7) Matrices y Notación Matricial

Clase 07: Matrices y Notación Matricial

📚 Introducción

Esta clase introduce el concepto fundamental de matriz y desarrolla la notación matricial para representar sistemas de ecuaciones lineales. Las matrices proporcionan una herramienta poderosa y compacta para organizar y manipular información, conectando directamente con los sistemas lineales estudiados previamente.

Objetivos de la Clase

• Definir matrices y establecer la terminología básica
• Comprender la multiplicación matriz por vector
• Establecer la matriz de coeficientes y matriz ampliada de un sistema
• Desarrollar la ecuación vectorial y ecuación matricial
• Conectar diferentes representaciones de sistemas lineales

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1. Definición de Matriz

1.1 Concepto Fundamental

Definición - Matriz

Una matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos en filas y columnas. Si una matriz tiene $m$ filas y $n$ columnas, se dice que es una matriz de tamaño (o dimensión) $m\times n$.

$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$$

donde $a_{ij}$ representa la entrada en la fila $i$ y columna $j$.

1.2 Notación y Terminología

Convenciones de Notación

• Matrices: Se denotan con letras mayúsculas ($A$, $B$, $C$)
• Entradas: $a_{ij}$ = entrada en fila $i$, columna $j$
• Tamaño: $m\times n$ (siempre filas × columnas)
• Notación compacta: $A=[a_{ij}]$ o $A=(a_{ij})$

1.3 Ejemplos de Matrices

Ejemplo 1 - Matrices de Diferentes Tamaños

Matriz 2×3: $A=\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ 3& 5& -1\end{array}\right]$

Matriz 3×2: $B=\left[\begin{array}{cc}4& 7\\ & \\ -2& 0\\ 1& 3\end{array}\right]$

Matriz 1×4 (vector fila): $C=\left[\begin{array}{cccc}2& -1& 0& 5\end{array}\right]$

Matriz 3×1 (vector columna): $D=\left[\begin{array}{c}-3\\ 2\\ \\ 4\end{array}\right]$

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2. Matrices Especiales

2.1 Matriz Cuadrada

Definición - Matriz Cuadrada

Una matriz es cuadrada si tiene el mismo número de filas y columnas (es decir, $m=n$).

En una matriz cuadrada $n\times n$, las entradas $a_{11},a_{22},\dots ,a_{nn}$ forman la diagonal principal.

2.2 Matriz Cero

Definición - Matriz Cero

La matriz cero $O$ (o $0$) es aquella en la que todas las entradas son cero.

$$O_{2\times 3}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

2.3 Matriz Identidad

Definición - Matriz Identidad

La matriz identidad $I_n$ es una matriz cuadrada $n\times n$ con unos en la diagonal principal y ceros en todas las demás entradas.

$$I_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

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3. De Sistemas Lineales a Matrices

3.1 Matriz de Coeficientes

Dado el sistema lineal: $\{\begin{array}{l}{x}_1-2x_2+x_3=0\\ 2x_2-8x_3=8\\ -4x_1+5x_2+9x_3=-9\end{array}$

Definición - Matriz de Coeficientes

La matriz de coeficientes del sistema anterior es:

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 1\\ & & \\ 0& 2& -8\\ -4& 5& 9\end{array}\right]$$

Contiene solo los coeficientes de las variables, organizados por posición.

3.2 Matriz Ampliada

Definición - Matriz Ampliada

La matriz ampliada incluye tanto los coeficientes como los términos constantes:

$$\left[\begin{array}{cccc}1& -2& 1& 0\\ 0& 2& -8& 8\\ -4& 5& 9& -9\end{array}\right]$$

La línea vertical separa los coeficientes de los términos constantes.

3.3 Ventajas de la Notación Matricial

Beneficios de las Matrices

1. Compacidad: Representación eficiente de sistemas grandes
2. Organización: Estructura clara de la información
3. Algoritmos: Base para métodos sistemáticos de resolución
4. Generalización: Facilita el trabajo con sistemas de cualquier tamaño

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4. Multiplicación Matriz por Vector

4.1 Definición

Definición - Producto Matriz por Vector

Si $A$ es una matriz $m\times n$ y $\mathbf{x}$ es un vector en ${\mathbb{R}}^n$, entonces el producto $A\mathbf{x}$ es el vector en ${\mathbb{R}}^m$ cuyas entradas son los productos punto de las filas de $A$ con $\mathbf{x}$.

$$A\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{a}}_1\cdot \mathbf{x}\\ {\mathbf{a}}_2\cdot \mathbf{x}\\ ⋮\\ {\mathbf{a}}_m\cdot \mathbf{x}\end{array}\right]$$

donde ${\mathbf{a}}_i$ es la $i$-ésima fila de $A$.

4.2 Método de Cálculo

Ejemplo 2 - Multiplicación Matriz por Vector

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ & & \\ 0& -5& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}4\\ 3\\ 7\end{array}\right]$$

Paso a paso:

• Fila 1: $1(4)+2(3)+(-1)(7)=4+6-7=3$
• Fila 2: $0(4)+(-5)(3)+3(7)=0-15+21=6$

Resultado: $\left[\begin{array}{c}3\\ \\ 6\end{array}\right]$

4.3 Condición de Compatibilidad

Regla de Compatibilidad

Para que el producto $A\mathbf{x}$ esté definido:

• $A$ debe ser $m\times n$
• $\mathbf{x}$ debe tener $n$ componentes
• El resultado será un vector con $m$ componentes

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5. Ecuación Matricial

5.1 Representación Compacta

Teorema - Ecuación Matricial

El sistema lineal: $\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$

puede escribirse como la ecuación matricial: $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$

donde $A$ es la matriz de coeficientes, $\mathbf{x}$ el vector de variables y $\mathbf{b}$ el vector de términos constantes.

5.2 Componentes de la Ecuación Matricial

Identificación de Componentes

$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right]$$

5.3 Ejemplo Completo

Ejemplo 3 - Sistema a Ecuación Matricial

Sistema original: $\{\begin{array}{l}2x_1+3x_2=7\\ x_1-x_2=1\end{array}$

Ecuación matricial: $\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ \\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7\\ 1\end{array}\right]$

Verificación: $A\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}2x_1+3x_2\\ x_1-x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7\\ 1\end{array}\right]=\mathbf{b}$

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6. Ecuación Vectorial

6.1 Interpretación por Columnas

Interpretación Vectorial del Sistema

El sistema $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ puede interpretarse como:

$x_1{\mathbf{a}}_1+x_2{\mathbf{a}}_2+\cdots +x_n{\mathbf{a}}_n=\mathbf{b}$

donde ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\dots ,{\mathbf{a}}_n$ son las columnas de la matriz $A$.

6.2 Equivalencia de Representaciones

Teorema - Equivalencia de Formas

Las siguientes representaciones son equivalentes:

1. Sistema de ecuaciones: Forma tradicional
2. Ecuación matricial: $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$
3. Ecuación vectorial: $x_1{\mathbf{a}}_1+x_2{\mathbf{a}}_2+\cdots +x_n{\mathbf{a}}_n=\mathbf{b}$
4. Matriz ampliada: $[{\mathbf{a}}_1;{\mathbf{a}}_2;\cdots ;{\mathbf{a}}_n;|;\mathbf{b}]$

6.3 Ejemplo de Equivalencia

Ejemplo 4 - Tres Representaciones

Sistema tradicional: $\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2=5\\ 3x_1-x_2=1\end{array}$

Ecuación matricial: $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ & \\ 3& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right]$

Ecuación vectorial: $x_1\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right]$

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7. Propiedades del Producto Matriz-Vector

7.1 Propiedades Algebraicas

Teorema - Propiedades del Producto

Si $A$ es una matriz $m\times n$, $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ son vectores en ${\mathbb{R}}^n$, y $c$ es un escalar, entonces:

a. $A(\mathbf{u}+\mathbf{v})=A\mathbf{u}+A\mathbf{v}$ (Distributividad)

b. $A(c\mathbf{u})=c(A\mathbf{u})$ (Homogeneidad)

7.2 Interpretación Geométrica

Significado Geométrico

La multiplicación por una matriz puede interpretarse como una transformación lineal que:

• Preserva la suma de vectores
• Preserva la multiplicación escalar
• Mapea el espacio ${\mathbb{R}}^n$ al espacio ${\mathbb{R}}^m$

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8. Conexión con Existencia de Soluciones

8.1 Reformulación del Problema

Equivalencia Fundamental

La ecuación $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ tiene solución si y solo si $\mathbf{b}$ es una combinación lineal de las columnas de $A$.

8.2 Interpretación Vectorial

Pregunta Clave

¿Está $\mathbf{b}$ en el subespacio generado por las columnas de $A$?

En otras palabras: ¿Pertenece $\mathbf{b}$ a $\text{Gen}{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\dots ,{\mathbf{a}}_n$?

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Confundir dimensiones en multiplicación

• Incorrecto: Intentar multiplicar una matriz $2\times 3$ por un vector de 2 componentes
• Correcto: La matriz $m\times n$ debe multiplicarse por un vector de $n$ componentes

Error 2: Mal orden en el producto punto

• Incorrecto: Usar la columna de $A$ en lugar de la fila para el producto punto
• Correcto: Cada entrada de $A\mathbf{x}$ es el producto punto de una fila de $A$ con $\mathbf{x}$

Error 3: Interpretar mal la matriz ampliada

• Incorrecto: Incluir la columna de términos constantes en la matriz de coeficientes
• Correcto: Distinguir claramente entre $A$ y la matriz ampliada $[A|\mathbf{b}]$

Error 4: Confundir representaciones equivalentes

• Incorrecto: Pensar que las diferentes formas cambian el problema
• Correcto: Todas las representaciones describen el mismo sistema lineal

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicios Básicos

Ejercicios Fundamentales

1. Identificación de dimensiones: Para cada matriz, determine su tamaño:

   a) $A=\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 0& 5& -1\end{array}\right]$

   b) $B=\left[\begin{array}{c}4\\ -3\\ 2\\ 1\end{array}\right]$

2. Multiplicación matriz-vector: Calcule los siguientes productos:

   a) $\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}5\\ -2\end{array}\right]$

   b) $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -3\\ 2& -1& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ -1\end{array}\right]$

3. Conversión a forma matricial: Escriba cada sistema como $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$:

   a) $\{\begin{array}{l}3x-2y=7\\ x+4y=-1\end{array}$

   b) $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2-x_3=2\\ 2x_2+3x_3=0\\ -x_1+x_3=5\end{array}$

Ejercicios Intermedios

Problemas de Aplicación

4. Ecuación vectorial: Para el sistema $\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 3\end{array}\right]\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}4\\ 7\end{array}\right]$:

   a) Escriba la ecuación vectorial equivalente b) Interprete geométricamente el problema

5. Verificación de soluciones: Para $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ donde $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& -1\end{array}\right]$ y $\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right]$:

   Verifique si $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$ es solución

6. Propiedades del producto: Demuestre que si $A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right]$, $\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$ y $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}3\\ -1\end{array}\right]$:

   $A(\mathbf{u}+\mathbf{v})=A\mathbf{u}+A\mathbf{v}$

Ejercicios Avanzados

Problemas Conceptuales

7. Análisis de consistencia: Para el sistema $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ con: $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& 1& 3\\ 2& 5& 1\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}4\\ 3\\ k\end{array}\right]$

¿Para qué valores de $k$ el sistema es consistente?

8. Transformaciones lineales: Describa geométricamente qué hace la transformación $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ donde: $A=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos Fundamentales

1. Matriz: Arreglo rectangular de números con filas y columnas
2. Tamaño de matriz: $m\times n$ (filas × columnas)
3. Matriz de coeficientes: Solo los coeficientes de las variables
4. Matriz ampliada: Coeficientes + términos constantes
5. Producto matriz-vector: Combinación de productos punto con filas
6. Ecuación matricial: $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$
7. Ecuación vectorial: Combinación lineal de columnas de $A$
8. Equivalencia: Todas las formas representan el mismo sistema

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo identificar el tamaño de cualquier matriz
• Comprendo la diferencia entre matriz de coeficientes y matriz ampliada
• Sé calcular productos matriz-vector correctamente
• Puedo convertir sistemas a forma matricial $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$
• Entiendo la interpretación vectorial por columnas
• Reconozco cuándo un producto está definido (compatibilidad de dimensiones)
• Puedo verificar soluciones usando la ecuación matricial
• Comprendo las propiedades algebraicas del producto matriz-vector

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🔗 Conexiones con Otros Temas

Vínculos Conceptuales

Clases anteriores:

• 5) Introducción a Sistemas de Ecuaciones LinealesAi - Motivación geométrica de sistemas

• 6) Definiciones y Conceptos de Sistemas Lineales - Definiciones de sistemas lineales

Conceptos relacionados:

• Combinacion-Lineal - Ecuación vectorial
• Producto-Punto - Base del producto matriz-vector
• Transformacion-Lineal - Interpretación geométrica

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 1.1, págs. 4-6; Sección 1.3, págs. 29-30; Sección 1.4, págs. 34-39
• Poole, D. Álgebra lineal: Una introducción moderna. Sección 2.1, págs. 68-85

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Próxima Clase

En la Clase 08, estudiaremos las operaciones elementales de filas y las formas escalonadas, herramientas fundamentales para resolver sistemas lineales de manera sistemática.