24) Espacios Nulos y Espacios Columna

Clase 24: Espacios Nulos y Espacios Columna

📚 Introducción

Esta clase profundiza en dos subespacios fundamentales asociados a cualquier matriz: el espacio nulo y el espacio columna. Estos conceptos son esenciales para comprender la estructura de las soluciones de sistemas lineales y las propiedades de las transformaciones lineales.

Objetivos de la Clase

• Comprender la definición del espacio nulo de una matriz
• Estudiar el espacio columna y su relación con consistencia de sistemas
• Establecer la conexión entre espacios asociados a matrices y transformaciones lineales
• Aprender a encontrar bases para Nul A y Col A
• Comprender el núcleo y rango de una transformación lineal

---

1. El Espacio Nulo de una Matriz

1.1 Motivación

Consideremos el sistema homogéneo $Ax=0$. El conjunto de todas las soluciones de este sistema forma un subespacio importante.

Definición - Espacio Nulo

El espacio nulo de una matriz $A$ de $m\times n$, denotado como Nul $A$, es el conjunto de todas las soluciones de la ecuación homogénea $Ax=0$.

En notación de conjuntos: $\text{Nul }A=\{\mathbf{x}:\mathbf{x}\text{ estaˊ en }{\mathbb{R}}^n\text{ y }A\mathbf{x}=0\}$

1.2 Propiedades del Espacio Nulo

Teorema 1 - El Espacio Nulo es un Subespacio

El espacio nulo de una matriz $A$ de $m\times n$ es un subespacio de ${\mathbb{R}}^n$.

Demostración

Para demostrar que Nul $A$ es un subespacio de ${\mathbb{R}}^n$, debemos verificar:

1. El vector cero está en Nul $A$:

• $A0=0$, por lo que $0\in$ Nul $A$ ✓

2. Cerrado bajo suma:

• Si $\mathbf{u},\mathbf{v}\in$ Nul $A$, entonces $A\mathbf{u}=0$ y $A\mathbf{v}=0$
• $A(\mathbf{u}+\mathbf{v})=A\mathbf{u}+A\mathbf{v}=0+0=0$
• Por tanto, $\mathbf{u}+\mathbf{v}\in$ Nul $A$ ✓

3. Cerrado bajo multiplicación escalar:

• Si $\mathbf{u}\in$ Nul $A$ y $c$ es escalar, entonces $A\mathbf{u}=0$
• $A(c\mathbf{u})=c(A\mathbf{u})=c0=0$
• Por tanto, $c\mathbf{u}\in$ Nul $A$ ✓

1.3 Descripción Explícita de Nul A

Ejemplo 1 - Encontrando Nul A

Problema: Determine un conjunto generador del espacio nulo de la matriz

$A=\left[\begin{array}{ccccc}-3& 6& -1& 1& -7\\ 1& -2& 2& 3& -1\\ 2& -4& 5& 8& -4\end{array}\right]$

Solución:

Paso 1: Resolver el sistema $A\mathbf{x}=0$ mediante reducción por filas.

Matriz ampliada: $[\begin{array}{cccccc}-3& 6& -1& 1& -7& 0\\ 1& -2& 2& 3& -1& 0\\ 2& -4& 5& 8& -4& 0\end{array}]$

Paso 2: Reducir a forma escalonada:

$\left[\begin{array}{cccccc}1& -2& 0& -1& 3& 0\\ 0& 0& 1& 2& -2& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Paso 3: Escribir las variables básicas en términos de las libres.

Variables básicas: $x_1,x_3$
Variables libres: $x_2,x_4,x_5$

De la forma escalonada:

• $x_1=2x_2+x_4-3x_5$
• $x_3=-2x_4+2x_5$

Paso 4: Expresar la solución general:

$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2x_2+x_4-3x_5\\ x_2\\ -2x_4+2x_5\\ x_4\\ x_5\end{array}\right]=x_2\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -2\\ 1\\ 0\end{array}\right]+x_5\left[\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 2\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

Resultado: $\text{Nul }A=\text{Gen}\left\{\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -2\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 2\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}$

Observaciones Importantes

1. El número de vectores en el conjunto generador para Nul $A$ es igual al número de variables libres en $A\mathbf{x}=0$

2. Los vectores generadores son linealmente independientes de manera automática debido a cómo se construyen

3. Por tanto, estos vectores forman una base para Nul $A$

---

2. El Espacio Columna de una Matriz

2.1 Definición y Motivación

El espacio columna se define de forma más explícita que el espacio nulo:

Definición - Espacio Columna

El espacio columna de una matriz $A=[{\mathbf{a}}_1\cdots {\mathbf{a}}_n]$ de $m\times n$, denotado como Col $A$, es el conjunto de todas las combinaciones lineales de las columnas de $A$.

$\text{Col }A=\text{Gen}\{{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\dots ,{\mathbf{a}}_n\}$

Si $A=[{\mathbf{a}}_1\cdots {\mathbf{a}}_n]$, entonces $\text{Col }A=\{A\mathbf{x}:\mathbf{x}\text{ estaˊ en }{\mathbb{R}}^n\}$

2.2 El Espacio Columna es un Subespacio

Teorema 2 - El Espacio Columna es un Subespacio

El espacio columna de una matriz $A$ de $m\times n$ es un subespacio de ${\mathbb{R}}^m$.

Demostración

Ya que Gen$\{{\mathbf{a}}_1,\dots ,{\mathbf{a}}_n\}$ es un subespacio (por el teorema 1 de la sección anterior), el espacio columna de $A$ es un subespacio de ${\mathbb{R}}^m$.

2.3 Relación con Consistencia de Sistemas

Conexión Clave

La ecuación $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ tiene solución si y solo si $\mathbf{b}$ está en Col $A$.

En otras palabras: Col $A$ = ${\mathbb{R}}^m$ si y solo si la ecuación $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ tiene una solución para cada $\mathbf{b}$ en ${\mathbb{R}}^m$.

2.4 Encontrando una Base para Col A

Ejemplo 2 - Base para el Espacio Columna

Problema: Encuentre una base para Col $B$, donde

$B=\left[\begin{array}{ccccc}1& 4& 0& 2& 0\\ 0& 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Solución:

Cada columna que no es pivote de $B$ es una combinación lineal de las columnas pivote. Por ejemplo:

• ${\mathbf{b}}_2=4{\mathbf{b}}_1$
• ${\mathbf{b}}_4=2{\mathbf{b}}_1-{\mathbf{b}}_3$

Por tanto, podemos descartar ${\mathbf{b}}_2$ y ${\mathbf{b}}_4$ del conjunto generador para Col $B$. Comprobamos que $\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_3,{\mathbf{b}}_5\}$ es linealmente independiente (pues no hay relación de dependencia lineal entre estas columnas pivote).

Base para Col $B$: $\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]\right\}$

Teorema 3 - Las Columnas Pivote Forman una Base

Las columnas pivote de una matriz $A$ forman una base para Col $A$.

Advertencia Importante

Las columnas pivote de una forma escalonada $B$ de $A$ generalmente NO están en el espacio columna de $A$. Sin embargo, nos indican cuáles columnas de $A$ forman una base.

Procedimiento correcto:

1. Reducir $A$ por filas a una forma escalonada $B$
2. Identificar las columnas pivote en $B$
3. Usar las columnas correspondientes de la matriz original $A$ como base para Col $A$

Ejemplo 3 - Aplicación del Procedimiento

Problema: Es posible demostrar que la matriz

$A=\left[\begin{array}{ccccc}1& 4& 0& 2& -1\\ 3& 12& 1& 5& 5\\ 2& 8& 1& 3& 2\\ 5& 20& 2& 8& 8\end{array}\right]$

es equivalente por filas a la matriz $B$ del ejemplo 2. Encuentre una base para Col $A$.

Solución:

Las columnas 1, 3 y 5 de $B$ son columnas pivote, por lo que las columnas 1, 3 y 5 de $A$ forman una base para Col $A$:

$\text{Base para Col }A=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 2\\ 8\end{array}\right]\right\}$

---

3. Contraste entre Nul A y Col A

3.1 Comparación de Propiedades

Tabla Comparativa: Nul A vs Col A

Propiedad	Nul A	Col A
Definición	Definido implícitamente (soluciones de $A\mathbf{x}=0$)	Definido explícitamente (combinaciones lineales de columnas)
Subespacio de	${\mathbb{R}}^n$ (donde $A$ es $m\times n$)	${\mathbb{R}}^m$ (donde $A$ es $m\times n$)
Encontrar vectores	Requiere resolver $A\mathbf{x}=0$	Las columnas de $A$ se muestran directamente
Relación con entradas	No hay relación evidente	Existe relación evidente (las columnas de $A$ están en Col $A$)
Base típica	Vectores dados por variables libres	Columnas pivote de $A$
Verificación	Fácil: calcular $A\mathbf{v}$	Requiere operaciones de fila en $[\mathbf{b}\mid A]$
Contiene $0$	Siempre (por definición)	Solo si la forma escalonada tiene fila de ceros
Para $A$ invertible	Nul $A=\{0\}$	Col $A={\mathbb{R}}^n$

3.2 Relación con Transformaciones Lineales

Si consideramos $A$ como la matriz estándar de una transformación lineal $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$:

• Nul $A$ corresponde al núcleo (kernel) de $T$
• Col $A$ corresponde al rango (range o imagen) de $T$

---

4. Núcleo y Rango de una Transformación Lineal

4.1 Definiciones

Definición - Núcleo

El núcleo (o espacio nulo) de una transformación lineal $T:V\to W$ es el conjunto de todos los vectores $\mathbf{u}$ en $V$ tales que $T(\mathbf{u})=0$.

$\text{Nuc}(T)=\{\mathbf{u}\in V:T(\mathbf{u})=0\}$

Definición - Rango

El rango de $T$ es el conjunto de todos los vectores en $W$ de la forma $T(\mathbf{x})$ para alguna $\mathbf{x}$ en $V$.

$\text{Ran}(T)=\{T(\mathbf{x}):\mathbf{x}\in V\}$

4.2 Propiedades

Teorema 4 - Núcleo y Rango son Subespacios

Si $T:V\to W$ es una transformación lineal, entonces:

1. El núcleo de $T$ es un subespacio de $V$
2. El rango de $T$ es un subespacio de $W$

4.3 Relación con Matrices

Conexión con Espacios Matriciales

Si $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ para alguna matriz $A$, entonces:

• $\text{Nuc}(T)=\text{Nul }A$
• $\text{Ran}(T)=\text{Col }A$

Ejemplo 4 - Núcleo y Rango

Problema: Sea $T:{\mathbb{R}}^4\to {\mathbb{R}}^3$ definida por $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$, donde

$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -3& 2\\ 0& 1& 2& -1\\ -1& 2& 7& -7\end{array}\right]$

Encuentre bases para Nuc$(T)$ y Ran$(T)$.

Solución:

Para Nuc$(T)$ = Nul $A$:

Resolvemos $A\mathbf{x}=0$. Reduciendo por filas:

$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& -3& 2& 0\\ 0& 1& 2& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Variables libres: $x_3,x_4$

$\mathbf{x}=x_3\left[\begin{array}{c}3\\ -2\\ 1\\ 0\end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

Base para Nuc$(T)$: $\left\{\left[\begin{array}{c}3\\ -2\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}$

Para Ran$(T)$ = Col $A$:

Las columnas 1 y 2 son pivote, por lo que:

Base para Ran$(T)$: $\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right]\right\}$

---

5. Aplicaciones y Ejemplos Adicionales

5.1 Caracterización de Sistemas Consistentes

Corolario

El sistema $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ es consistente para todo $\mathbf{b}$ en ${\mathbb{R}}^m$ si y solo if Col $A={\mathbb{R}}^m$.

5.2 Dimensión y Bases

Observación sobre Dimensiones

Para una matriz $A$ de $m\times n$:

• dim(Nul $A$) = número de variables libres = $n-r$ (donde $r$ = rango)
• dim(Col $A$) = número de columnas pivote = $r$

Nota: $\text{dim(Nul }A)+\text{dim(Col }A)=n$

---

🚨 Conceptos Clave para Recordar

Ideas Centrales

1. Nul $A$ = conjunto de soluciones de $A\mathbf{x}=0$ (subespacio de ${\mathbb{R}}^n$)

2. Col $A$ = conjunto de todas las combinaciones lineales de columnas de $A$ (subespacio de ${\mathbb{R}}^m$)

3. Las columnas pivote de $A$ forman una base para Col $A$

4. El número de vectores en una base para Nul $A$ = número de variables libres

5. Núcleo (kernel) y rango (range) son generalizaciones de Nul $A$ y Col $A$ para transformaciones lineales

6. $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ es consistente $⟺$ $\mathbf{b}\in$ Col $A$

---

📝 Ejercicios y Problemas

Ejercicios Básicos

Ejercicios de Práctica

1. Verificación de pertenencia: Determine si $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}5\\ 3\\ -1\end{array}\right]$ está en Nul $A$, donde

   $A=\left[\begin{array}{ccc}3& -5& -3\\ 6& -2& 0\\ -8& 4& 1\end{array}\right]$

2. Base para Nul $A$: Encuentre una base del espacio nulo de la matriz

   $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 5& 0\\ 0& 1& 4& -2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

3. Base para Col $A$: Encuentre una base para el espacio columna de

   $A=\left[\begin{array}{ccccc}-3& 6& -1& 1& -7\\ 1& -2& 2& 3& -1\\ 2& -4& 5& 8& -4\end{array}\right]$

Ejercicios Intermedios

Problemas de Aplicación

4. Dimensiones: Sea $A$ una matriz de $4\times 7$ con dos columnas pivote. ¿Cuál es dim(Nul $A$)? ¿Cuál es dim(Col $A$)?

5. Núcleo y rango: Para la transformación $T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$ definida por

   $T\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_1-2x_2+x_3\\ 2x_1+x_2-3x_3\end{array}\right]$

   Encuentre bases para Nuc$(T)$ y Ran$(T)$.

6. Consistencia: ¿Para qué valores de $h$ el vector $\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ h\end{array}\right]$ está en Col $A$?

   $A=\left[\begin{array}{ccc}1& -3& 2\\ -3& 9& -6\\ 2& -6& 4\end{array}\right]$

Ejercicios Avanzados

Problemas Conceptuales

7. Análisis estructural: Si $A$ es una matriz de $5\times 9$ y Nul $A$ tiene dimensión 4, ¿cuántas columnas pivote tiene $A$? Justifique su respuesta.

8. Transformaciones: Sea $T:{\mathbb{P}}_3\to {\mathbb{P}}_2$ definida por $T(p(t))=p^{\prime }(t)$ (la derivada de $p$).

   a) Encuentre Nuc$(T)$
   b) Encuentre Ran$(T)$
   c) ¿Es $T$ sobreyectiva? ¿Es inyectiva?

---

🎯 Preparación para la Próxima Clase

Lo que Viene

En la Clase 25, estudiaremos los sistemas de coordenadas y el mapeo de coordenadas, que nos permitirán trabajar con diferentes bases y establecer isomorfismos entre espacios vectoriales.

Temas clave:

• Vector de coordenadas respecto a una base
• Mapeo de coordenadas como isomorfismo
• Cambio de coordenadas

---

🏷️ Tags

algebra-lineal espacio-nulo espacio-columna transformaciones-lineales nucleo rango bases consistencia clase-24

---

📚 Referencias

Lectura Principal

• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 4.2, págs. 198-205
• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 4.3, págs. 211-212

Temas Relacionados

• Clase 22 - Espacios y subespacios vectoriales
• Clase 23 - Conjuntos linealmente independientes; bases
• Sistema-Homogeneo - Sistemas $A\mathbf{x}=0$
• Bases - Conjuntos generadores linealmente independientes

---

Navegación

• ⬅️ Clase Anterior
• ➡️ Clase Siguiente