24) Formas Indeterminadas y Regla de L'Hopital

Clase 24: Formas Indeterminadas y Regla de L’Hôpital

📚 Introducción

En el estudio de límites, frecuentemente nos encontramos con situaciones donde tanto el numerador como el denominador de una fracción tienden a cero o a infinito. Estos casos, llamados formas indeterminadas, requieren técnicas especiales para su evaluación. La Regla de L’Hôpital es una herramienta poderosa y elegante que nos permite resolver estos límites de manera sistemática, convirtiéndolos en problemas más simples mediante el uso de derivadas.

Objetivos de la Clase

• Reconocer las distintas formas indeterminadas: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty }{\infty }$, $0\cdot \infty$, $\infty -\infty$, $0^0$, ${\infty }^0$, $1^{\infty }$
• Comprender y aplicar la Regla de L’Hôpital para calcular límites indeterminados
• Distinguir cuándo la Regla de L’Hôpital permite calcular un límite versus demostrar que no existe ($\pm \infty$)
• Verificar las hipótesis necesarias antes de aplicar la regla
• Comprender que la regla también es válida para límites laterales

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1. Formas Indeterminadas

1.1 ¿Qué es una Forma Indeterminada?

Cuando intentamos evaluar un límite de la forma:

${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$

donde tanto $f(x)\to 0$ como $g(x)\to 0$ cuando $x\to a$, nos encontramos con una forma indeterminada del tipo $\frac{0}{0}$.

¿Por qué "indeterminada"?

El límite existe, pero su valor no es evidente porque el numerador y denominador tienden a 0, y $\frac{0}{0}$ no está definido.

Para funciones racionales, a veces podemos cancelar factores comunes:

${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2-x}{x-1}={\lim }_{x\to 1}\frac{x(x-1)}{x-1}={\lim }_{x\to 1}x=1$

Pero este método no siempre funciona, especialmente con límites más complicados como:

${\lim }_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}$

1.2 Tipos de Formas Indeterminadas

Existen varios tipos de formas indeterminadas que surgen del límite:

${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$

Formas Indeterminadas Principales

1. Tipo $\frac{0}{0}$: Cuando ${\lim }_{x\to a}f(x)=0$ y ${\lim }_{x\to a}g(x)=0$

2. Tipo $\frac{\infty }{\infty }$: Cuando ${\lim }_{x\to a}f(x)=\infty$ (o $-\infty$) y ${\lim }_{x\to a}g(x)=\infty$ (o $-\infty$)

Además, existen otros tipos que se pueden convertir a las formas anteriores:

• $\infty -\infty$
• $0\cdot \infty$
• $0^0$
• ${\infty }^0$
• $1^{\infty }$

No todas las formas son indeterminadas

Hay formas que NO son indeterminadas y tienen valores claros:

• $\frac{c}{0}$ donde $c\ne 0$ → $\pm \infty$ (no existe como número finito)
• $\frac{\infty }{c}$ donde $c\ne 0$ → $\infty$
• $\frac{c}{\infty }$ donde $c\ne 0$ → $0$

1.3 Motivación Geométrica

Supongamos que estamos analizando el comportamiento de la función:

$F(x)=\frac{\ln x}{x-1}$

aunque $F$ no está definida cuando $x=1$, necesitamos saber cómo se comporta cerca de 1.

En particular, nos gustaría saber el valor del límite:

${\lim }_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}\text{[Forma }\frac{0}{0}\text{]}$

Para el cálculo de este límite no podemos aplicar la ley 5 de los límites (el límite de un cociente es el cociente de los límites), porque el límite del denominador es 0. De hecho, aunque en la expresión existe el límite, su valor no es evidente porque el numerador y denominador tienden a 0 y $\frac{0}{0}$ no está definido.

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2. La Regla de L’Hôpital

2.1 El Teorema

Teorema - Regla de L'Hôpital

Suponga que $f$ y $g$ son derivables y $g^{\prime }(x)\ne 0$ sobre un intervalo abierto $I$ que contiene $a$ (excepto posiblemente en $a$). Suponga que:

${\lim }_{x\to a}f(x)=0\text{y}{\lim }_{x\to a}g(x)=0$

o que:

${\lim }_{x\to a}f(x)=\pm \infty \text{y}{\lim }_{x\to a}g(x)=\pm \infty$

(En otras palabras, tenemos una forma indeterminada de tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty }{\infty }$). Entonces:

$\boxed{\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}}$

si existe el límite del lado derecho (o es $\infty$ o $-\infty$).

Notas Críticas sobre el Teorema

1. La Regla de L’Hôpital señala que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas, siempre que se cumplan las condiciones.

2. Es especialmente importante verificar las condiciones impuestas a los límites de $f$ y $g$ antes de utilizar la Regla de L’Hôpital.

3. La regla también es válida para límites laterales y para límites al infinito o al infinito negativo: ${\lim }_{x\to a^{+}},{\lim }_{x\to a^{-}},{\lim }_{x\to \infty },{\lim }_{x\to -\infty }$

2.2 ¿Por qué funciona la Regla de L’Hôpital?

Argumento geométrico para demostrar que:

${\lim }_{x\to a}\frac{\sin x}{x}=1$

Aunque $F$ no está definida cuando $x=1$, necesitamos evaluar el límite. La figura sugiere visualmente por qué la regla de L’Hôpital puede ser cierta.

Las gráficas muestran dos funciones derivables $f$ y $g$, donde ambas se acercan a 0 conforme $x\to a$. Si pudiéramos acercarnos hacia el punto $(a,0)$, las gráficas empezarían a parecer rectas.

Pero si realmente las funciones fueran lineales, como en la segunda gráfica, entonces sus razones serían:

$\frac{m_1(x-a)}{m_2(x-a)}=\frac{m_1}{m_2}$

que es la razón de sus derivadas. Esto sugiere que:

${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

2.3 Uso de la Regla con Límites Unilaterales y al Infinito

Nota Importante

La regla de L’Hôpital también es cierta para límites laterales. Además, que la regla de L’Hôpital sigue siendo cierta para límites laterales:

${\lim }_{x\to a^{+}}\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to a^{+}}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

Y también para límites al infinito:

${\lim }_{x\to \infty }\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to \infty }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

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3. Aplicación de la Regla de L’Hôpital - Forma $\frac{0}{0}$

3.1 Procedimiento General

Para aplicar la Regla de L’Hôpital en formas $\frac{0}{0}$:

1. Verificar que estamos ante una forma indeterminada $\frac{0}{0}$
2. Derivar el numerador y denominador por separado
3. Evaluar el nuevo límite
4. Si es necesario, repetir el proceso

Observe que cuando se utiliza la regla de L'Hôpital derivamos el numerador y el denominador por separado. No utilizamos la regla del cociente.

3.2 Ejemplo Resuelto 1

Ejemplo 1: Límite clásico

Encuentre $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln x}{x-1}$

Solución:

Dado que: ${\lim }_{x\to 1}\ln x=\ln 1=0\text{y}{\lim }_{x\to 1}(x-1)=0$

podemos aplicar la regla de L’Hôpital:

${\lim }_{x\to 1}\frac{\ln x}{x-1}={\lim }_{x\to 1}\frac{\frac{d}{dx}(\ln x)}{\frac{d}{dx}(x-1)}={\lim }_{x\to 1}\frac{\frac{1}{x}}{1}={\lim }_{x\to 1}\frac{1}{x}=1$

3.3 Ejemplo Resuelto 2

Ejemplo 2: Aplicación múltiple

Calcule $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1-x}{x^2}$

Solución:

${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2}\text{[Forma }\frac{0}{0}\text{]}$

Aplicamos la regla de L’Hôpital:

$={\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1}{2x}\text{[Auˊn forma }\frac{0}{0}\text{]}$

Aplicamos la regla de L’Hôpital nuevamente:

$={\lim }_{x\to 0}\frac{e^x}{2}=\frac{1}{2}$

3.4 Ejemplo Resuelto 3

Ejemplo 3: Con funciones trigonométricas

Calcule $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-x}{x^3}$

Solución:

${\lim }_{x\to 0}\frac{\tan x-x}{x^3}\text{[Forma }\frac{0}{0}\text{]}$

Primera aplicación de L’Hôpital:

$={\lim }_{x\to 0}\frac{{\sec }^{2}x-1}{3x^2}\text{[Auˊn }\frac{0}{0}\text{]}$

Segunda aplicación:

$={\lim }_{x\to 0}\frac{2{\sec }^{2}x\tan x}{6x}\text{[Auˊn }\frac{0}{0}\text{]}$

Tercera aplicación:

$={\lim }_{x\to 0}\frac{2{\sec }^{2}x{\sec }^{2}x+2{\sec }^{2}x\tan x\cdot 2\sec x\tan x}{6}$

$=\frac{2(1)(1)+0}{6}=\frac{1}{3}$

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4. Aplicación de la Regla de L’Hôpital - Forma $\frac{\infty }{\infty }$

4.1 Ejemplo Resuelto 4

Ejemplo 4: Forma \frac{\infty}{\infty}

Encuentre $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{e^x}{x^2}$

Solución:

Ya que $x\to \infty$ y $e^x\to \infty$ cuando $x\to \infty$, tenemos una forma $\frac{\infty }{\infty }$ y la regla de L’Hôpital da:

${\lim }_{x\to \infty }\frac{e^x}{x^2}={\lim }_{x\to \infty }\frac{e^x}{2x}$

Este límite del lado derecho es aún una indeterminación del tipo $\frac{\infty }{\infty }$, pero si aplicamos nuevamente la regla de L’Hôpital obtenemos:

${\lim }_{x\to \infty }\frac{e^x}{2x}={\lim }_{x\to \infty }\frac{e^x}{2}=\infty$

Observación

Note que las funciones exponenciales crecen más rápido que las funciones potencia, por eso $e^x$ domina a $x^2$.

4.2 Ejemplo Resuelto 5

Ejemplo 5: Comparación logaritmo vs potencia

Calcule $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln x}{x}$

Solución:

${\lim }_{x\to \infty }\frac{\ln x}{x}\text{[Forma }\frac{\infty }{\infty }\text{]}$

Aplicando la regla de L’Hôpital:

$={\lim }_{x\to \infty }\frac{\frac{1}{x}}{1}={\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{x}=0$

Observación

Las funciones potencia crecen más rápido que las funciones logarítmicas, por eso $x$ domina a $\ln x$.

4.3 Ejemplo Resuelto 6: Forma $\frac{0}{0}$ con límite lateral

Ejemplo 6

Calcule $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln (x)}{x-1}$

Solución:

Sugerencia del ejercicio: $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln (x)}{x-1}$ [Forma $\frac{0}{0}$]

Explicar que la Regla de L’Hôpital se puede usar tanto para calcular el valor de un límite como para probar que un límite no existe, cuando el límite es $\pm \infty$.

Además, que la Regla de L’Hôpital sigue siendo cierto para límites laterales.

Revisar ejemplos al menos para los siguientes casos:

• $\frac{0}{0}$. Sugerencia: $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln (x)}{x-1}$
• $\frac{\infty }{\infty }$. Sugerencia: $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{e^x}{x^2}$ y $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln (x)}{x}$
• $0\cdot \infty$. Sugerencia: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln (x)$

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5. Precauciones al Usar la Regla de L’Hôpital

5.1 Errores Comunes

Error Común 1: Aplicar sin verificar la forma indeterminada

INCORRECTO: ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{\cos x}={\lim }_{x\to 0}\frac{\cos x}{-\sin x}$

Este límite NO es una forma indeterminada ($\frac{0}{1}=0$), por lo tanto no debemos aplicar L’Hôpital.

Error Común 2: Usar la regla del cociente

INCORRECTO: Derivar $\frac{f(x)}{g(x)}$ usando $\frac{g(x)f^{\prime }(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{[g(x){]}^2}$

CORRECTO: Derivar numerador y denominador por separado: $\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

5.2 Cuándo NO Aplicar L’Hôpital

Situaciones donde NO se debe aplicar L'Hôpital

1. Cuando NO hay una forma indeterminada
2. Cuando existen métodos más simples (factorización, racionalización)
3. Cuando las derivadas complican más que simplificar

5.3 Ejemplo de Mal Uso

Ejemplo: Cuando L'Hôpital hace las cosas peor

Problema: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2+x}{x}$

Método simple (Factorización): ${\lim }_{x\to 0}\frac{x^2+x}{x}={\lim }_{x\to 0}\frac{x(x+1)}{x}={\lim }_{x\to 0}(x+1)=1$

Con L’Hôpital (innecesariamente complicado): ${\lim }_{x\to 0}\frac{x^2+x}{x}={\lim }_{x\to 0}\frac{2x+1}{1}=1$

Ambos dan la respuesta correcta, pero la factorización es más directa.

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6. Estrategias de Resolución

6.1 Diagrama de Flujo

¿Es una forma indeterminada? 
    │
    ├─ NO → Evaluar directamente
    │
    └─ SÍ → ¿Es de tipo 0/0 o ∞/∞?
            │
            ├─ NO → Convertir a 0/0 o ∞/∞ (Clase 25)
            │
            └─ SÍ → Aplicar L'Hôpital
                    │
                    ├─ ¿Sigue siendo indeterminada?
                    │   └─ SÍ → Aplicar L'Hôpital nuevamente
                    │
                    └─ NO → Evaluar el límite

6.2 Consejos Prácticos

Consejos para Aplicar L'Hôpital Efectivamente

1. Siempre verifica que tienes una forma indeterminada antes de aplicar la regla
2. Simplifica la expresión antes de derivar, si es posible
3. Deriva cuidadosamente: errores en las derivadas dan resultados incorrectos
4. Prepárate para aplicar la regla múltiples veces si es necesario
5. Evalúa después de cada aplicación: puede que ya no necesites más aplicaciones
6. Si la regla no simplifica el problema, considera otro método

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7. Resumen de Conceptos Clave

Puntos Principales de la Clase 24

1. Formas indeterminadas principales: $\frac{0}{0}$ y $\frac{\infty }{\infty }$

2. Regla de L’Hôpital: $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ (si se cumplen las condiciones)

3. La regla funciona para:

   • Límites en un punto
   • Límites laterales
   • Límites al infinito

4. Se deriva numerador y denominador por separado, NO se usa la regla del cociente

5. La regla puede aplicarse múltiples veces si es necesario

6. Siempre verificar las hipótesis antes de aplicar

7. En la Clase 25 veremos cómo manejar otras formas indeterminadas: $0\cdot \infty$, $\infty -\infty$, $0^0$, ${\infty }^0$, $1^{\infty }$

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8. Ejercicios Propuestos

Ejercicios para Practicar

Formas $\frac{0}{0}$:

1. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 3x}{x}$

2. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1-x-\frac{x^2}{2}}{x^3}$

3. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x-\sin x}{x^3}$

4. $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-1}{x^2-1}$

Formas $\frac{\infty }{\infty }$:

5. $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2}{e^x}$

6. $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$

7. $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^3+2x}{2x^3-x^2+3}$

Aplicaciones múltiples:

8. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}$

9. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-x+\frac{x^3}{6}}{x^5}$

Límites laterales:

10. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\ln x}{x}$

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9. Checklist de Estudio

• ¿Puedo identificar las formas indeterminadas $\frac{0}{0}$ y $\frac{\infty }{\infty }$?
• ¿Entiendo cuándo y por qué se puede aplicar la Regla de L’Hôpital?
• ¿Puedo explicar por qué derivamos numerador y denominador por separado?
• ¿Sé cómo aplicar L’Hôpital múltiples veces cuando es necesario?
• ¿Comprendo que la regla funciona para límites laterales y al infinito?
• ¿Puedo identificar cuándo NO debo aplicar L’Hôpital?
• ¿He practicado suficientes ejemplos de formas $\frac{0}{0}$ y $\frac{\infty }{\infty }$?

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10. Conexiones con Otros Temas

• Clase 10-12: Derivadas (necesarias para aplicar L’Hôpital)
• Clase 13-14: Reglas de derivación (regla del producto, cociente, cadena)
• Clase 21: Valores máximos y mínimos (aplicaciones de derivadas)
• Clase 25: Más formas indeterminadas ($0\cdot \infty$, $\infty -\infty$, etc.)

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Referencias y Material Adicional

• Stewart, Sección 4.4: Formas Indeterminadas y Regla de L’Hôpital, págs. 301-307
• Ejercicios recomendados: 7-35 (impares)

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