23) Bases Independencia lineal

Clase 23: Bases para Nul $A$ y Col $A$

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📋 Resumen Ejecutivo

Objetivos de la Clase

En esta clase aprenderás a:

• Comprender el concepto de base de un subespacio
• Encontrar una base para el espacio nulo (Nul $A$) usando variables libres
• Identificar las columnas pivote y usarlas como base para el espacio columna (Col $A$)
• Entender la relación entre bases y la descripción eficiente de subespacios
• Aplicar el Teorema del Conjunto Generador para construir bases
• Comprender la dimensión de un subespacio

Idea Central

Una base es un conjunto de vectores que describe un subespacio de la manera más eficiente posible: es lo suficientemente grande para generar todo el subespacio, pero lo suficientemente pequeño para ser linealmente independiente (sin redundancias). Encontrar bases para Nul $A$ y Col $A$ nos permite entender completamente la estructura de una transformación lineal.

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1. ¿Qué es una Base?

1.1 Definición

Definición - Base de un Subespacio

Una base de un subespacio $H$ es un conjunto de vectores $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,\dots ,{\mathbf{b}}_p\}$ tal que:

1. $\mathcal{B}$ genera $H$: $H=\text{Gen}\{{\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_p\}$
2. $\mathcal{B}$ es linealmente independiente

En otras palabras, una base es un conjunto generador mínimo o, equivalentemente, un conjunto linealmente independiente máximo.

1.2 ¿Por qué son importantes las bases?

Importancia de las Bases

Una base proporciona:

• Descripción completa: Todo vector en $H$ se puede expresar como combinación lineal de los vectores de la base
• Descripción única: Cada vector en $H$ tiene una representación única en términos de la base (debido a la independencia lineal)
• Eficiencia: Es la forma más compacta de describir el subespacio (sin vectores redundantes)
• Coordenadas: Los coeficientes en la combinación lineal son las “coordenadas” del vector respecto a esa base

1.3 Ejemplo Simple

Ejemplo 1

Base para ${\mathbb{R}}^2$

La base estándar de ${\mathbb{R}}^2$ es: $\mathcal{E}=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\right\}=\{{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2\}$

Verificación:

1. Genera ${\mathbb{R}}^2$: Cualquier vector $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=x{\mathbf{e}}_1+y{\mathbf{e}}_2$
2. Linealmente independiente: $c_1{\mathbf{e}}_1+c_2{\mathbf{e}}_2=0$ solo si $c_1=c_2=0$

Pero ${\mathbb{R}}^2$ tiene infinitas bases. Por ejemplo: $\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]\right\}$ también es una base de ${\mathbb{R}}^2$.

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2. El Teorema del Conjunto Generador

Este teorema nos da un algoritmo para convertir cualquier conjunto generador en una base.

Teorema del Conjunto Generador

Sea $S=\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_p\}$ un conjunto que genera un subespacio $H$.

(a) Si uno de los vectores de $S$, digamos ${\mathbf{v}}_k$, es una combinación lineal de los demás vectores de $S$, entonces el conjunto que se obtiene al eliminar ${\mathbf{v}}_k$ aún genera $H$.

(b) Si el conjunto generador original $S$ es linealmente independiente, entonces ya es una base para $H$. De lo contrario, uno de los vectores de $S$ depende de los demás y se puede eliminar. Siempre que haya dos o más vectores en el conjunto generado, podemos repetir este proceso hasta que el conjunto generador sea linealmente independiente y, por lo tanto, sea una base para $H$. Si el conjunto generador finalmente se reduce a un vector, ese vector será distinto de cero (y, por lo tanto, linealmente independiente), ya que $H\ne \{0\}$.

Idea clave: Para obtener una base a partir de un conjunto generador, simplemente eliminamos vectores redundantes (los que dependen de otros) hasta que nos quedemos solo con vectores linealmente independientes.

Ejemplo 2 - Aplicar el Teorema del Conjunto Generador

Sea $H=\text{Gen}\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}4\\ 6\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}$

Observación: El tercer vector es $2\times$ el segundo vector: $\left[\begin{array}{c}4\\ 6\\ 0\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ 0\end{array}\right]$

Por el Teorema del Conjunto Generador, podemos eliminarlo: $H=\text{Gen}\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}$

Estos tres vectores son linealmente independientes, así que forman una base de $H$.

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3. Base para el Espacio Nulo (Nul $A$)

3.1 El Método

El método para encontrar una base de Nul $A$ viene directamente de la solución del sistema homogéneo $A\mathbf{x}=0$.

Algoritmo - Base para Nul A

Para encontrar una base para Nul $A$:

1. Resuelve el sistema homogéneo $A\mathbf{x}=0$
2. Expresa la solución general en forma vectorial (paramétrica)
3. Los vectores que multiplican a las variables libres forman una base para Nul $A$

Este método siempre produce un conjunto linealmente independiente porque cada vector corresponde a una variable libre diferente.

3.2 Ejemplo Detallado

Ejemplo 3 - Base para Nul A

Encuentra una base para Nul $A$ donde $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& -5& 1\\ 2& 4& -8& 0\\ 0& 0& 2& -2\end{array}\right]$

Paso 1: Resolver $A\mathbf{x}=0$

Reducimos la matriz ampliada $[A\mid 0]$: $\left[\begin{array}{ccccc}1& 2& -5& 1& 0\\ 2& 4& -8& 0& 0\\ 0& 0& 2& -2& 0\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccccc}1& 2& 0& -4& 0\\ 0& 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Variables pivote: $x_1,x_3$
Variables libres: $x_2,x_4$

Paso 2: Expresar la solución general

Del sistema reducido:

• $x_1+2x_2-4x_4=0$ → $x_1=-2x_2+4x_4$
• $x_3-x_4=0$ → $x_3=x_4$

Solución general: $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-2x_2+4x_4\\ x_2\\ x_4\\ x_4\end{array}\right]$

Paso 3: Separar según variables libres $\mathbf{x}=x_2\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]+x_4\left[\begin{array}{c}4\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right]$

Base para Nul $A$: $\mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}4\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right]\right\}$

Verificación de independencia lineal: Estos dos vectores son linealmente independientes porque cada uno corresponde a una variable libre diferente (el primer vector tiene un 1 en la posición 2 y 0 en la 4; el segundo tiene 0 en la 2 y 1 en la 4).

3.3 Caso Especial: Nul $A=\{0\}$

Nota Importante

Si $A\mathbf{x}=0$ tiene solo la solución trivial (no hay variables libres), entonces:

• Nul $A=\{0\}$ (solo el vector cero)
• La base de Nul $A$ es el conjunto vacío $\varnothing$

Por convención, el conjunto vacío es la base del subespacio cero.

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4. Base para el Espacio Columna (Col $A$)

4.1 La Idea Principal

El espacio columna de $A$ está generado por todas las columnas de $A$. Pero no todas las columnas son necesarias: ¡las columnas pivote son suficientes!

Teorema - Columnas Pivote como Base

Las columnas pivote de $A$ forman una base para Col $A$.

Razón intuitiva: Las columnas no pivote siempre se pueden expresar como combinación lineal de las columnas pivote (esto viene de la forma escalonada reducida). Por el Teorema del Conjunto Generador, podemos eliminar las columnas no pivote y quedarnos solo con las pivote, que son linealmente independientes.

4.2 Advertencia Crucial

¡MUY IMPORTANTE!

Para encontrar una base para Col $A$:

1. Reduce $A$ a forma escalonada (o escalonada reducida)
2. Identifica qué columnas son pivote en la forma escalonada
3. Toma las columnas correspondientes de la matriz ORIGINAL $A$ (NO de la forma escalonada)

Las operaciones de fila cambian el espacio columna, así que debemos usar las columnas de $A$ original.

4.3 Ejemplo Detallado

Ejemplo 4 - Base para Col A

Encuentra una base para Col $A$ donde $A=\left[\begin{array}{ccccc}1& 4& 0& 2& -1\\ 3& 12& 1& 5& 5\\ 2& 8& 1& 3& 2\\ 5& 20& 2& 8& 8\end{array}\right]$

Paso 1: Reducir a forma escalonada $A\sim \left[\begin{array}{ccccc}1& 4& 0& 2& -1\\ 0& 0& 1& -1& 8\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Paso 2: Identificar columnas pivote

• Las columnas 1 y 3 tienen pivotes en la forma escalonada

Paso 3: Tomar las columnas correspondientes de $A$ ORIGINAL $\text{Base para Col }A=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\\ 5\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\\ 2\end{array}\right]\right\}$

Estas son las columnas 1 y 3 de la matriz original $A$.

4.4 Relación con Independencia Lineal

Conexión Importante

• Las columnas pivote de $A$ son linealmente independientes
• Las columnas no pivote dependen de las columnas pivote
• El número de columnas pivote = dimensión de Col $A$

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5. Equivalencia por Filas y Espacios Columna

5.1 Un Hecho Importante

Teorema - Equivalencia por Filas

Si $A$ y $B$ son equivalentes por filas (es decir, $B$ se obtiene de $A$ mediante operaciones de fila), entonces:

• Las columnas de $A$ y $B$ tienen exactamente las mismas relaciones de dependencia lineal
• Si $A\mathbf{x}=0$ tiene el mismo conjunto solución que $B\mathbf{x}=0$, entonces Nul $A$ = Nul $B$

Sin embargo: Col $A$ y Col $B$ generalmente son diferentes subespacios.

Este es un punto sutil pero importante: las operaciones de fila preservan las relaciones entre columnas, pero cambian las columnas mismas.

Ejemplo 5 - Matrices equivalentes por filas

Considera: $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 4& 0& 2\\ 3& 12& 1& 5\\ 2& 8& 1& 3\end{array}\right]$

Y supongamos que se reduce a: $B=\left[\begin{array}{cccc}1& 4& 0& 2\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

Observación:

• En $A$: $\text{columna 2}=4\times \text{columna 1}$
• En $B$: $\text{columna 2}=4\times \text{columna 1}$

La relación se preserva, aunque las columnas reales son diferentes.

Pero Col $A$ (un subespacio de ${\mathbb{R}}^3$) es diferente de Col $B$ (que solo tiene 2 dimensiones no nulas).

5.2 Implicación Práctica

Uso Práctico

Para encontrar relaciones de dependencia entre las columnas de $A$:

1. Reduce $A$ a forma escalonada $B$
2. Las relaciones en $B$ son las mismas que en $A$
3. Por ejemplo, si columna 4 = 2(columna 1) - (columna 3) en $B$, entonces también es cierto en $A$

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6. Dimensión de un Subespacio

6.1 Definición

Definición - Dimensión

La dimensión de un subespacio $H$, denotada dim $H$, es el número de vectores en cualquier base de $H$.

Este número está bien definido: todas las bases de un subespacio dado tienen el mismo número de vectores.

6.2 Ejemplos

Ejemplo 6 - Dimensiones de subespacios conocidos

• dim ${\mathbb{R}}^n$ = $n$ (la base estándar tiene $n$ vectores)
• dim (línea a través del origen en ${\mathbb{R}}^3$) = 1
• dim (plano a través del origen en ${\mathbb{R}}^3$) = 2
• dim $P_n$ = $n+1$ (base: $\{1,x,x^2,\dots ,x^n\}$)
• dim $\{0\}$ = 0 (por convención, la base es el conjunto vacío)

6.3 Dimensión de Nul $A$ y Col $A$

Dimensiones de Subespacios Asociados a una Matriz

Para una matriz $A$ de $m\times n$:

• dim(Nul $A$) = número de variables libres en $A\mathbf{x}=0$
• dim(Col $A$) = número de columnas pivote de $A$
• Teorema del Rango: dim(Nul $A$) + dim(Col $A$) = $n$ (número de columnas de $A$)

El “rango” de $A$ es otro nombre para dim(Col $A$).

Ejemplo 7 - Dimensiones para una matriz

Para la matriz del Ejemplo 3: $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& -5& 1\\ 2& 4& -8& 0\\ 0& 0& 2& -2\end{array}\right]$

• Columnas pivote: 2 (columnas 1 y 3)
• Variables libres: 2 ($x_2$ y $x_4$)
• dim(Col $A$) = 2
• dim(Nul $A$) = 2
• Verificación: $2+2=4$ (número de columnas) ✓

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🚨 Errores Comunes

Errores Frecuentes

1. Usar columnas de la forma escalonada para Col $A$: Siempre usa las columnas pivote de la matriz original

2. Confundir el número de columnas pivote con el número de filas: Son conceptos diferentes

3. Olvidar que cada variable libre da un vector en la base de Nul $A$

4. Pensar que una base es única: Hay infinitas bases para un subespacio (excepto $\{0\}$)

5. No simplificar la solución general antes de identificar los vectores de la base

6. Confundir dim(Nul $A$) con dim(Col $A$): Son dimensiones de subespacios en espacios diferentes

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📝 Ejemplos Resueltos Adicionales

Ejemplo 8 - Verificar si vectores forman una base

¿Los vectores ${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$, ${\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\end{array}\right]$, ${\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$ forman una base de ${\mathbb{R}}^3$?

Solución:

Para ser base de ${\mathbb{R}}^3$, deben ser linealmente independientes y generar ${\mathbb{R}}^3$. Como son 3 vectores en ${\mathbb{R}}^3$, basta verificar independencia lineal.

Formamos la matriz y calculamos su determinante: $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 1& 0\\ 3& 2& 1\end{array}\right]$

$\det (A)=1(1-0)-0(2-0)+1(4-3)=1+1=2\ne 0$

Como $\det (A)\ne 0$, las columnas son linealmente independientes. Por lo tanto, sí forman una base de ${\mathbb{R}}^3$.

Ejemplo 9

Base para un subespacio en $P_2$

Encuentra una base para $H=\{p(x)\in P_2:p(1)=0\}$

Solución:

Un polinomio $p(x)=a+bx+c{x}^2$ está en $H$ si: $p(1)=a+b+c=0$

Esto da $a=-b-c$, así que: $p(x)=(-b-c)+bx+c{x}^2=b(-1+x)+c(-1+x^2)$

Base para $H$: $\{-1+x,-1+x^2\}$

dim $H$ = 2

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos Fundamentales

1. Base: Conjunto generador linealmente independiente (mínimo)

2. Base para Nul $A$: Vectores asociados a variables libres en $A\mathbf{x}=0$

3. Base para Col $A$: Columnas pivote de la matriz original $A$

4. Teorema del Conjunto Generador: Elimina vectores dependientes para obtener una base

5. Dimensión: Número de vectores en cualquier base del subespacio

6. Teorema del Rango: dim(Nul $A$) + dim(Col $A$) = número de columnas de $A$

7. Equivalencia por filas: Preserva relaciones de dependencia, pero cambia Col $A$

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Comprendo qué es una base y por qué es útil
• Puedo encontrar una base para Nul $A$ usando variables libres
• Sé identificar columnas pivote en una forma escalonada
• Puedo encontrar una base para Col $A$ usando las columnas pivote de $A$ original
• Entiendo el concepto de dimensión de un subespacio
• Conozco y puedo aplicar el Teorema del Rango
• Sé cuándo usar columnas de $A$ original vs. forma escalonada
• Puedo verificar si un conjunto de vectores es una base

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 4.3, págs. 211-220

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🏷️ Tags

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Fin del Material de Estudio I2

¡Resumen!

Capítulo 2: Sistemas Lineales y Transformaciones (Clases 11-14)

• Conjunto solución de sistemas lineales
• Independencia lineal
• Transformaciones lineales y sus matrices

Capítulo 3: Álgebra de Matrices (Clases 15-17)

• Operaciones matriciales
• Matrices inversas
• Matrices elementales y Teorema de la Matriz Invertible

Capítulo 4: Determinantes (Clases 18-21)

• Definición y cálculo de determinantes
• Propiedades del determinante
• Regla de Cramer y matriz adjunta
• Aplicaciones geométricas (áreas y volúmenes)

Capítulo 5: Espacios Vectoriales (Clases 22-23)

• Espacios y subespacios vectoriales
• Bases para Nul $A$ y Col $A$