8) Teorema de Existencia y Unicidad

Clase 08: Operaciones Elementales de Filas y Formas Escalonadas

📚 Introducción

Esta clase desarrolla las herramientas sistemáticas para resolver cualquier sistema de ecuaciones lineales mediante operaciones elementales de filas. Estudiaremos las formas escalonadas y el algoritmo de reducción por filas, que constituyen la base de métodos como Gauss y Gauss-Jordan.

Objetivos de la Clase

• Conocer las operaciones elementales de filas y sus propiedades
• Comprender las formas escalonada y escalonada reducida
• Estudiar sistemas equivalentes mediante operaciones de filas
• Desarrollar habilidades para aplicar el algoritmo de reducción
• Conectar operaciones de filas con resolución sistemática de sistemas

---

1. Operaciones Elementales de Filas

1.1 Las Tres Operaciones Fundamentales

Operaciones Elementales de Filas

Existen exactamente tres tipos de operaciones elementales que se pueden realizar sobre las filas de una matriz:

1. (Reemplazo) Sustituir una fila por la suma de sí misma y un múltiplo de otra fila

2. (Intercambio) Intercambiar dos filas

3. (Escalamiento) Multiplicar todos los elementos de una fila por una constante diferente de cero

1.2 Notación para Operaciones

Símbolos Estándar

• Reemplazo: $R_i\leftarrow R_i+c{R}_j$ (suma $c$ veces la fila $j$ a la fila $i$)
• Intercambio: $R_i\leftrightarrow R_j$ (intercambia las filas $i$ y $j$)
• Escalamiento: $R_i\leftarrow c{R}_i$ (multiplica la fila $i$ por $c\ne 0$)

1.3 Ejemplos de Operaciones

Ejemplo 1 - Aplicación de Operaciones Elementales

Matriz inicial: $\left[\begin{array}{cccc}1& -2& 1& 0\\ 0& 2& -8& 8\\ -4& 5& 9& -9\end{array}\right]$

Operación $R_3\leftarrow R_3+4R_1$: $\left[\begin{array}{cccc}1& -2& 1& 0\\ 0& 2& -8& 8\\ 0& -3& 13& -9\end{array}\right]$

Operación $R_2\leftarrow \frac{1}{2}{R}_2$: $\left[\begin{array}{cccc}1& -2& 1& 0\\ 0& 1& -4& 4\\ 0& -3& 13& -9\end{array}\right]$

---

2. Equivalencia por Filas

2.1 Concepto Fundamental

otra.

Se denota como $A\sim B$ cuando las matrices $A$ y $B$ son equivalentes por filas.

2.2 Propiedades de la Equivalencia por Filas

Teorema - Propiedades de Equivalencia

Si las matrices aumentadas de dos sistemas lineales son equivalentes por filas, entonces los dos sistemas tienen el mismo conjunto solución.

Las operaciones de filas son reversibles:

• Si se intercambian dos filas, se pueden intercambiar de nuevo
• Si se multiplica una fila por $c\ne 0$, se puede multiplicar por $1/c$
• Si se suma $c$ veces la fila $j$ a la fila $i$, se puede sumar $-c$ veces la fila $j$ a la fila $i$

2.3 Importancia para Resolución de Sistemas

Estrategia Fundamental

Cualquier solución del sistema original continúa siendo una solución del nuevo sistema, y viceversa. Esto permite transformar un sistema complejo en otro más sencillo sin cambiar las soluciones.

---

3. Forma Escalonada

3.1 Definición Formal

Definición - Forma Escalonada

Una matriz rectangular está en forma escalonada (o forma escalonada por filas) si tiene las siguientes tres propiedades:

1. Todas las filas diferentes de cero están arriba de las filas que solo contienen ceros

2. Cada entrada principal de una fila está en una columna a la derecha de la entrada principal de la fila superior

3. En una columna, todas las entradas debajo de la entrada principal son ceros

3.2 Conceptos Relacionados

Definiciones Complementarias

Entrada principal: La primera entrada diferente de cero (desde la izquierda) en una fila diferente de cero

Posición pivote: Ubicación de una entrada principal en la forma escalonada reducida

Columna pivote: Columna que contiene una posición pivote

3.3 Ejemplos de Forma Escalonada

Ejemplo 2 - Matrices en Forma Escalonada

Válidas (en forma escalonada): $\left[\begin{array}{cccc}■& \ast & \ast & \ast \\ & & & \\ 0& ■& \ast & \ast \\ & & & \\ 0& 0& 0& ■\\ & & & \\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ccccc}0& ■& \ast & \ast & \ast \\ & & & & \\ 0& 0& ■& \ast & \ast \\ & & & & \\ 0& 0& 0& 0& ■\\ & & & & \\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

donde ■ representa entradas principales y * cualquier número.

---

4. Forma Escalonada Reducida

4.1 Definición Avanzada

Definición - Forma Escalonada Reducida

Una matriz está en forma escalonada reducida (o forma escalonada reducida por filas) si satisface las condiciones adicionales:

1. La entrada principal en cada fila diferente de cero es 1

2. Cada entrada principal 1 es la única entrada distinta de cero en su columna

4.2 Unicidad de la Forma Escalonada Reducida

Teorema - Unicidad de la Forma Escalonada Reducida

Cada matriz es equivalente por filas a una, y solo a una, matriz escalonada reducida.

4.3 Ejemplos de Forma Escalonada Reducida

Ejemplo 3 - Matrices en Forma Escalonada Reducida

Forma escalonada reducida: $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \ast & 0\\ & & & \\ 0& 1& \ast & 0\\ & & & \\ 0& 0& 0& 1\\ & & & \\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& \ast & 0& 0& 0\\ & & & & & \\ 0& 0& 0& 1& 0& 0\\ & & & & & \\ 0& 0& 0& 0& 1& 0\\ & & & & & \\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

Las entradas principales son 1 y son las únicas entradas no nulas en sus columnas.

---

5. Algoritmo de Reducción por Filas

5.1 Procedimiento Sistemático

Algoritmo de Reducción por Filas

Paso 1: Comenzar con la columna diferente de cero del extremo izquierdo (columna pivote)

Paso 2: Seleccionar una entrada diferente de cero en la columna pivote como pivote. Si es necesario, intercambiar filas para mover esta entrada a la parte superior

Paso 3: Usar operaciones de reemplazo para crear ceros en todas las posiciones debajo del pivote

Paso 4: Cubrir la fila que contiene la posición pivote y repetir el proceso con la submatriz restante

Paso 5: Comenzando con la fila inferior, crear ceros arriba de cada entrada principal

5.2 Ejemplo Detallado del Algoritmo

Ejemplo 4 - Aplicación Completa del Algoritmo

Matriz inicial: $\left[\begin{array}{cccccc}0& 3& -6& 6& 4& -5\\ & & & & & \\ 3& -7& 8& -5& 8& 9\\ & & & & & \\ 3& -9& 12& -9& 6& 15\end{array}\right]$

Paso 1: La primera columna diferente de cero es la columna 1. Intercambiamos filas ($R_1\leftrightarrow R_2$): $\left[\begin{array}{cccccc}3& -7& 8& -5& 8& 9\\ & & & & & \\ 0& 3& -6& 6& 4& -5\\ & & & & & \\ 3& -9& 12& -9& 6& 15\end{array}\right]$

Paso 2: Crear ceros debajo del pivote ($R_3\leftarrow R_3-R_1$): $\left[\begin{array}{cccccc}3& -7& 8& -5& 8& 9\\ & & & & & \\ 0& 3& -6& 6& 4& -5\\ & & & & & \\ 0& -2& 4& -4& -2& 6\end{array}\right]$

Paso 3: Continuar con la submatriz, crear cero en posición (3,2) ($R_3\leftarrow R_3+\frac{2}{3}{R}_2$): $\left[\begin{array}{cccccc}3& -7& 8& -5& 8& 9\\ & & & & & \\ 0& 3& -6& 6& 4& -5\\ & & & & & \\ 0& 0& 0& 0& \frac{2}{3}& \frac{8}{3}\end{array}\right]$

5.3 Ventajas del Algoritmo

Beneficios del Método Sistemático

1. Aplicable a cualquier matriz: Funciona sin excepciones
2. Determinístico: Siempre produce el mismo resultado final
3. Eficiente: Minimiza el número de operaciones necesarias
4. Automatizable: Fácil de programar en computadoras

---

6. Aplicación a Sistemas de Ecuaciones

6.1 Resolución Sistemática

Ejemplo 5 - Sistema Completo

Sistema original: $\{\begin{array}{l}{x}_1-2x_2+x_3=0\\ \\ 2x_2-8x_3=8\\ \\ -4x_1+5x_2+9x_3=-9\end{array}$

Matriz ampliada inicial: $\left[\begin{array}{cccc}1& -2& 1& 0\\ & & & \\ 0& 2& -8& 8\\ & & & \\ -4& 5& 9& -9\end{array}\right]$

Después de reducción por filas: $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -3& 4\\ & & & \\ 0& 1& -4& 4\\ & & & \\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Sistema equivalente: $\{\begin{array}{l}{x}_1-3x_3=4\\ \\ x_2-4x_3=4\\ \\ 0=0\end{array}$

6.2 Interpretación de Resultados

Lectura de la Forma Escalonada

• Variables básicas: Corresponden a columnas pivote ($x_1,x_2$ en el ejemplo)
• Variables libres: Corresponden a columnas no pivote ($x_3$ en el ejemplo)
• Filas de ceros: Ecuaciones redundantes o dependientes

---

7. Posiciones Pivote

7.1 Identificación de Pivotes

Definición - Posición Pivote

Una posición pivote en una matriz $A$ es una ubicación en $A$ que corresponde a un 1 principal en la forma escalonada reducida de $A$.

Una columna pivote es una columna de $A$ que contiene una posición pivote.

7.2 Importancia de las Posiciones Pivote

Conexión con Soluciones

Las posiciones pivote determinan:

• Cuáles variables son básicas (una por cada posición pivote)
• Cuáles variables son libres (las restantes)
• La dimensión del espacio de soluciones

7.3 Ejemplo de Identificación

Ejemplo 6 - Posiciones Pivote

Para la matriz: $A=\left[\begin{array}{ccccc}0& -3& -6& 4& 9\\ & & & & \\ -1& -2& -1& 3& 1\\ & & & & \\ -2& -3& 0& 3& -1\\ & & & & \\ 1& 4& 5& -9& -7\end{array}\right]$

Forma escalonada reducida: $\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& -3& 0& 29\\ & & & & \\ 0& 1& 2& 0& 16\\ & & & & \\ 0& 0& 0& 1& 3\\ & & & & \\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Posiciones pivote: (1,1), (2,2), (3,4) Columnas pivote: 1, 2, 4

---

8. Equivalencia de Sistemas

8.1 Preservación de Soluciones

Teorema Fundamental

Si las matrices ampliadas de dos sistemas lineales son equivalentes por filas, entonces los dos sistemas tienen el mismo conjunto solución.

8.2 Reversibilidad

Propiedad Clave

Las operaciones elementales de filas son reversibles:

• Cada operación tiene una operación inversa
• Se puede “deshacer” cualquier secuencia de operaciones
• Esto garantiza que no se pierden ni se agregan soluciones

---

9. Sistemas Inconsistentes

9.1 Identificación

Criterio de Inconsistencia

Un sistema es inconsistente si y solo si la forma escalonada de su matriz ampliada tiene una fila de la forma: $[00\cdots 0|b]$ donde $b\ne 0$.

9.2 Ejemplo de Sistema Inconsistente

Ejemplo 7 - Sistema Sin Solución

Matriz ampliada después de reducción: $\left[\begin{array}{cccc}1& 2& -1& 4\\ & & & \\ 0& 1& 3& -2\\ & & & \\ 0& 0& 0& 5\end{array}\right]$

La última fila representa la ecuación $0=5$, que es imposible. Por tanto, el sistema es inconsistente.

---

10. Errores Comunes

Error 1: Aplicar operaciones incorrectamente

• Incorrecto: $R_2\leftarrow R_2+3R_1$ pero cambiar ambas filas
• Correcto: Solo cambiar la fila $R_2$, mantener $R_1$ igual

Error 2: Confundir forma escalonada con escalonada reducida

• Incorrecto: Pensar que cualquier matriz triangular está en forma escalonada reducida
• Correcto: La forma escalonada reducida requiere pivotes = 1 y ceros arriba y abajo

Error 3: No identificar correctamente las posiciones pivote

• Incorrecto: Identificar pivotes en la matriz original
• Correcto: Las posiciones pivote se determinan en la forma escalonada

Error 4: Intercambiar filas innecesariamente

• Incorrecto: Intercambiar filas cuando ya hay un elemento no nulo adecuado
• Correcto: Solo intercambiar cuando sea necesario para obtener un pivote no nulo

---

11. Ejercicios de Práctica

Ejercicios Básicos

Ejercicios Fundamentales

1. Operaciones elementales: Aplique las operaciones indicadas:

   a) $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ & & \\ 4& 5& 6\\ & & \\ 7& 8& 9\end{array}\right]$, realizar $R_2\leftarrow R_2-4R_1$

   b) Para la matriz resultante, aplicar $R_3\leftarrow R_3-7R_1$

2. Identificación de formas: Determine si cada matriz está en forma escalonada, escalonada reducida, o ninguna:

   a) $\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 3\\ & & & \\ 0& 0& 1& 4\\ & & & \\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

   b) $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 0\\ & & & \\ 0& 1& 3& 0\\ & & & \\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$

3. Posiciones pivote: Para cada matriz en forma escalonada, identifique las posiciones pivote:

   a) $\left[\begin{array}{cccc}2& 4& -2& 1\\ 0& 1& 5& 3\\ & & & \\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right]$

Ejercicios Intermedios

Problemas de Aplicación

4. Reducción completa: Reduzca la siguiente matriz a forma escalonada reducida: $\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 4& 7\\ & & & \\ 2& -1& 3& 1\\ & & & \\ -1& 2& 1& 6\end{array}\right]$

5. Resolución de sistemas: Use reducción por filas para resolver: $\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2-x_3=3\\ \\ 2x_1+x_2+x_3=1\\ \\ x_1-x_2+2x_3=-2\end{array}$

6. Análisis de consistencia: Determine si el siguiente sistema es consistente: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=2\\ \\ 2x_1+3x_2+x_3=5\\ \\ x_1+2x_2=4\end{array}$

Ejercicios Avanzados

Problemas Conceptuales

7. Sistemas paramétricos: Para qué valores de $h$ el siguiente sistema es consistente: $\{\begin{array}{l}{x}_1+3x_2=2\\ \\ 4x_1+h{x}_2=8\end{array}$

8. Equivalencia por filas: Demuestre que las siguientes matrices son equivalentes por filas encontrando la secuencia de operaciones: $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ & \\ 3& 4\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ & \\ 0& 1\end{array}\right]$

---

12. Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos Fundamentales

1. Tres operaciones elementales: Reemplazo, intercambio, escalamiento
2. Equivalencia por filas: Preserva el conjunto solución
3. Forma escalonada: Estructura triangular con pivotes bien ubicados
4. Forma escalonada reducida: Forma única con pivotes = 1
5. Posiciones pivote: Determinan variables básicas y libres
6. Algoritmo de reducción: Procedimiento sistemático
7. Reversibilidad: Las operaciones se pueden deshacer
8. Inconsistencia: Fila [0 0 … 0 | b] con b ≠ 0

---

13. Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo aplicar correctamente las tres operaciones elementales
• Reconozco matrices en forma escalonada vs escalonada reducida
• Sé identificar posiciones pivote en cualquier matriz
• Puedo aplicar el algoritmo de reducción por filas paso a paso
• Entiendo por qué las operaciones preservan soluciones
• Reconozco cuándo un sistema es inconsistente
• Puedo convertir entre diferentes formas de representar sistemas
• Comprendo la importancia de las variables básicas vs libres

---

14. Conexiones con Otros Temas

Vínculos Conceptuales

Clases anteriores:

• 6) Definiciones y Conceptos de Sistemas Lineales - Definiciones de sistemas lineales

• 7) Matrices y Notación Matricial - Matrices y notación matricial

Conceptos relacionados:

• Matriz - Estructura fundamental
• Sistema-Equivalente - Preservación de soluciones
• Variable-Libre - Variables no básicas

---

15. Referencias

Lectura Principal

• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 1.1, págs. 6-7; Sección 1.2, págs. 12-15
• Poole, D. Álgebra lineal: Una introducción moderna. Sección 2.2, págs. 86-105

---

16. Tags

algebra-lineal operaciones-elementales forma-escalonada forma-escalonada-reducida algoritmo-reduccion posiciones-pivote sistemas-equivalentes clase-08

---

Próxima Clase

En la Clase 09, aplicaremos estas herramientas para desarrollar los algoritmos de Gauss y Gauss-Jordan, métodos estándar para resolver sistemas de ecuaciones lineales de manera eficiente.