4) Planos en R³

Clase 4 - Planos en R³

Objetivos de la Clase

• Conocer la ecuación general de un plano en R³ y la generalización a Rⁿ
• Comprender la posición relativa de planos en el espacio
• Definir recta, plano e hiperplano en Rⁿ

Contenidos

Planos

• Ecuación vectorial, paramétrica y cartesiana de un plano.
• Vector normal y vectores directores.
• Posición relativa entre planos.
• Distancia de un punto a un plano.
• Intersección de planos.
• Generalización a hiperplanos en Rⁿ.

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1. Concepto de Plano

1.1 Definición Fundamental

Un plano en R³ está completamente determinado por dos elementos:

• Un punto conocido que pertenece al plano
• Un vector normal (perpendicular) al plano

Esto contrasta con una recta, que necesita un punto y un vector director (paralelo). La diferencia es que el plano se define por lo que es perpendicular a él, no por su dirección.

1.2 Intuición Geométrica

Imagine una hoja de papel infinita en el espacio. Para ubicarla completamente, necesita saber:

• Dónde pasa (un punto)
• Cómo está orientada (dirección perpendicular)

El vector normal es como una flecha que “atraviesa” el plano perpendicularmente, indicando su orientación en el espacio.

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2. Ecuación Vectorial del Plano

2.1 Desarrollo de la Ecuación

Sea $\vec{n}\ne \vec{0}$ el vector normal al plano y $B(\vec{b})$ un punto conocido en el plano. Para cualquier otro punto $R(\vec{r})$ en el plano, el vector $\overrightarrow{BR}=\vec{r}-\vec{b}$ debe ser perpendicular a $\vec{n}$.

La condición de perpendicularidad se expresa como:

Ecuación Vectorial del Plano

$(\vec{r}-\vec{b})\cdot \vec{n}=0$

Esta es la ecuación vectorial fundamental del plano.

2.2 Forma Equivalente

La ecuación también puede escribirse como: $\vec{r}\cdot \vec{n}=\vec{b}\cdot \vec{n}$

o simplemente: $\vec{r}\cdot \vec{n}=p$

donde $p=\vec{b}\cdot \vec{n}$ es una constante que depende del punto elegido y el vector normal.

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3. Ecuación Cartesiana (General)

3.1 Forma Estándar

Si el vector normal es $\vec{n}=(a,b,c)$ y usamos coordenadas $\vec{r}=(x,y,z)$, la ecuación vectorial se convierte en:

Ecuación General del Plano

$ax+by+cz=d$

donde $d=\vec{b}\cdot \vec{n}$ y $(a,b,c)$ son las componentes del vector normal.

3.2 Interpretación de los Coeficientes

Para el plano $2x-3y+z=6$:

• Vector normal: $\vec{n}=(2,-3,1)$
• El plano es perpendicular a este vector
• Cualquier vector contenido en el plano satisface $\vec{v}\cdot (2,-3,1)=0$

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4. Ecuación Paramétrica

4.1 Descripción Alternativa

Un plano también puede describirse usando dos vectores directores no paralelos $\vec{u}$ y $\vec{v}$ que están contenidos en el plano:

Ecuación Paramétrica del Plano

$\vec{r}=\vec{a}+s\vec{u}+t\vec{v}$

donde $s,t\in \mathbb{R}$ son parámetros y $\vec{a}$ es un punto conocido en el plano.

4.2 Forma de Componentes

Expandiendo en coordenadas: $\{\begin{array}{l}x=a_1+s{u}_1+t{v}_1\\ y=a_2+s{u}_2+t{v}_2\\ z=a_3+s{u}_3+t{v}_3\end{array}$

4.3 Relación con el Vector Normal

El vector normal se obtiene del producto vectorial de los vectores directores: $\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}$

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5. Ejemplos Básicos

Ejemplo 1 - Plano por Tres Puntos

Problema: Encontrar la ecuación del plano que pasa por $A(1,-2,0)$, $B(0,1,4)$ y $C(3,2,-1)$.

Solución:

1. Encontrar dos vectores en el plano:

   • $\overrightarrow{AB}=(-1,3,4)$
   • $\overrightarrow{AC}=(2,4,-1)$

2. Calcular el vector normal: $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}$

3. Usar la ecuación vectorial $(\vec{r}-\vec{a})\cdot \vec{n}=0$ con el punto $A$

Ejemplo 2 - Interpretación Directa

Para el plano $x-2y+3z=5$:

• Vector normal: $\vec{n}=(1,-2,3)$
• Cualquier punto $(x,y,z)$ en el plano satisface esta ecuación
• El vector desde el origen hasta cualquier punto del plano tiene componente constante en la dirección normal

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6. Distancia de un Punto a un Plano

6.1 Fórmula Fundamental

Fórmula de Distancia Punto-Plano

La distancia desde un punto $P_0(x_0,y_0,z_0)$ al plano $ax+by+cz+d=0$ está dada por:

$\text{distancia}=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

6.2 Justificación Geométrica

Esta fórmula surge de proyectar el vector desde cualquier punto del plano hasta $P_0$ sobre la dirección normal unitaria. El denominador $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ normaliza el vector normal.

Ejemplo 3 - Cálculo de Distancia

Problema: Calcular la distancia del punto $(1,2,3)$ al plano $2x-y+2z=6$

Solución: $d=\frac{|2(1)-1(2)+2(3)-6|}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{|2-2+6-6|}{3}=0$

El punto está en el plano.

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7. Posición Relativa de Planos

7.1 Clasificación Fundamental

Dados dos planos con vectores normales $\overrightarrow{n_1}$ y $\overrightarrow{n_2}$:

Tipos de Posición Relativa

Planos paralelos: Los vectores normales son proporcionales, $\overrightarrow{n_1}=k\overrightarrow{n_2}$ para algún $k\ne 0$

• Si las ecuaciones también son proporcionales, los planos son coincidentes
• Si las ecuaciones no son proporcionales, son paralelos distintos

Planos secantes: Los vectores normales no son proporcionales

• Se intersectan en una recta
• El vector director de la recta es $\vec{d}=\overrightarrow{n_1}\times \overrightarrow{n_2}$

7.2 Tres Planos en el Espacio

Las posibilidades son más ricas:

• Intersección en un punto: Caso general, sistema con solución única
• Intersección en una recta: Los tres planos se intersectan en la misma recta
• Sin intersección común: Configuraciones especiales (paralelos, etc.)

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8. Intersección de Planos

8.1 Dos Planos No Paralelos

La intersección es siempre una recta. Para encontrarla:

1. Resolver el sistema de ecuaciones de ambos planos
2. Expresar las soluciones en términos de un parámetro libre
3. La forma paramétrica resultante describe la recta

Ejemplo 4 - Intersección de Planos

Problema: Encontrar la intersección de $x+y+z=1$ y $2x+y+z=2$.

Solución:

• Restando las ecuaciones: $x=1$
• Sustituyendo en la primera: $1+y+z=1$, entonces $y+z=0$
• Parametrizando con $z=t$: $y=-t$

Recta resultante: $(x,y,z)=(1,-t,t)=(1,0,0)+t(0,-1,1)$

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9. Generalización a Rⁿ

9.1 Hiperplanos

Definición - Hiperplano

en Rⁿ En ${\mathbb{R}}^n$, un hiperplano es un subespacio de dimensión $(n-1)$ definido por una ecuación lineal:

$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=d$

Ejemplos por dimensión:

• En ${\mathbb{R}}^2$: Un hiperplano es una recta (dimensión 1)
• En ${\mathbb{R}}^3$: Un hiperplano es un plano (dimensión 2)
• En ${\mathbb{R}}^4$: Un hiperplano tiene dimensión 3

9.2 Patrón Dimensional

Relación Dimensión-Ecuaciones

Para determinar un objeto k-dimensional en ${\mathbb{R}}^n$, se requieren $(n-k)$ ecuaciones linealmente independientes:

• Punto en ${\mathbb{R}}^n$: $n$ ecuaciones (dimensión 0)
• Recta en ${\mathbb{R}}^n$: $(n-1)$ ecuaciones (dimensión 1)
• Plano en ${\mathbb{R}}^n$: $(n-2)$ ecuaciones (dimensión 2)

9.3 Vector Normal en Dimensiones Superiores

En ${\mathbb{R}}^n$, el hiperplano $a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n=d$ tiene vector normal $\vec{n}=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$. Todos los conceptos de perpendicularidad y distancia se generalizan directamente.

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10. Errores Comunes

Error 1: Confundir vector normal con vectores directores

• Incorrecto: Usar el vector normal como vector director del plano
• Correcto: El vector normal es perpendicular al plano, los vectores directores están contenidos en él

Error 2: Olvidar normalizar en la fórmula de distancia

• Incorrecto: $d=|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|$
• Correcto: $d=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Error 3: Confundir paralelismo con coincidencia

• Incorrecto: Decir que $x+y=1$ y $2x+2y=3$ son el mismo plano
• Correcto: Son paralelos distintos (vectores normales proporcionales, pero constantes no)

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Enlaces a Ejemplos

• Clase04-Ejemplo01 ✅ - Plano por tres puntos
• Clase04-Ejemplo02 🤔 - Intersección de dos planos
• Clase04-Ejemplo03 ❌ - Análisis de tres planos
• Clase04-Ejemplo04 - Distancia punto-plano
• Clase04-Ejemplo05 - Conversión entre formas de ecuación

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Resumen Personal

Conceptos clave dominados:

• Ecuación vectorial como condición de perpendicularidad
• Tres formas equivalentes de describir un plano
• Relación entre dimensión y número de ecuaciones

Aspectos por reforzar:

• Visualización de intersecciones múltiples
• Casos especiales en posición relativa
• Interpretación geométrica en dimensiones superiores

Conexión importante: Los planos establecen el puente entre geometría vectorial y álgebra lineal, preparando conceptos fundamentales como sistemas de ecuaciones y espacios solución.

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Autoevaluación

Checklist de Comprensión

• ¿Puedo escribir la ecuación de un plano dados tres puntos?
• ¿Entiendo la diferencia entre vector normal y vectores directores?
• ¿Sé determinar cuándo dos planos son paralelos vs secantes?
• ¿Puedo calcular la distancia de un punto a un plano?
• ¿Comprendo qué es un hiperplano y su generalización?

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Referencias

• Poole, D. Álgebra lineal: Una introducción moderna. Sección 1.3, págs. 38-41 AlgebraLinealPoole.pdf

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