11) Conjunto Solución de Sistemas Lineales

Clase 11: Conjunto Solución de Sistemas Lineales

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📋 Resumen Ejecutivo

Objetivos de la Clase

En esta clase aprenderás a:

• Caracterizar el conjunto solución de sistemas homogéneos
• Describir soluciones en forma vectorial paramétrica
• Relacionar soluciones de sistemas homogéneos y no homogéneos
• Interpretar geométricamente conjuntos solución
• Resolver simultáneamente sistemas con la misma matriz de coeficientes

Idea Central

Todo conjunto solución de un sistema consistente se puede expresar explícitamente en forma vectorial paramétrica, lo que proporciona una descripción geométrica clara del conjunto de todas las soluciones.

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1. Sistemas Lineales Homogéneos

1.1 Definición

Definición - Sistema Homogéneo

Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo si se puede escribir en la forma:

$A\mathbf{x}=0$

donde $A$ es una matriz $m\times n$ y $0$ es el vector cero en ${\mathbb{R}}^m$.

En forma de ecuaciones:

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=0\end{array}$$

1.2 Propiedad Fundamental

Existencia de la Solución Trivial

Todo sistema homogéneo $A\mathbf{x}=0$ siempre tiene al menos una solución: la solución trivial $\mathbf{x}=0$ (el vector cero en ${\mathbb{R}}^n$).

Por tanto, un sistema homogéneo siempre es consistente.

1.3 Pregunta Clave

Pregunta Importante

Para un sistema homogéneo $A\mathbf{x}=0$, la pregunta relevante no es “¿tiene solución?” (siempre la tiene), sino:

¿Existe una solución NO TRIVIAL?

Es decir, ¿existe un vector $\mathbf{x}\ne 0$ tal que $A\mathbf{x}=0$?

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2. Condición para Soluciones No Triviales

Teorema - Existencia de Soluciones No Triviales

La ecuación homogénea $A\mathbf{x}=0$ tiene una solución no trivial si y solo si la ecuación tiene al menos una variable libre.

Consecuencia: Si $A$ es $m\times n$ con $n>m$ (más variables que ecuaciones), entonces el sistema siempre tiene soluciones no triviales.

2.1 Interpretación

¿Qué Significa?

• Sin variables libres → Solo la solución trivial $\mathbf{x}=0$
• Con variables libres → Infinitas soluciones (incluyendo soluciones no triviales)

Las variables libres actúan como parámetros que generan infinitas soluciones.

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3. Descripción Explícita del Conjunto Solución

3.1 Forma Vectorial Paramétrica

Definición - Forma Vectorial Paramétrica

Una ecuación de la forma:

$\mathbf{x}=s{\mathbf{v}}_1+t{\mathbf{v}}_2+\cdots +k{\mathbf{v}}_r(s,t,\dots ,k\in \mathbb{R})$

se llama ecuación vectorial paramétrica o forma vectorial paramétrica.

• Los escalares $s,t,\dots ,k$ son parámetros
• Los vectores ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_r$ son vectores directores

3.2 Ejemplo Completo: Sistema Homogéneo

Ejemplo 1 - Sistema Homogéneo con Soluciones No Triviales

Sistema:

$$\{\begin{array}{l}3x_1+5x_2-4x_3=0\\ -3x_1-2x_2+4x_3=0\\ 6x_1+x_2-8x_3=0\end{array}$$

Paso 1: Escribir la matriz ampliada y reducir por filas

$$\left[\begin{array}{cccc}3& 5& -4& 0\\ -3& -2& 4& 0\\ 6& 1& -8& 0\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cccc}1& 0& -\frac{4}{3}& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

Paso 2: Identificar variables básicas y libres

• Variables básicas: $x_1$, $x_2$
• Variable libre: $x_3$

Paso 3: Expresar variables básicas en términos de las libres

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{4}{3}{x}_3\\ x_2=0\\ x_3\text{ es libre}\end{array}$$

Paso 4: Escribir en forma vectorial paramétrica

$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{4}{3}{x}_3\\ 0\\ x_3\end{array}\right]=x_3\left[\begin{array}{c}\frac{4}{3}\\ 0\\ 1\end{array}\right]=x_3\mathbf{v}$

donde $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}4/3\\ 0\\ 1\end{array}\right]$ es el vector director.

Interpretación geométrica: El conjunto solución es una recta que pasa por el origen en ${\mathbb{R}}^3$, en la dirección de $\mathbf{v}$.

3.3 Ejemplo con Dos Variables Libres

Ejemplo 2 - Sistema con Dos Parámetros

Sistema: $10x_1-3x_2-2x_3=0$

Forma escalonada reducida:

$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -\frac{1}{5}& 0\\ 0& 1& -\frac{2}{3}& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

Espera, esto no es correcto. Para una sola ecuación:

$10x_1-3x_2-2x_3=0$

Despejamos $x_1$ en términos de las variables libres $x_2$ y $x_3$:

$x_1=\frac{3}{10}{x}_2+\frac{1}{5}{x}_3$

Forma vectorial paramétrica:

$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\frac{3}{10}{x}_2+\frac{1}{5}{x}_3\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=x_2\left[\begin{array}{c}3/10\\ 1\\ 0\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c}1/5\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

$\mathbf{x}=s\mathbf{u}+t\mathbf{v}(s,t\in \mathbb{R})$

donde $\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}3/10\\ 1\\ 0\end{array}\right]$ y $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}1/5\\ 0\\ 1\end{array}\right]$.

Interpretación geométrica: El conjunto solución es un plano que pasa por el origen en ${\mathbb{R}}^3$.

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4. Sistemas No Homogéneos

4.1 Relación con Sistemas Homogéneos

Teorema 6 - Estructura de Soluciones No Homogéneas

Suponga que la ecuación $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ es consistente para algún $\mathbf{b}$ dado, y sea $\mathbf{p}$ una solución particular. Entonces el conjunto solución de $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ es:

$\{\mathbf{w}=\mathbf{p}+{\mathbf{v}}_h:{\mathbf{v}}_h\text{ es cualquier solucioˊn de }A\mathbf{x}=0\}$

En palabras: $\boxed{\text{Solucioˊn general}=\text{Solucioˊn particular}+\text{Solucioˊn del sistema homogeˊneo}}$

4.2 Interpretación Geométrica: Traslación

Visualización Geométrica

Si $\mathbf{p}$ es una solución particular de $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ y ${\mathbf{v}}_h$ es solución del sistema homogéneo $A\mathbf{x}=0$, entonces:

• El conjunto solución de $A\mathbf{x}=0$ pasa por el origen
• El conjunto solución de $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ es una traslación del primero, pasando por $\mathbf{p}$

Ejemplo en ${\mathbb{R}}^2$:

• Si $A\mathbf{x}=0$ tiene como solución una recta por el origen
• Entonces $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ tiene como solución una recta paralela a la primera

4.3 Ejemplo Completo: Sistema No Homogéneo

Ejemplo 3 - Sistema No Homogéneo

Sistema: $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ donde

$A=\left[\begin{array}{ccc}3& 5& -4\\ -3& -2& 4\\ 6& 1& -8\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}7\\ -1\\ -4\end{array}\right]$

Paso 1: Reducir la matriz ampliada $[A|\mathbf{b}]$

$$\left[\begin{array}{cccc}3& 5& -4& 7\\ -3& -2& 4& -1\\ 6& 1& -8& -4\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cccc}1& 0& -\frac{4}{3}& -1\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

Paso 2: Expresar la solución general

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=-1+\frac{4}{3}{x}_3\\ x_2=2\\ x_3\text{ es libre}\end{array}$$

Paso 3: Forma vectorial paramétrica

$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}-1+\frac{4}{3}{x}_3\\ 2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c}4/3\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

$\boxed{\mathbf{x}=\mathbf{p}+t\mathbf{v}}$

donde:

• $\mathbf{p}=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 0\end{array}\right]$ es una solución particular (cuando $x_3=0$)
• $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}4/3\\ 0\\ 1\end{array}\right]$ es solución del sistema homogéneo asociado

Interpretación: El conjunto solución es una recta en ${\mathbb{R}}^3$ que pasa por $\mathbf{p}$ y es paralela al conjunto solución del sistema homogéneo.

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5. Algoritmo General

Procedimiento para Describir Conjuntos Solución

PARA SISTEMAS HOMOGÉNEOS ($A\mathbf{x}=0$):

1. Reducir $A$ a forma escalonada reducida
2. Expresar cada variable básica en términos de las variables libres
3. Escribir la solución general como $\mathbf{x}=s{\mathbf{v}}_1+t{\mathbf{v}}_2+\cdots$
4. Identificar los vectores directores ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots$

PARA SISTEMAS NO HOMOGÉNEOS ($A\mathbf{x}=\mathbf{b}$):

1. Reducir $[A|\mathbf{b}]$ a forma escalonada reducida
2. Verificar consistencia (no debe haber fila $[00\cdots 0|c]$ con $c\ne 0$)
3. Expresar variables básicas en términos de las libres
4. Separar: $\mathbf{x}=\mathbf{p}+(\text{solucioˊn homogeˊnea})$
5. Donde $\mathbf{p}$ se obtiene haciendo todas las variables libres = 0

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6. Interpretaciones Geométricas

6.1 Según el Número de Variables Libres

Geometría del Conjunto Solución en

${\mathbb{R}}^3$

Para sistemas homogéneos $A\mathbf{x}=0$:

Variables libres	Conjunto solución
0	Solo el origen $\{0\}$ (punto)
1	Recta por el origen
2	Plano por el origen
3	Todo ${\mathbb{R}}^3$

Para sistemas no homogéneos $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$:

• Las figuras geométricas son las mismas, pero trasladadas (no pasan por el origen)

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Confundir solución trivial con ausencia de solución

• Incorrecto: “El sistema homogéneo no tiene solución”
• Correcto: Todo sistema homogéneo tiene al menos la solución trivial $\mathbf{x}=0$

Error 2: Olvidar la solución particular en sistemas no homogéneos

• Incorrecto: $\mathbf{x}=t\mathbf{v}$ (solo parte homogénea)
• Correcto: $\mathbf{x}=\mathbf{p}+t\mathbf{v}$ (particular + homogénea)

Error 3: No expresar todas las variables en la forma paramétrica

• Incorrecto: Omitir variables libres o básicas
• Correcto: El vector solución debe tener componentes para TODAS las variables

Error 4: Confundir variables libres con parámetros

• Las variables libres son las variables del sistema original
• Los parámetros ($s$, $t$, etc.) son nombres que damos a estas variables libres en la forma paramétrica

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicios Básicos

Problemas Fundamentales

1. Identificación: Determine si cada sistema es homogéneo:

   a) $\{\begin{array}{l}2x-y=0\\ x+3y=0\end{array}$

   b) $\{\begin{array}{l}2x-y=1\\ x+3y=0\end{array}$

   c) $x_1-2x_2+x_3=0$

2. Verificación: Verifique que $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right]$ es solución de:

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2-x_3=-3\\ 2x_1-x_2+x_3=8\end{array}$$

3. Forma paramétrica simple: Para el sistema $x-3y+2z=0$, exprese la solución en forma vectorial paramétrica.

Ejercicios Intermedios

Práctica de Técnicas

4. Sistema homogéneo 3×3: Resuelva y describa geométricamente:

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2-3x_3=0\\ 2x_1+x_2+x_3=0\\ x_1-x_2+4x_3=0\end{array}$$

5. Sistema no homogéneo: Encuentre la solución general de:

$$\{\begin{array}{l}{x}_1-2x_2+x_3=4\\ 2x_1-3x_2-x_3=5\end{array}$$

Identifique claramente $\mathbf{p}$ y los vectores directores.

6. Sistemas simultáneos: Resuelva simultáneamente los sistemas $A\mathbf{x}={\mathbf{b}}_1$ y $A\mathbf{x}={\mathbf{b}}_2$ donde:

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& -3& 2\\ -2& 6& -4\end{array}\right],{\mathbf{b}}_1=\left[\begin{array}{c}5\\ -10\end{array}\right],{\mathbf{b}}_2=\left[\begin{array}{c}3\\ -6\end{array}\right]$$

Ejercicios Avanzados

Problemas Conceptuales

7. Análisis geométrico: Un sistema homogéneo $3\times 5$ tiene forma escalonada reducida con 2 posiciones pivote. Describa el conjunto solución geométricamente.

8. Relación entre soluciones: Si ${\mathbf{p}}_1$ y ${\mathbf{p}}_2$ son dos soluciones de $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$, demuestre que ${\mathbf{p}}_1-{\mathbf{p}}_2$ es solución de $A\mathbf{x}=0$.

9. Construcción de sistemas: Construya un sistema homogéneo $3\times 4$ cuyo conjunto solución sea el plano generado por ${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\\ 2\end{array}\right]$ y ${\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ -1\end{array}\right]$.

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos Fundamentales

1. Sistema homogéneo: $A\mathbf{x}=0$, siempre tiene solución trivial
2. Solución no trivial: Existe ⟺ hay al menos una variable libre
3. Forma vectorial paramétrica: $\mathbf{x}=s{\mathbf{v}}_1+t{\mathbf{v}}_2+\cdots$
4. Variables libres: Actúan como parámetros que generan soluciones
5. Sistema no homogéneo: Solución = particular + homogénea
6. Traslación: Conjunto solución de $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ es traslación del de $A\mathbf{x}=0$
7. Interpretación geométrica: Depende del número de variables libres

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo distinguir entre sistemas homogéneos y no homogéneos
• Entiendo por qué todo sistema homogéneo tiene al menos la solución trivial
• Sé cuándo un sistema homogéneo tiene soluciones no triviales
• Puedo expresar conjuntos solución en forma vectorial paramétrica
• Identifico correctamente variables básicas y libres
• Comprendo la relación: solución general = particular + homogénea
• Puedo interpretar geométricamente conjuntos solución
• Distingo entre solución particular y solución del sistema homogéneo
• Sé resolver simultáneamente sistemas con la misma matriz de coeficientes

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🔗 Conexiones con Otros Temas

Vínculos Conceptuales

Próximas clases:

• 12) Independencia Lineal: Independencia lineal (vectores directores)
• 13) Intro a Transformaciones Lineales: Transformaciones lineales y núcleo
• 22) Espacios y Subespacios Vectoriales: Subespacios vectoriales (Gen{v₁, v₂})

Conceptos relacionados:

• Combinacion-Lineal - Base de la forma paramétrica
• Subespacio-Vectorial - Conjunto solución de sistema homogéneo
• Espacio-Nulo - Soluciones de $A\mathbf{x}=0$

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 1.5, págs. 43-46

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Próxima Clase

En la Clase 12, estudiaremos el concepto de independencia lineal, que nos permitirá entender cuándo un conjunto de vectores (como los vectores directores de una solución paramétrica) son “esenciales” o si alguno es redundante.