32) Matriz de Transformacion Lineal y Similitud

Clase 32: Matriz de una Transformación Lineal y Similitud de Representaciones

📚 Introducción

Esta clase profundiza en cómo representar matricialmente transformaciones lineales en espacios vectoriales arbitrarios y establece la importante relación de similitud entre matrices. Veremos cómo una misma transformación puede tener diferentes representaciones matriciales dependiendo de las bases elegidas, y cómo estas representaciones están relacionadas.

Objetivos de la Clase

• Comprender cómo construir la matriz de una transformación lineal respecto a bases arbitrarias
• Establecer la relación entre diferentes representaciones matriciales de la misma transformación
• Definir y entender el concepto de similitud de matrices
• Aplicar cambios de base para simplificar representaciones matriciales

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1. Matriz de una Transformación Lineal

1.1 Repaso: Matriz Estándar

Recordatorio - Matriz Estándar

Para una transformación lineal $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$, la matriz estándar $[T]$ se construye colocando como columnas las imágenes de los vectores de la base estándar:

$[T]=\left[\begin{array}{cccc}T({\mathbf{e}}_1)& T({\mathbf{e}}_2)& \cdots & T({\mathbf{e}}_n)\end{array}\right]$

donde $\{{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\dots ,{\mathbf{e}}_n\}$ es la base estándar de ${\mathbb{R}}^n$.

1.2 Matriz Respecto a Bases Arbitrarias

Definición - Matriz de Transformación respecto a Bases

Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales con dimensiones finitas, y sea $T:V\to W$ una transformación lineal. Si:

• $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,\dots ,{\mathbf{b}}_n\}$ es una base para $V$
• $\mathcal{C}=\{{\mathbf{c}}_1,{\mathbf{c}}_2,\dots ,{\mathbf{c}}_m\}$ es una base para $W$

La matriz $\mathcal{C}$-$\mathcal{B}$ para $T$, denotada $[T{]}_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ o $M_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}(T)$, es la matriz $m\times n$ cuya $j$-ésima columna es el vector de coordenadas $[T({\mathbf{b}}_j){]}_{\mathcal{C}}$.

$[T{]}_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}=\left[\begin{array}{cccc}[T({\mathbf{b}}_1){]}_{\mathcal{C}}& [T({\mathbf{b}}_2){]}_{\mathcal{C}}& \cdots & [T({\mathbf{b}}_n){]}_{\mathcal{C}}\end{array}\right]$

1.3 Propiedad Fundamental

Teorema - Propiedad de la Matriz de Transformación

Para cualquier $\mathbf{x}$ en $V$:

$[T(\mathbf{x}){]}_{\mathcal{C}}=[T{]}_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$

Es decir, el vector de coordenadas de $T(\mathbf{x})$ respecto a $\mathcal{C}$ se obtiene multiplicando la matriz de la transformación por el vector de coordenadas de $\mathbf{x}$ respecto a $\mathcal{B}$.

1.4 Ejemplo Desarrollado

Ejemplo 1 - Construcción de Matriz de Transformación

Sea $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ definida por: $T\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3x_1+4x_2\\ -2x_1+5x_2\end{array}\right)$

Sean las bases: $\mathcal{B}=\left\{{\mathbf{b}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{b}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\right\}$

$\mathcal{C}=\left\{{\mathbf{c}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{c}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\right\}$

Paso 1: Calcular $T({\mathbf{b}}_1)$ y $T({\mathbf{b}}_2)$

$T({\mathbf{b}}_1)=T\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right)$

$T({\mathbf{b}}_2)=T\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ -7\end{array}\right)$

Paso 2: Expresar en coordenadas respecto a $\mathcal{C}$

Como $\mathcal{C}$ es la base estándar:

$[T({\mathbf{b}}_1){]}_{\mathcal{C}}=\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right),[T({\mathbf{b}}_2){]}_{\mathcal{C}}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -7\end{array}\right)$

Paso 3: Construir la matriz

$[T{]}_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}=\left[\begin{array}{cc}7& -1\\ 3& -7\end{array}\right]$

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2. Cambio de Base

2.1 Matriz de Cambio de Base

Definición - Matriz de Cambio de Base

Sean $\mathcal{B}$ y $\mathcal{C}$ dos bases para un espacio vectorial $V$. La matriz de cambio de base de $\mathcal{B}$ a $\mathcal{C}$, denotada $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$, es la matriz cuyas columnas son los vectores de $\mathcal{B}$ expresados en coordenadas respecto a $\mathcal{C}$:

$P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}=\left[\begin{array}{cccc}[{\mathbf{b}}_1{]}_{\mathcal{C}}& [{\mathbf{b}}_2{]}_{\mathcal{C}}& \cdots & [{\mathbf{b}}_n{]}_{\mathcal{C}}\end{array}\right]$

2.2 Propiedad del Cambio de Base

Teorema - Conversión de Coordenadas

Para cualquier vector $\mathbf{x}$ en $V$:

$[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{C}}=P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$

Además, $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ es invertible y:

$P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}=(P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}{)}^{-1}$

2.3 Construcción de la Matriz de Cambio de Base

Método Práctico

Para encontrar $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ cuando ambas bases están en ${\mathbb{R}}^n$:

1. Formar la matriz aumentada $[\mathbf{C}|\mathbf{B}]$ donde las columnas de $\mathbf{C}$ son los vectores de $\mathcal{C}$ y las de $\mathbf{B}$ son los vectores de $\mathcal{B}$
2. Reducir por filas hasta obtener $[I|P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}]$

Ejemplo 2 - Matriz de Cambio de Base

Sean las bases en ${\mathbb{R}}^2$: $\mathcal{B}=\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\right\},\mathcal{C}=\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\right\}$

Método: Formar $[\mathbf{C}|\mathbf{B}]$ y reducir:

$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& -1\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 1\\ 0& 1& 1& -1\end{array}\right]$

Por lo tanto: $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$

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3. Similitud de Matrices

3.1 Definición de Similitud

Definición - Matrices Similares

Dos matrices $A$ y $B$ de $n\times n$ son similares si existe una matriz invertible $P$ tal que:

$A=PB{P}^{-1}$

o equivalentemente:

$B=P^{-1}AP$

Escribimos $A\sim B$ para indicar que $A$ y $B$ son similares.

3.2 Interpretación Geométrica

Significado de la Similitud

Dos matrices son similares si representan la misma transformación lineal pero respecto a bases diferentes.

Si $T:V\to V$ es una transformación lineal y $\mathcal{B}$ y $\mathcal{C}$ son bases para $V$, entonces:

$[T{]}_{\mathcal{C}}=P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}[T{]}_{\mathcal{B}}{P}_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}$

3.3 Teorema Principal de Similitud

Teorema - Representaciones Matriciales y Similitud

Sean $\mathcal{B}$ y $\mathcal{C}$ bases para un espacio vectorial $V$ de dimensión $n$, y sea $T:V\to V$ una transformación lineal. Si $P=P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ es la matriz de cambio de base, entonces:

$[T{]}_{\mathcal{C}}=P^{-1}[T{]}_{\mathcal{B}}P$

Es decir, las matrices $[T{]}_{\mathcal{B}}$ y $[T{]}_{\mathcal{C}}$ son similares.

3.4 Diagrama del Cambio de Base

Diagrama Conmutativo

El siguiente diagrama ilustra la relación entre las diferentes representaciones:

     V ──────T─────→ V
     │               │
 [ ]ᵦ│               │[ ]ᵦ
     ↓               ↓
    ℝⁿ ───[T]ᵦ────→ ℝⁿ
     │               │
   P │               │ P
     ↓               ↓
    ℝⁿ ───[T]ᶜ────→ ℝⁿ

La relación fundamental es: $[T{]}_{\mathcal{C}}=P^{-1}[T{]}_{\mathcal{B}}P$

3.5 Ejemplo Completo

Ejemplo 3 - Similitud de Matrices

Considere $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ con matriz estándar: $A=[T{]}_{\mathcal{E}}=\left[\begin{array}{cc}5& 2\\ 1& 4\end{array}\right]$

donde $\mathcal{E}$ es la base estándar. Encuentre la matriz de $T$ respecto a la base: $\mathcal{B}=\left\{{\mathbf{b}}_1=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{b}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)\right\}$

Solución:

Paso 1: Formar la matriz de cambio de base $P=P_{\mathcal{E}\leftarrow \mathcal{B}}=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -2\end{array}\right]$

Paso 2: Calcular $P^{-1}$ $P^{-1}=\frac{1}{-5}\left[\begin{array}{cc}-2& -1\\ -1& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2/5& 1/5\\ 1/5& -2/5\end{array}\right]$

Paso 3: Calcular $[T{]}_{\mathcal{B}}=P^{-1}AP$

$[T{]}_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{cc}2/5& 1/5\\ 1/5& -2/5\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}5& 2\\ 1& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -2\end{array}\right]$

$=\left[\begin{array}{cc}6& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$

Resultado: La transformación es mucho más simple en la base $\mathcal{B}$, siendo diagonal.

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4. Propiedades de las Matrices Similares

4.1 Propiedades que se Preservan

Teorema - Invariantes bajo Similitud

Si $A$ y $B$ son matrices similares, entonces:

1. Mismo determinante: $\det (A)=\det (B)$
2. Misma traza: $\text{tr}(A)=\text{tr}(B)$
3. Mismo polinomio característico: $\det (A-\lambda I)=\det (B-\lambda I)$
4. Mismos valores propios: (con las mismas multiplicidades)
5. Mismo rango: $\text{rank}(A)=\text{rank}(B)$
6. Misma invertibilidad: $A$ es invertible si y solo si $B$ es invertible

4.2 Demostración del Determinante

Demostración - Preservación del Determinante

Si $A=PB{P}^{-1}$, entonces:

$\det (A)=\det (PB{P}^{-1})$ $=\det (P)\cdot \det (B)\cdot \det (P^{-1})$ $=\det (P)\cdot \det (B)\cdot \frac{1}{\det (P)}$ $=\det (B)$

4.3 Relación es de Equivalencia

Propiedad - Relación de Equivalencia

La similitud es una relación de equivalencia en el conjunto de matrices $n\times n$:

1. Reflexiva: $A\sim A$ (usando $P=I$)
2. Simétrica: Si $A\sim B$, entonces $B\sim A$
3. Transitiva: Si $A\sim B$ y $B\sim C$, entonces $A\sim C$

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5. Aplicaciones de la Similitud

5.1 Diagonalización

Objetivo de la Diagonalización

El objetivo principal al estudiar similitud es encontrar una base $\mathcal{B}$ tal que $[T{]}_{\mathcal{B}}$ sea diagonal (o lo más simple posible).

Una matriz $A$ es diagonalizable si es similar a una matriz diagonal $D$: $A=PD{P}^{-1}$

5.2 Simplificación de Cálculos

Ejemplo 4 - Potencias de Matrices

Si $A=PD{P}^{-1}$ donde $D$ es diagonal, entonces:

$A^n=(PD{P}^{-1}{)}^n=P{D}^n{P}^{-1}$

Y calcular $D^n$ es trivial si $D=\text{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)$:

$D^n=\text{diag}({\lambda }_1^n,{\lambda }_2^n,\dots ,{\lambda }_n^n)$

5.3 Sistemas Dinámicos

Aplicación - Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

La similitud es fundamental para resolver sistemas de la forma:

${\mathbf{x}}^{\prime }=A\mathbf{x}$

Si $A=PD{P}^{-1}$, haciendo el cambio de variable $\mathbf{y}=P^{-1}\mathbf{x}$:

${\mathbf{y}}^{\prime }=D\mathbf{y}$

que es mucho más fácil de resolver.

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Confundir el orden en el cambio de base

• Incorrecto: Pensar que $P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}=P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$
• Correcto: $P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}=(P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}{)}^{-1}$

Error 2: Olvidar invertir la matriz en la fórmula de similitud

• Incorrecto: $[T{]}_{\mathcal{C}}=P[T{]}_{\mathcal{B}}P$
• Correcto: $[T{]}_{\mathcal{C}}=P^{-1}[T{]}_{\mathcal{B}}P$

Error 3: Asumir que matrices con los mismos valores propios son similares

• Incorrecto: Creer que tener los mismos valores propios garantiza similitud
• Correcto: Los mismos valores propios son necesarios pero no suficientes para similitud

Error 4: Confundir similitud con igualdad

• Incorrecto: Pensar que $A\sim B$ implica $A=B$
• Correcto: $A\sim B$ significa que representan la misma transformación en bases diferentes

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicios Básicos

Ejercicios Fundamentales

1. Matriz de transformación: Sea $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ definida por $T\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2x+y\\ x-y\end{array}\right)$ y sea $\mathcal{B}=\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\right\}$. Encuentre $[T{]}_{\mathcal{B}}$.

2. Cambio de base: Encuentre la matriz de cambio de base de $\mathcal{B}$ a $\mathcal{C}$ si: $\mathcal{B}=\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)\right\},\mathcal{C}=\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\right\}$

3. Verificación de similitud: Verifique que las matrices $A=\left[\begin{array}{cc}5& -1\\ 2& 2\end{array}\right]$ y $B=\left[\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$ son similares usando $P=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& -1\end{array}\right]$.

Ejercicios Intermedios

Problemas de Aplicación

4. Simplificación mediante cambio de base: Dada $A=\left[\begin{array}{cc}7& 2\\ -4& 1\end{array}\right]$, encuentre una base $\mathcal{B}$ tal que $[T{]}_{\mathcal{B}}$ sea diagonal, donde $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$.

5. Propiedades invariantes: Si $A$ es similar a $B=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right]$: a) ¿Cuál es $\det (A)$? b) ¿Cuál es $\text{tr}(A)$? c) ¿Cuáles son los valores propios de $A$?

6. Composición de transformaciones: Sean $\mathcal{B}$, $\mathcal{C}$ y $\mathcal{D}$ bases para espacios $V$, $W$ y $U$ respectivamente. Si $S:U\to V$ y $T:V\to W$, muestre que: $[T\circ S{]}_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{D}}=[T{]}_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}[S{]}_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{D}}$

Ejercicios Avanzados

Problemas Conceptuales

7. Caracterización de similitud: Demuestre que si $A$ es similar a $B$ y $B$ es invertible, entonces $A$ también es invertible y $A^{-1}$ es similar a $B^{-1}$.

8. Traza y similitud: Demuestre que si $A$ y $B$ son similares, entonces $\text{tr}(A)=\text{tr}(B)$.

9. Clasificación de transformaciones: Clasifique todas las transformaciones lineales $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ que satisfacen $T^2=T$ (proyecciones) según similitud.

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos Fundamentales

1. Matriz de transformación: $[T{]}_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ representa $T$ respecto a bases $\mathcal{B}$ y $\mathcal{C}$
2. Propiedad fundamental: $[T(\mathbf{x}){]}_{\mathcal{C}}=[T{]}_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$
3. Matriz de cambio de base: $P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}$ convierte coordenadas de $\mathcal{B}$ a $\mathcal{C}$
4. Similitud: $A\sim B$ si $A=PB{P}^{-1}$ para alguna $P$ invertible
5. Interpretación: Matrices similares representan la misma transformación en bases diferentes
6. Fórmula de cambio de base: $[T{]}_{\mathcal{C}}=P^{-1}[T{]}_{\mathcal{B}}P$
7. Invariantes: Determinante, traza, valores propios, y polinomio característico se preservan
8. Objetivo: Encontrar bases donde la representación sea más simple (idealmente diagonal)

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo construir la matriz de una transformación respecto a bases arbitrarias
• Entiendo cómo construir matrices de cambio de base
• Sé usar la fórmula $[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{C}}=P_{\mathcal{C}\leftarrow \mathcal{B}}[\mathbf{x}{]}_{\mathcal{B}}$
• Comprendo la definición de matrices similares
• Puedo aplicar la fórmula $[T{]}_{\mathcal{C}}=P^{-1}[T{]}_{\mathcal{B}}P$
• Reconozco qué propiedades se preservan bajo similitud
• Entiendo la interpretación geométrica de la similitud
• Puedo verificar si dos matrices son similares

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🔗 Conexiones con Otros Temas

Vínculos Conceptuales

Clases anteriores:

• Clase 13 - Introducción a transformaciones lineales
• Clase 14 - Matriz de una transformación lineal (base estándar)
• Clase 22 - Espacios y subespacios vectoriales

Próxima clase:

• Clase 33: Valores propios complejos y matrices de rotación

Conceptos relacionados:

• Diagonalización - Caso especial de similitud
• Valores-Propios - Invariantes bajo similitud
• Base - Fundamental para entender diferentes representaciones
• Cambio-Coordenadas - Aplicación práctica

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 4.4, págs. 288-293
• Poole, D. Álgebra lineal: Una introducción moderna. Sección 6.4

Lectura Complementaria

• Strang, G. Introducción al Álgebra Lineal. Capítulo 5, sección 5.2
• Anton, H. Álgebra Lineal Elemental. Capítulo 7, sección 7.3

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Próxima Clase

En la Clase 33, estudiaremos los valores propios complejos y estableceremos la relación entre matrices de rotación en el plano y valores propios complejos, completando nuestra comprensión de las transformaciones lineales.

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