19) Propiedades del Determinante

Clase 19: Propiedades del Determinante

---

📋 Resumen Ejecutivo

Objetivos de la Clase

En esta clase aprenderás a:

• Comprender cómo las operaciones de fila afectan al determinante
• Aplicar las propiedades del determinante para cálculos eficientes
• Usar la propiedad multiplicativa: $\det (AB)=\det (A)\det (B)$
• Relacionar el determinante con la transpuesta
• Calcular determinantes de inversas y potencias
• Aplicar el determinante para verificar invertibilidad

Idea Central

Las propiedades del determinante lo convierten en una herramienta extremadamente poderosa. En particular, conocer cómo las operaciones elementales de fila afectan al determinante nos permite calcularlos eficientemente mediante reducción por filas, y la propiedad multiplicativa conecta determinantes con productos de matrices.

---

1. Propiedades Relacionadas con Operaciones de Fila

1.1 Efecto de las Operaciones Elementales

Recordemos las tres operaciones elementales de fila y veamos cómo afectan al determinante:

Teorema - Operaciones de Fila y Determinante

Sea $A$ una matriz cuadrada. Las operaciones elementales de fila afectan al determinante de la siguiente manera:

1. Intercambio de filas: Si $B$ se obtiene intercambiando dos filas de $A$, entonces: $\det (B)=-\det (A)$

2. Escalamiento de una fila: Si $B$ se obtiene multiplicando una fila de $A$ por $k\ne 0$, entonces: $\det (B)=k\cdot \det (A)$

3. Reemplazo de fila: Si $B$ se obtiene sumando un múltiplo de una fila a otra fila de $A$, entonces: $\det (B)=\det (A)$

Ejemplo 1 - Efectos de operaciones de fila

Sea $A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right]$, entonces $\det (A)=(2)(4)-(1)(3)=5$

a) Intercambio: $B=\left[\begin{array}{cc}3& 4\\ 2& 1\end{array}\right]$ (filas intercambiadas) $\det (B)=(3)(1)-(4)(2)=-5=-\det (A)$ ✓

b) Escalamiento: $C=\left[\begin{array}{cc}6& 3\\ 3& 4\end{array}\right]$ (fila 1 multiplicada por 3) $\det (C)=(6)(4)-(3)(3)=15=3\cdot \det (A)$ ✓

c) Reemplazo: $D=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 2\end{array}\right]$ (fila 2 - 2·fila 1) $\det (D)=(2)(2)-(1)(-1)=5=\det (A)$ ✓

1.2 Cálculo Eficiente mediante Reducción por Filas

Estas propiedades nos permiten calcular determinantes usando eliminación gaussiana:

Estrategia - Cálculo por Reducción

Para calcular $\det (A)$:

1. Reduce $A$ a forma escalonada por filas usando operaciones elementales
2. Lleva la cuenta de cómo cada operación afecta al determinante
3. El determinante de una matriz triangular es el producto de sus entradas diagonales

Ejemplo 2 - Determinante por reducción

Calcular $\det (A)$ para $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 2& 3\\ 1& 1& 2\\ 2& 0& 1\end{array}\right]$

Solución:

Paso 1: Intercambiar filas 1 y 2 para tener un pivote en (1,1) $\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& 2& 3\\ 2& 0& 1\end{array}\right]\text{→}\det =-\det (A)$

Paso 2: $F_3-2F_1$ (operación de reemplazo, no cambia el det) $\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& 2& 3\\ 0& -2& -3\end{array}\right]$

Paso 3: $F_3+F_2$ (operación de reemplazo, no cambia el det) $\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& 2& 3\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

La matriz triangular tiene un cero en la diagonal, así que su determinante es 0. Por lo tanto: $-\det (A)=0$, entonces $\det (A)=0$

---

2. Propiedades Algebraicas del Determinante

2.1 Determinante del Producto

Una de las propiedades más importantes del determinante:

Teorema - Propiedad Multiplicativa

Para matrices cuadradas $A$ y $B$ del mismo tamaño: $\det (AB)=\det (A)\cdot \det (B)$

Esta propiedad también implica:

• $\det (A^k)=[\det (A){]}^k$ para cualquier entero positivo $k$

Ejemplo 3 - Propiedad multiplicativa

Sean $A=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$ y $B=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right]$

$\det (A)=6$ y $\det (B)=1$

$AB=\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 0& 3\end{array}\right]\Rightarrow \det (AB)=6$

Verificamos: $\det (AB)=6=6\cdot 1=\det (A)\cdot \det (B)$ ✓

2.2 Determinante de la Inversa

Teorema - Determinante de la Inversa

Si $A$ es invertible, entonces: $\det (A^{-1})=\frac{1}{\det (A)}=[\det (A){]}^{-1}$

Demostración: Como $A{A}^{-1}=I$, aplicando la propiedad multiplicativa: $\det (A{A}^{-1})=\det (A)\cdot \det (A^{-1})=\det (I)=1$ Por lo tanto: $\det (A^{-1})=\frac{1}{\det (A)}$ ∎

Ejemplo 4 - Determinante de la inversa

Si $A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$, entonces $\det (A)=1$

$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right]\Rightarrow \det (A^{-1})=2-1=1=\frac{1}{\det (A)}$ ✓

2.3 Determinante de la Transpuesta

Teorema - Determinante de la Transpuesta

Para cualquier matriz cuadrada $A$: $\det (A^T)=\det (A)$

Esta propiedad es sorprendente porque implica que:

• Todas las propiedades válidas para filas también son válidas para columnas
• Podemos expandir por cofactores usando filas O columnas indistintamente

Ejemplo 5 - Determinante de la transpuesta

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 4& 5\\ 0& 0& 6\end{array}\right]\Rightarrow A^T=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 4& 0\\ 3& 5& 6\end{array}\right]$

Ambas son triangulares: $\det (A)=1\cdot 4\cdot 6=24=\det (A^T)$ ✓

---

3. Propiedades Especiales

3.1 Filas o Columnas Proporcionales

Teorema - Filas/Columnas Proporcionales

Si una matriz $A$ tiene:

• Dos filas iguales, o
• Dos columnas iguales, o
• Una fila/columna de solo ceros

Entonces $\det (A)=0$.

Ejemplo 6 - Filas iguales

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 1& 2& 3\end{array}\right]$

Las filas 1 y 3 son iguales, por lo tanto $\det (A)=0$

Justificación: Si intercambiamos dos filas iguales, la matriz no cambia pero el determinante cambia de signo. La única forma de que $\det (A)=-\det (A)$ es que $\det (A)=0$.

3.2 Determinante y Escalares

Cuidado con los Escalares

Para una matriz $A$ de $n\times n$ y un escalar $c$: $\det (cA)=c^n\det (A)$

NO es simplemente $c\cdot \det (A)$, sino $c^n\cdot \det (A)$

Esto es porque multiplicar por $c$ afecta a TODAS las $n$ filas.

Ejemplo 7 - Determinante de múltiplo escalar

Sea $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$ con $\det (A)=-2$

$2A=\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 6& 8\end{array}\right]$

$\det (2A)=(2)(8)-(4)(6)=-8=2^2\cdot (-2)=4\cdot \det (A)$ ✓

---

4. Ampliación del Teorema de la Matriz Invertible

4.1 Nueva Equivalencia

Teorema de la Matriz Invertible (Actualizado)

Sea $A$ una matriz de $n\times n$. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(Todas las equivalencias anteriores de la Clase 17) +

(m) $\det (A)\ne 0$

Esto significa que verificar si $\det (A)\ne 0$ es suficiente para concluir que:

• $A$ es invertible
• Las columnas de $A$ son linealmente independientes
• $Ax=0$ tiene solo la solución trivial
• $Ax=b$ tiene solución única para todo $b$
• Y todas las demás equivalencias del TMI

Ejemplo 8 - Aplicación del TMI ampliado

Determina si $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$ es invertible.

Solución: Como $A$ es triangular superior: $\det (A)=1\cdot 1\cdot 2=2\ne 0$

Por el TMI, $A$ es invertible y todas las propiedades equivalentes se cumplen.

---

5. Resumen de Propiedades Principales

Tabla de Propiedades del Determinante

Propiedad	Fórmula	Observación
Identidad	$\det (I)=1$	Siempre
Producto	$\det (AB)=\det (A)\det (B)$	Muy útil
Inversa	$\det (A^{-1})=\frac{1}{\det (A)}$	Si $A$ invertible
Transpuesta	$\det (A^T)=\det (A)$	Siempre
Potencia	$\det (A^k)=[\det (A){]}^k$	Para $k$ entero
Escalar	$\det (cA)=c^n\det (A)$	$A$ es $n\times n$
Intercambio filas	$\det (B)=-\det (A)$	Una permutación
Escalar fila	$\det (B)=k\det (A)$	Multiplicar fila por $k$
Reemplazo fila	$\det (B)=\det (A)$	No cambia

---

🚨 Errores Comunes

Errores Frecuentes

1. Pensar que $\det (A+B)=\det (A)+\det (B)$: ¡FALSO! El determinante NO es aditivo

   • Ejemplo: $\det (I)+\det (I)=2$, pero $\det (2I)=2^n$

2. Olvidar el exponente en $\det (cA)=c^n\det (A)$: No es solo $c\det (A)$

3. Confundir $\det (AB)$ con $\det (A)\det (B)$: ¡Estos SÍ son iguales! (No es error)

4. Pensar que intercambiar filas no afecta al determinante: Cambia el signo

5. No llevar la cuenta de las operaciones al calcular por reducción de filas

---

📝 Ejemplos Resueltos Adicionales

Ejemplo 9 - Usando propiedades combinadas

Si $\det (A)=3$ y $\det (B)=-2$, calcula:

a) $\det (AB)$
b) $\det (2A)$ (si $A$ es $3\times 3$)
c) $\det (A^{-1}{B}^T)$

Solución:

a) $\det (AB)=\det (A)\det (B)=(3)(-2)=-6$

b) $\det (2A)=2^3\det (A)=8\cdot 3=24$

c) $\det (A^{-1}{B}^T)=\det (A^{-1})\det (B^T)=\frac{1}{\det (A)}\cdot \det (B)=\frac{1}{3}\cdot (-2)=-\frac{2}{3}$

Ejemplo 10 - Determinante de una matriz por bloques

Si $A=\left[\begin{array}{cc}B& C\\ 0& D\end{array}\right]$ donde $B$ y $D$ son matrices cuadradas, entonces: $\det (A)=\det (B)\cdot \det (D)$

(Esto es válido cuando la matriz es triangular por bloques)

---

🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos Fundamentales

1. Operaciones de fila: Intercambio (cambia signo), escalamiento (multiplica por $k$), reemplazo (no cambia)

2. Propiedad multiplicativa: $\det (AB)=\det (A)\det (B)$ — La más importante

3. Determinante de inversa: $\det (A^{-1})=1/\det (A)$

4. Determinante de transpuesta: $\det (A^T)=\det (A)$

5. Múltiplo escalar: $\det (cA)=c^n\det (A)$ para matriz $n\times n$

6. Filas/columnas iguales: $\det (A)=0$

7. TMI ampliado: $A$ invertible ⟺ $\det (A)\ne 0$

8. Cálculo eficiente: Usar reducción por filas

---

✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Entiendo cómo cada operación elemental afecta al determinante
• Puedo calcular determinantes usando reducción por filas
• Domino la propiedad multiplicativa $\det (AB)=\det (A)\det (B)$
• Sé calcular $\det (A^{-1})$ y $\det (A^T)$
• Entiendo por qué $\det (cA)=c^n\det (A)$ y no $c\det (A)$
• Reconozco cuándo un determinante es cero por filas/columnas iguales
• Puedo aplicar el TMI usando el determinante
• Sé combinar múltiples propiedades en un solo problema

---

🔗 Conexiones con Otros Temas

Vínculos Conceptuales

Clases anteriores:

• 17) Matrices Elementales - Teorema de la Matriz Invertible (ahora ampliado)
• 18) Definicion del Determinante - Definición del determinante

Próximas clases:

• 20) Regla de Cramer - Formula de la Inversa: Regla de Cramer (usa determinantes para resolver sistemas)
• 21) Aplicaciones Geometricas: Aplicaciones geométricas (volúmenes bajo transformaciones)

Conceptos relacionados:

• Valores-Propios - La traza y el determinante se relacionan con valores propios
• Matriz-Adjunta - Se usa en la fórmula explícita de $A^{-1}$

---

📚 Referencias

Lectura Principal

• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 3.2, págs. 169-174

---

🏷️ Tags

algebra-lineal determinante propiedades-determinante operaciones-fila propiedad-multiplicativa teorema-matriz-invertible det-inversa det-transpuesta clase-19

---

Próxima Clase

En la Clase 20, aprenderemos la Regla de Cramer, un método para resolver sistemas lineales usando determinantes, y la fórmula de la matriz adjunta que nos da una expresión explícita para calcular $A^{-1}$ en términos de determinantes.