19) Razones de Cambio y Razones Relacionadas

Clase 19: Razones de Cambio y Razones Relacionadas

📚 Introducción

Esta clase conecta el concepto abstracto de derivada con aplicaciones concretas en física, economía, y otras ciencias. La razón de cambio es simplemente otra forma de interpretar la derivada: nos indica qué tan rápido cambia una cantidad respecto a otra. Las razones relacionadas nos permiten encontrar la velocidad de cambio de una variable cuando conocemos la velocidad de cambio de otra variable relacionada.

Objetivos de la Clase

• Interpretar la derivada como razón de cambio en diferentes contextos
• Aplicar razones de cambio en física: velocidad y aceleración
• Aplicar razones de cambio en economía: costo marginal, ingreso marginal
• Resolver problemas de razones relacionadas mediante la regla de la cadena
• Identificar y relacionar variables que cambian simultáneamente

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1. Concepto de Razón de Cambio

1.1 Definición de Razon-de-Cambio

Definición - Razón de Cambio

Si $y=f(x)$, entonces la derivada $\frac{dy}{dx}$ representa la razón de cambio instantánea de $y$ respecto a $x$.

Esto significa que $\frac{dy}{dx}$ indica qué tan rápido cambia $y$ cuando $x$ cambia.

1.2 Razón de Cambio Promedio vs Instantánea

La razón de cambio promedio de $y=f(x)$ entre $x=x_1$ y $x=x_2$ es:

$\text{Razoˊn de cambio promedio}=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

La razón de cambio instantánea en $x=a$ es:

$\text{Razoˊn de cambio instantaˊnea}={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{dy}{dx}{|}_{x=a}=f^{\prime }(a)$

Observación

La razón de cambio promedio es la pendiente de la recta secante, mientras que la razón de cambio instantánea es la pendiente de la recta tangente.

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2. Aplicaciones en Física

2.1 Velocidad y Aceleración

Definiciones en Física

Si $s=f(t)$ es la función posición de un objeto que se mueve en línea recta:

• Velocidad instantánea: $v(t)=\frac{ds}{dt}=f^{\prime }(t)$
• Aceleración instantánea: $a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}s}{d{t}^2}=f^{\prime \prime }(t)$

Interpretación física:

• La velocidad es la razón de cambio de la posición respecto al tiempo
• La aceleración es la razón de cambio de la velocidad respecto al tiempo
• La aceleración también es la segunda derivada de la posición

2.2 Ejemplo: Movimiento Rectilíneo

Ejemplo - Partícula en Movimiento

La posición de una partícula está dada por $s(t)=t^3-6t^2+9t$, donde $t$ se mide en segundos y $s$ en metros.

a) Encuentre la velocidad en el instante $t$

$v(t)=\frac{ds}{dt}=3t^2-12t+9$

b) ¿Cuál es la velocidad después de 2 y 4 segundos?

• $v(2)=3(2{)}^2-12(2)+9=12-24+9=-3$ m/s
• $v(4)=3(4{)}^2-12(4)+9=48-48+9=9$ m/s

c) ¿Cuándo está en reposo la partícula?

En reposo cuando $v(t)=0$: $3t^2-12t+9=0$ $t^2-4t+3=0$ $(t-1)(t-3)=0$

La partícula está en reposo en $t=1$ s y $t=3$ s

d) Halle la aceleración

$a(t)=\frac{dv}{dt}=6t-12$

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3. Aplicaciones en Economía

3.1 Costo Marginal

Definición - Costo-Marginal

Si $C(x)$ es el costo total de producir $x$ unidades de un artículo, entonces el costo marginal es:

$C^{\prime }(x)=\frac{dC}{dx}$

Representa el costo aproximado de producir una unidad adicional.

3.2 Otras Funciones Marginales

• Ingreso marginal: $R^{\prime }(x)=\frac{dR}{dx}$ (razón de cambio del ingreso)
• Utilidad marginal: $U^{\prime }(x)=\frac{dU}{dx}$ (razón de cambio de la utilidad)

Donde $U(x)=R(x)-C(x)$ es la función utilidad.

3.3 Ejemplo: Costo Marginal

Ejemplo - Función de Costo

Una compañía ha estimado que el costo (en dólares) de producir $x$ artículos es:

$C(x)=10,000+5x+0.01x^2$

a) Encuentre la función de costo marginal

$C^{\prime }(x)=5+0.02x$

b) El costo marginal en el nivel de producción de 500 artículos es:

$C^{\prime }(500)=5+0.02(500)=5+10=$15$ /artículo

Esto significa que cuando $x=500$, el costo se incrementa aproximadamente $15 por cada artículo adicional producido.

c) Compare con el costo real del artículo 501:

Costo real: $C(501)-C(500)=[10,000+5(501)+0.01(501{)}^2]-[10,000+5(500)+0.01(500{)}^2]$

$=15.01$

El costo marginal $C^{\prime }(500)=15$ es una buena aproximación del costo real.

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4. Razones Relacionadas

4.1 Concepto de Razones-Relacionadas

Idea Principal

En problemas de razones relacionadas:

• Dos o más cantidades cambian con el tiempo
• Estas cantidades están relacionadas por una ecuación
• Conocemos la razón de cambio de una cantidad
• Queremos encontrar la razón de cambio de otra cantidad

4.2 Estrategia para Resolver Problemas

Método para Razones Relacionadas

Paso 1: Lea cuidadosamente el problema e identifique:

• ¿Qué cantidades cambian con el tiempo?
• ¿Qué razón de cambio se conoce?
• ¿Qué razón de cambio se busca?

Paso 2: Dibuje un diagrama si es posible

Paso 3: Introduzca notación. Asigne símbolos a todas las cantidades que varían con el tiempo $t$

Paso 4: Exprese la información dada y la razón requerida en términos de derivadas

Paso 5: Escriba una ecuación que relacione las variables

Paso 6: Derive implícitamente respecto a $t$ usando la regla de la cadena

Paso 7: Sustituya la información numérica dada y resuelva para la razón desconocida

4.3 Ejemplo: Escalera Resbalando

Ejemplo - Escalera contra Pared

Una escalera de 10 pies de largo está apoyada contra un muro vertical. Si la parte inferior se desliza alejándose de la pared a razón de 1 pie/s, ¿qué tan rápido resbala hacia abajo por la pared la parte superior cuando la parte inferior está a 6 pies del muro?

Paso 1-3: Dibujamos y definimos:

• $x$ = distancia desde la base de la escalera al muro
• $y$ = distancia desde el suelo a la parte superior de la escalera
• Conocido: $\frac{dx}{dt}=1$ pie/s cuando $x=6$
• Buscar: $\frac{dy}{dt}$ cuando $x=6$

Paso 5: Por el teorema de Pitágoras: $x^2+y^2=100$

Paso 6: Derivar respecto a $t$: $2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0$

$\frac{dy}{dt}=-\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}$

Paso 7: Cuando $x=6$: $y=\sqrt{100-36}=8$

$\frac{dy}{dt}=-\frac{6}{8}(1)=-\frac{3}{4}\text{ pies/s}$

La parte superior baja a razón de 3/4 pies/s (negativo indica descenso).

4.4 Ejemplo: Globo Inflándose

Ejemplo del Libro (pág. 224)

Se infla un globo esférico y su volumen crece a razón de 100 cm³/s. ¿Qué tan rápido aumenta el radio del globo cuando el diámetro es de 50 cm?

Datos:

• Conocido: $\frac{dV}{dt}=100$ cm³/s
• Buscar: $\frac{dr}{dt}$ cuando $r=25$ cm

Relación: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$

Derivar: $\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot \frac{dr}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$

Resolver: $\frac{dr}{dt}=\frac{1}{4\pi r^2}\frac{dV}{dt}$

Cuando $r=25$: $\frac{dr}{dt}=\frac{100}{4\pi (25{)}^2}=\frac{1}{25\pi }\approx 0.0127\text{ cm/s}$

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5. Otras Aplicaciones en Ciencias

5.1 Biología

Crecimiento de Población

Si $n(t)$ es el número de individuos de una población en el tiempo $t$, entonces:

$\frac{dn}{dt}=\text{razoˊn de crecimiento de la poblacioˊn}$

Para población de bacterias que se duplica cada hora: $n(t)=n_0\cdot 2^t$

$\frac{dn}{dt}=n_0\cdot 2^t\ln 2$

5.2 Química

Velocidad de Reacción

Para una reacción $A+B\to C$, si $[C]$ denota la concentración del producto:

$\text{Velocidad de reaccioˊn}=\frac{d[C]}{dt}$

5.3 Física - Flujo de Sangre

Ley de Poiseuille

El flujo de sangre por un vaso sanguíneo es proporcional a $r^4$, donde $r$ es el radio:

$F=k\cdot r^4$

La razón de cambio del flujo respecto al radio: $\frac{dF}{dr}=4k{r}^3$

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Razón de cambio instantánea: Es la derivada $dy/dx$
2. Velocidad: Primera derivada de la posición $v=ds/dt$
3. Aceleración: Segunda derivada de la posición $a=d^{2}s/d{t}^2$
4. Costo marginal: Derivada del costo $C^{\prime }(x)=dC/dx$
5. Razones relacionadas: Usar regla de la cadena para relacionar $dx/dt$ y $dy/dt$
6. Estrategia: Identificar variables, relacionarlas, derivar implícitamente respecto a $t$

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Confundir razón promedio con instantánea

• Incorrecto: Usar $\Delta y/\Delta x$ cuando se pide la razón instantánea
• Correcto: Calcular la derivada $dy/dx$ para razón instantánea

Error 2: No derivar respecto a la variable correcta

• Incorrecto: En razones relacionadas, derivar solo respecto a $x$
• Correcto: Derivar respecto a $t$ usando regla de la cadena

Error 3: Sustituir valores antes de derivar

• Incorrecto: Reemplazar $x=6$ antes de derivar la ecuación
• Correcto: Primero derivar, luego sustituir los valores numéricos

Error 4: Olvidar el signo

• Incorrecto: Ignorar si la cantidad aumenta (+) o disminuye (-)
• Correcto: Interpretar el signo de $dx/dt$ según el contexto

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios de Práctica

Física:

1. Ejemplo 1, pág. 224: Posición de partícula y cálculo de velocidad/aceleración
2. Ejemplo 8, pág. 231: Movimiento de proyectil

Economía: 3. Ejemplo 2, pág. 245: Costo marginal de producción 4. Ejemplo 3, pág. 245: Ingreso marginal y utilidad marginal

Razones Relacionadas: 5. Escalera de 10 pies resbalando (ejemplo trabajado en clase) 6. Globo esférico inflándose (Ejemplo del libro) 7. Dos autos aproximándose a una intersección 8. Nivel de agua subiendo en un tanque cónico

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 3.7: Razones de cambio en las ciencias sociales y naturales, págs. 224-233
• Sección 3.9: Razones relacionadas, pág 244-248

Enlaces Relacionados

• 11) Razón de Cambio Promedio y Razón de Cambio Instantánea - Introducción al concepto
• Regla-de-la-Cadena - Técnica clave para razones relacionadas
• Derivacion-Implicita - Necesaria para derivar ecuaciones

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Sugerencia de Estudio

Las razones relacionadas requieren práctica para dominar la estrategia. No intentes memorizar procedimientos específicos para cada tipo de problema. En su lugar, enfócate en entender:

1. Cómo identificar las variables que cambian
2. Cómo relacionarlas mediante una ecuación
3. Cómo aplicar la regla de la cadena al derivar respecto al tiempo

Clave del éxito: Siempre pregúntate “¿qué está cambiando y con qué rapidez?”

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo interpretar la derivada como razón de cambio en diferentes contextos
• Comprendo la diferencia entre velocidad y aceleración
• Puedo calcular funciones marginales (costo, ingreso, utilidad)
• Entiendo cuándo usar razones relacionadas
• Sé identificar todas las variables que cambian con el tiempo
• Puedo derivar implícitamente respecto al tiempo
• Comprendo cuándo sustituir valores numéricos (después de derivar)
• Puedo interpretar el significado del signo en $dx/dt$

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Navegación

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