21) Aplicaciones Geometricas

Clase 21: Aplicaciones Geométricas del Determinante

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📋 Resumen Ejecutivo

Objetivos de la Clase

En esta clase aprenderás a:

• Interpretar el determinante como un factor de escala de áreas y volúmenes
• Calcular áreas de paralelogramos y triángulos en ${\mathbb{R}}^2$
• Calcular volúmenes de paralelepípedos en ${\mathbb{R}}^3$
• Entender cómo las transformaciones lineales afectan las medidas geométricas
• Aplicar el determinante para resolver problemas geométricos
• Comprender el significado del signo del determinante (orientación)

Idea Central

El determinante tiene una interpretación geométrica profunda y hermosa: $|\det (A)|$ nos dice exactamente cuánto se expande o contrae un volumen (o área) cuando aplicamos la transformación lineal representada por $A$. Esta es quizás la interpretación más intuitiva y visual del determinante, conectando el álgebra abstracta con la geometría concreta.

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1. Áreas en el Plano (${\mathbb{R}}^2$)

1.1 El Paralelogramo Fundamental

Comencemos con la interpretación más básica del determinante en dos dimensiones.

Teorema

Área de un Paralelogramo en ${\mathbb{R}}^2$

Sean $\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$ y $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]$ dos vectores en ${\mathbb{R}}^2$.

El área del paralelogramo determinado por $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ es:

$\text{Aˊrea}=\left|\det \left[\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right]\right|=|ad-bc|$

El valor absoluto es necesario porque el determinante puede ser negativo.

La geometría detrás de esto es elegante. Cuando colocamos los dos vectores como lados adyacentes de un paralelogramo desde el origen, el determinante de la matriz que tiene estos vectores como columnas nos da el área (con signo) de ese paralelogramo.

Ejemplo 1 - Área de un paralelogramo

Encuentra el área del paralelogramo determinado por los vectores $\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]$ y $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right]$

Solución:

Formamos la matriz con los vectores como columnas: $A=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 4\end{array}\right]$

$\det (A)=(3)(4)-(1)(1)=12-1=11$

Por lo tanto, el área del paralelogramo es $|\det (A)|=|11|=11$ unidades cuadradas.

1.2 Áreas de Triángulos

Como un triángulo es exactamente la mitad de un paralelogramo, tenemos:

Corolario - Área de un Triángulo

El área del triángulo con vértices en el origen y los puntos definidos por $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ es:

$\text{Aˊrea del triaˊngulo}=\frac{1}{2}\left|\det \left[\begin{array}{cc}\mathbf{u}& \mathbf{v}\end{array}\right]\right|$

Ejemplo 2 - Área de un triángulo

Encuentra el área del triángulo con vértices en $(0,0)$, $(3,1)$ y $(1,4)$.

Solución:

Usando los vectores del Ejemplo 1: $\text{Aˊrea}=\frac{1}{2}|11|=5.5\text{ unidades cuadradas}$

1.3 Triángulos con Vértices Arbitrarios

¿Qué pasa si el triángulo no tiene un vértice en el origen?

Fórmula General para Triángulos

Para un triángulo con vértices en $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ y $(x_3,y_3)$:

$\text{Aˊrea}=\frac{1}{2}\left|\det \left[\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right]\right|$

Esta fórmula funciona trasladando el triángulo para que un vértice esté en el origen.

Ejemplo 3 - Triángulo con vértices arbitrarios

Encuentra el área del triángulo con vértices en $A(1,2)$, $B(4,6)$ y $C(2,8)$.

Solución:

$\text{Aˊrea}=\frac{1}{2}\left|\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 4& 6& 1\\ 2& 8& 1\end{array}\right|\right|$

Expandiendo por la tercera columna (todos son 1): $=\frac{1}{2}\left|1\cdot \left|\begin{array}{cc}4& 6\\ 2& 8\end{array}\right|-1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 8\end{array}\right|+1\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 6\end{array}\right|\right|$

$=\frac{1}{2}|1(32-12)-1(8-4)+1(6-8)|$ $=\frac{1}{2}|20-4-2|=\frac{1}{2}\cdot 14=7\text{ unidades cuadradas}$

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2. Volúmenes en el Espacio (${\mathbb{R}}^3$)

2.1 El Paralelepípedo

La idea del paralelogramo se extiende naturalmente a tres dimensiones.

Teorema

Volumen de un Paralelepípedo en ${\mathbb{R}}^3$

Sean $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ y $\mathbf{w}$ tres vectores en ${\mathbb{R}}^3$.

El volumen del paralelepípedo determinado por estos tres vectores es:

$\text{Volumen}=|\det [\mathbf{u}\mathbf{v}\mathbf{w}]|$

donde la matriz tiene los tres vectores como columnas.

Un paralelepípedo es la versión tridimensional del paralelogramo: es como una “caja inclinada” cuyos lados son los tres vectores dados.

Ejemplo 4 - Volumen de un paralelepípedo

Encuentra el volumen del paralelepípedo determinado por: $\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}0\\ 2\\ 0\end{array}\right],\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 3\end{array}\right]$

Solución:

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$

Como la matriz es triangular: $\det (A)=1\cdot 2\cdot 3=6$

El volumen es $|6|=6$ unidades cúbicas.

2.2 Tetraedros (Pirámides Triangulares)

Un tetraedro es a un paralelepípedo como un triángulo es a un paralelogramo.

Corolario - Volumen de un Tetraedro

El volumen de un tetraedro con un vértice en el origen y los otros tres definidos por $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ y $\mathbf{w}$ es:

$\text{Volumen del tetraedro}=\frac{1}{6}|\det [\mathbf{u}\mathbf{v}\mathbf{w}]|$

Ejemplo 5 - Volumen de un tetraedro

Usando los vectores del Ejemplo 4: $\text{Volumen del tetraedro}=\frac{1}{6}\cdot 6=1\text{ unidad cuˊbica}$

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3. Transformaciones Lineales y Factor de Escala

3.1 El Determinante como Factor de Escala

Una de las interpretaciones más poderosas del determinante surge al considerar transformaciones lineales.

Teorema - Factor de Escala de Volúmenes

Sea $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ una transformación lineal representada por la matriz $A$.

Si $S$ es cualquier región en ${\mathbb{R}}^n$ con volumen $V$, entonces la imagen $T(S)$ tiene volumen:

$\text{Volumen}(T(S))=|\det (A)|\cdot V$

En otras palabras, el determinante nos dice cuánto se expande o contrae el volumen bajo la transformación.

Esta es una afirmación notable. No importa qué región consideremos (un círculo, un cuadrado, una forma irregular), cuando aplicamos la transformación lineal $T$, el volumen siempre se escala por el mismo factor: $|\det (A)|$.

Ejemplo 6 - Transformación que duplica áreas

Considera la transformación $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ donde $A=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

Análisis: $\det (A)=2\cdot 1=2$

Esto significa que $T$ duplica todas las áreas. Si tomas cualquier figura plana (un círculo de área $\pi r^2$, un cuadrado de área $s^2$, etc.), su imagen tendrá el doble de área.

Interpretación geométrica: $T$ estira horizontalmente por un factor de 2 y deja la altura igual, por lo que el área se duplica.

Ejemplo 7 - Transformación que preserva volumen

Considera $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ donde $A$ es una matriz de rotación: $A=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$

Análisis: $\det (A)={\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$

Las rotaciones preservan áreas (no las cambian), lo cual tiene perfecto sentido geométrico.

3.2 Transformaciones que Colapsan Dimensiones

Caso Especial:

$\det (A)=0$

Si $\det (A)=0$, la transformación $T$ colapsa toda región a un volumen cero.

Geométricamente, esto significa que:

• En ${\mathbb{R}}^2$: Todo el plano se aplasta en una línea (o punto)
• En ${\mathbb{R}}^3$: Todo el espacio se aplasta en un plano, línea o punto

Por esto, matrices con $\det (A)=0$ son no invertibles: han perdido dimensiones y no podemos “deshacer” el aplastamiento.

Ejemplo 8 - Proyección que colapsa dimensiones

La proyección sobre el eje $x$ está dada por $A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$

$\det (A)=0$

Todo el plano se proyecta sobre el eje $x$, perdiendo toda la información sobre la coordenada $y$. Cualquier región bidimensional se convierte en un segmento de línea (volumen/área cero).

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4. El Signo del Determinante: Orientación

4.1 Significado del Signo

El valor absoluto del determinante nos da el factor de escala, pero ¿qué significa el signo?

Interpretación del Signo

El signo del determinante nos dice si la transformación preserva o invierte la orientación:

• $\det (A)>0$: La transformación preserva la orientación (mano derecha sigue siendo mano derecha)
• $\det (A)<0$: La transformación invierte la orientación (mano derecha se convierte en mano izquierda)
• $\det (A)=0$: La transformación colapsa dimensiones (no tiene orientación definida)

4.2 Ejemplo de Inversión de Orientación

Ejemplo 9 - Reflexión

La reflexión sobre el eje $y$ está dada por $A=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

$\det (A)=(-1)(1)=-1$

Interpretación:

• El valor absoluto $|-1|=1$ nos dice que las áreas no cambian
• El signo negativo nos dice que la orientación se invierte (como mirar algo en un espejo)

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5. Aplicaciones Prácticas

5.1 Prueba de Colinealidad

Aplicación - Puntos Colineales

Tres puntos $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ y $(x_3,y_3)$ son colineales (están en la misma línea) si y solo si:

$\left|\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right|=0$

Razón: Si están en la misma línea, el “triángulo” que forman tiene área cero.

Ejemplo 10 - Verificar colinealidad

¿Los puntos $(1,2)$, $(3,4)$ y $(5,6)$ son colineales?

Solución: $\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 3& 4& 1\\ 5& 6& 1\end{array}\right|=1(4-6)-2(3-5)+1(18-20)=-2+4-2=0$

Sí, son colineales. De hecho, están en la línea $y=x+1$.

5.2 Prueba de Coplanaridad

Aplicación

Puntos Coplanares en ${\mathbb{R}}^3$

Cuatro puntos en ${\mathbb{R}}^3$ son coplanares (están en el mismo plano) si y solo si el determinante de cierta matriz $4\times 4$ es cero.

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🚨 Errores Comunes

Errores Frecuentes

1. Olvidar el valor absoluto: El determinante puede ser negativo, pero áreas y volúmenes son siempre positivos

2. Confundir el signo con el tamaño: El signo indica orientación, no magnitud

3. Pensar que determinante grande = área grande siempre: Depende de las unidades y el contexto

4. No considerar que $\det (A)=0$ significa colapso dimensional, no “área pequeña”

5. Usar vectores fila en lugar de vectores columna al formar la matriz

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📝 Ejemplos Resueltos Adicionales

Ejemplo 11 - Área de un polígono

Encuentra el área del cuadrilátero con vértices $(0,0)$, $(2,0)$, $(3,2)$ y $(1,3)$.

Solución: Divide el cuadrilátero en dos triángulos y suma sus áreas:

• Triángulo 1: $(0,0)$, $(2,0)$, $(3,2)$
• Triángulo 2: $(0,0)$, $(3,2)$, $(1,3)$

(Cálculo dejado como ejercicio)

Ejemplo 12 - Factor de escala de una transformación compuesta

Si $\det (A)=3$ y $\det (B)=4$, ¿cuánto cambia el volumen bajo $T(\mathbf{x})=AB\mathbf{x}$?

Solución: $\det (AB)=\det (A)\cdot \det (B)=3\cdot 4=12$

Los volúmenes se multiplican por 12.

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos Fundamentales

1. Área de paralelogramo en ${\mathbb{R}}^2$: $|\det [\mathbf{u}\mathbf{v}]|$

2. Área de triángulo: Mitad del área del paralelogramo

3. Volumen de paralelepípedo en ${\mathbb{R}}^3$: $|\det [\mathbf{u}\mathbf{v}\mathbf{w}]|$

4. Factor de escala: $|\det (A)|$ nos dice cuánto cambian los volúmenes bajo $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$

5. Signo del determinante: Positivo preserva orientación, negativo la invierte

6. $\det (A)=0$: Colapso dimensional (proyección a menor dimensión)

7. Colinealidad y coplanaridad: Se verifican con determinantes igual a cero

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo calcular áreas de paralelogramos usando determinantes
• Sé encontrar áreas de triángulos con vértices dados
• Entiendo cómo calcular volúmenes de paralelepípedos
• Comprendo que $|\det (A)|$ es el factor de escala de volúmenes
• Entiendo el significado del signo del determinante
• Puedo verificar si puntos son colineales usando determinantes
• Reconozco cuándo $\det (A)=0$ significa colapso dimensional
• Puedo aplicar estas ideas a problemas geométricos

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🔗 Conexiones con Otros Temas

Vínculos Conceptuales

Próximas clases:

• 22) Espacios y Subespacios Vectoriales: Espacios vectoriales (dimensión y volumen están relacionados)

Conceptos relacionados:

• Producto-Cruz - En ${\mathbb{R}}^3$, relacionado con áreas y volúmenes
• Integrales-Múltiples - El jacobiano es un determinante que escala volúmenes

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 3.3, págs. 180-184

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Próxima Clase

En la Clase 22, comenzaremos un nuevo capítulo sobre espacios vectoriales y subespacios. Generalizaremos las ideas que hemos desarrollado en ${\mathbb{R}}^n$ a contextos más abstractos, definiendo axiomáticamente qué es un espacio vectorial y estudiando los subespacios vectoriales, que son subconjuntos que “heredan” la estructura de espacio vectorial.