(4)(2\cdot 4)}{(4^2+1{)}^2}$

$=\frac{17[2\cdot 3+2\cdot \frac{1}{4}]-2\cdot 2\cdot 8}{17^2}=\frac{17[6.5]-32}{289}=\frac{110.5-32}{289}=\frac{78.5}{289}\approx 0.27$

Ejemplo 2

Derive $y=\frac{x^2+x-2}{x^3+6}$

Solución:

$y^{\prime }=\frac{(x^3+6)\frac{d}{dx}(x^2+x-2)-(x^2+x-2)\frac{d}{dx}(x^3+6)}{(x^3+6{)}^2}$

$=\frac{(x^3+6)(2x+1)-(x^2+x-2)(3x^2)}{(x^3+6{)}^2}$

$=\frac{(2x^4+x^3+12x+6)-(3x^4+3x^3-6x^2)}{(x^3+6{)}^2}$

$=\frac{-x^4-2x^3+6x^2+12x+6}{(x^3+6{)}^2}$

Ejemplo 3

Si $f(x)=\frac{x}{x+c/x}$, encuentre $f^{\prime }(x)$.

Solución: Primero simplificamos el denominador:

$f(x)=\frac{x}{x+\frac{c}{x}}=\frac{x}{\frac{x^2+c}{x}}=\frac{x^2}{x^2+c}$

Aplicando la regla del cociente:

$f^{\prime }(x)=\frac{(x^2+c)(2x)-x^2(2x)}{(x^2+c{)}^2}=\frac{2x^3+2cx-2x^3}{(x^2+c{)}^2}=\frac{2cx}{(x^2+c{)}^2}$

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2. Derivadas de Funciones Trigonométricas

2.1 Repaso de Funciones Trigonométricas

Antes de derivar las funciones trigonométricas, recordemos que:

• Todas las funciones trigonométricas son continuas en cada número en sus dominios
• Importante: Las funciones trigonométricas deben estar en radianes para que las fórmulas de derivación sean válidas

Uso de Radianes

Las derivadas de las funciones trigonométricas que estudiaremos son válidas únicamente cuando $x$ se mide en radianes.

2.2 Derivada del Seno

Ya demostramos en la Clase 13 (sección 3.3) que:

$\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$

Interpretación: La pendiente de la curva $y=\sin x$ en cualquier punto es $\cos x$.

2.3 Derivada del Coseno

Intentemos confirmar la conjetura de que si $f(x)=\cos x$, entonces $f^{\prime }(x)=-\sin x$. A partir de la definición de derivada, tenemos:

$f^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}={\lim }_{h\to 0}\frac{\cos (x+h)-\cos x}{h}$

Usando la fórmula de adición para el coseno:

$={\lim }_{h\to 0}\frac{\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}{h}$

$={\lim }_{h\to 0}\left[\cos x\cdot \frac{\cos h-1}{h}-\sin x\cdot \frac{\sin h}{h}\right]$

$=\cos x{\lim }_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}-\sin x{\lim }_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}$

Ya sabemos que ${\lim }_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1$. El límite ${\lim }_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}$ se calculó en la Clase 13 y es igual a 0.

Por lo tanto:

$\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x$

2.4 Derivadas de las Otras Funciones Trigonométricas

Usando la regla del cociente y las derivadas de seno y coseno, podemos derivar las demás funciones trigonométricas:

Derivada de la Tangente:

$\frac{d}{dx}(\tan x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)=\frac{\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot (-\sin x)}{{\cos }^{2}x}$

$=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x$

Derivada de la Cotangente:

$\frac{d}{dx}(\cot x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)=\frac{\sin x\cdot (-\sin x)-\cos x\cdot \cos x}{{\sin }^{2}x}$

$=\frac{-{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}=\frac{-1}{{\sin }^{2}x}=-{\csc }^{2}x$

Derivada de la Secante:

$\frac{d}{dx}(\sec x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\cos x}\right)=\frac{\cos x\cdot 0-1\cdot (-\sin x)}{{\cos }^{2}x}=\frac{\sin x}{{\cos }^{2}x}=\sec x\tan x$

Derivada de la Cosecante:

$\frac{d}{dx}(\csc x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sin x}\right)=\frac{\sin x\cdot 0-1\cdot \cos x}{{\sin }^{2}x}=-\frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}=-\csc x\cot x$

2.5 Tabla de Derivadas Trigonométricas

Derivadas de las Funciones Trigonométricas

$\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$

$\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x$

$\frac{d}{dx}(\tan x)={\sec }^{2}x$

$\frac{d}{dx}(\cot x)=-{\csc }^{2}x$

$\frac{d}{dx}(\sec x)=\sec x\tan x$

$\frac{d}{dx}(\csc x)=-\csc x\cot x$

Patrón para Memorizar

Cuando memorice esta tabla, resulta útil notar que:

• Los signos menos van con las derivadas de las “cofunciones”: coseno, cotangente y cosecante
• Las derivadas de seno y coseno son las más simples
• Las derivadas de tangente y cotangente involucran cuadrados de secante y cosecante
• Las derivadas de secante y cosecante son productos

2.6 Ejemplos con Funciones Trigonométricas

Ejemplo 4

Derive $y=x^2\sin x$

Solución: Por la regla del producto:

$\frac{dy}{dx}=x^2\cos x+\sin x\cdot 2x=x^2\cos x+2x\sin x$

Ejemplo 5

Derive $f(x)=\frac{\sec x}{1+\tan x}$

Solución: Por la regla del cociente:

$f^{\prime }(x)=\frac{(1+\tan x)\frac{d}{dx}(\sec x)-\sec x\frac{d}{dx}(1+\tan x)}{(1+\tan x{)}^2}$

$=\frac{(1+\tan x)(\sec x\tan x)-\sec x({\sec }^{2}x)}{(1+\tan x{)}^2}$

$=\frac{\sec x\tan x+\sec x{\tan }^{2}x-{\sec }^{3}x}{(1+\tan x{)}^2}$

Usando la identidad ${\tan }^{2}x+1={\sec }^{2}x$:

$=\frac{\sec x(\tan x+{\tan }^{2}x-{\sec }^{2}x)}{(1+\tan x{)}^2}=\frac{\sec x(\tan x-1)}{(1+\tan x{)}^2}$

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Regla del cociente: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{g{f}^{\prime }-f{g}^{\prime }}{g^2}$ (NO es $\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$)
2. Derivadas trigonométricas: Seis fórmulas fundamentales
3. Signos negativos: Aparecen con las cofunciones (cos, cot, csc)
4. Radianes: Esencial para que las fórmulas sean válidas
5. Combinación de reglas: Producto, cociente y trigonométricas juntas
6. Identidades trigonométricas: Útiles para simplificar derivadas

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Regla del cociente incorrecta

• Incorrecto: $\frac{d}{dx}\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$
• Correcto: $\frac{d}{dx}\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{g{f}^{\prime }-f{g}^{\prime }}{g^2}$

Error 2: Orden incorrecto en el numerador

• Incorrecto: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f{g}^{\prime }-g{f}^{\prime }}{g^2}$
• Correcto: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{g{f}^{\prime }-f{g}^{\prime }}{g^2}$ (denominador primero)

Error 3: Olvidar el signo negativo

• Incorrecto: $\frac{d}{dx}(\cos x)=\sin x$
• Correcto: $\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x$

Error 4: Usar grados en lugar de radianes

• Incorrecto: Aplicar las fórmulas con ángulos en grados
• Correcto: Convertir siempre a radianes antes de derivar

Error 5: Olvidar elevar al cuadrado el denominador

• Incorrecto: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{g{f}^{\prime }-f{g}^{\prime }}{g}$
• Correcto: ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{g{f}^{\prime }-f{g}^{\prime }}{g^2}$

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios de Práctica

1. Derive $f(x)=\frac{x^3-4x+6}{x^2}$
2. Encuentre $\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{\cos x+1}\right)$
3. Si $f(x)=x\tan x$, encuentre $f^{\prime }(\pi /4)$
4. Derive $y=\frac{e^x}{\sin x}$
5. Encuentre la ecuación de la recta tangente a $y=\sec x$ en $(0,1)$

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 3.2: Reglas del producto y cociente, págs. 187-189
• Sección 3.3: Derivada de funciones trigonométricas, págs. 191-195

Tabla de Referencia

• Tabla-Derivadas-Trigonometricas - pág. 194

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Sugerencia de Estudio

Sugerirles que miren la tabla de derivadas de funciones trigonométricas en la pág. 194 del texto. Memorizar las seis derivadas trigonométricas es fundamental, pero entender el patrón de los signos (negativos con las cofunciones) facilita mucho el proceso. Practiquen combinando la regla del cociente con las derivadas trigonométricas.

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo enunciar la regla del cociente correctamente
• Recuerdo el orden correcto: $g{f}^{\prime }-f{g}^{\prime }$ (denominador primero)
• Sé derivar las seis funciones trigonométricas
• Reconozco que los signos negativos van con las cofunciones
• Entiendo por qué debemos usar radianes
• Puedo combinar la regla del cociente con funciones trigonométricas
• Sé simplificar usando identidades trigonométricas
• Puedo aplicar todas las reglas en conjunto (producto, cociente, trig)

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