27) Teorema del Rango

Clase 27: Teorema del Rango

📚 Introducción

Esta clase desarrolla uno de los teoremas más importantes del álgebra lineal: el Teorema del Rango. Estableceremos las relaciones fundamentales entre las dimensiones del espacio columna, espacio fila y espacio nulo de una matriz, revelando conexiones profundas entre estos conceptos.

Objetivos de la Clase

• Comprender el concepto de espacio fila de una matriz
• Establecer el Teorema del Rango
• Relacionar dimensiones de espacios asociados a una matriz
• Aplicar el teorema para análisis de sistemas lineales
• Conectar conceptos de rango, nulidad y dimensión

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1. El Espacio Fila

1.1 Definición y Concepto

Definición - Espacio Fila

Si $A$ es una matriz de $m\times n$, cada fila de $A$ tiene $n$ entradas y, por lo tanto, se puede identificar con un vector en ${\mathbb{R}}^n$.

El espacio fila de $A$ es el subespacio de ${\mathbb{R}}^n$ generado por las filas de $A$, denotado como Fila $A$.

$\text{Fila }A=\text{Gen}\{{\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2,\dots ,{\mathbf{r}}_m\}$

donde ${\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2,\dots ,{\mathbf{r}}_m$ son las filas de $A$ vistas como vectores en ${\mathbb{R}}^n$.

1.2 Observación Importante

Conexión con Columnas de A^T

Ya que las filas de $A$ se identifican con las columnas de $A^T$, también podríamos escribir:

$\text{Fila }A=\text{Col }{A}^T$

Esta relación es útil cuando queremos aplicar teoremas sobre espacios columna.

1.3 Ejemplo Introductorio

Ejemplo 1 - Espacio Fila

Sea

{A = \begin{bmatrix} 2 & -4 & 7 & -1 & -6 \\ -1 & 2 & -4 & 1 & 4 \\ 2 & -11 & -18 & 6 & -1 \\ 1 & 6 & -12 & -4 & 2 \end{bmatrix} }$$ **Vectores fila**: - $\mathbf{r}_1 = (2, -4, 7, -1, -6)$ - $\mathbf{r}_2 = (-1, 2, -4, 1, 4)$ - $\mathbf{r}_3 = (2, -11, -18, 6, -1)$ - $\mathbf{r}_4 = (1, 6, -12, -4, 2)$ El espacio fila de $A$ es el subespacio de $\mathbb{R}^5$ generado por $\{\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \mathbf{r}_3, \mathbf{r}_4\}$.

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2. Equivalencia por Filas y Espacios Fila

2.1 Teorema Fundamental

Teorema 13 - Equivalencia por Filas

Si dos matrices $A$ y $B$ son equivalentes por filas, entonces sus espacios fila son iguales.

Si $B$ está en forma escalonada, las filas diferentes de cero de $B$ forman una base para el espacio fila de $A$, así como para el de $B$.

2.2 Demostración (Idea Principal)

Demostración: Si $B$ se obtiene a partir de $A$ mediante operaciones de fila, las filas de $B$ son combinaciones lineales de las filas de $A$. De ello se desprende que cualquier combinación lineal de las filas de $B$ es automáticamente una combinación lineal de las filas de $A$.

Así, el espacio fila de $B$ está contenido en el espacio fila de $A$. Ya que las operaciones de fila son reversibles, el mismo argumento indica que el espacio fila de $A$ es un subconjunto del espacio fila de $B$. De manera que los dos espacios fila son iguales.

Si $B$ está en forma escalonada, sus filas diferentes de cero son linealmente independientes porque ninguna fila diferente de cero es una combinación lineal de las filas distintas de cero debajo de esta (aplique el teorema 4 para las filas diferentes de cero de $B$ en orden inverso, con la primera fila como la última). Así, las filas diferentes de cero de $B$ forman una base del espacio fila (común) de $B$ y $A$. ∎

2.3 Ejemplo Completo

Ejemplo 2 - Encontrando Bases para los Tres Espacios

Encuentre bases para el espacio fila, el espacio columna y el espacio nulo de la matriz

$$A=\left[\begin{array}{ccccc}2& -4& 7& -1& -6\\ -1& 2& -4& 1& 4\\ 2& -11& -18& 6& -1\\ 1& 6& -12& -4& 2\end{array}\right]$$

SOLUCIÓN: Para encontrar las bases para el espacio fila y el espacio columna, reduzca $A$ por filas a una forma escalonada:

$$A\sim B=\left[\begin{array}{ccccc}1& -2& -4& 1& 4\\ 0& 1& 2& -2& -4\\ 0& 0& 1& -3& -2\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

Para el Espacio Fila:

De acuerdo con el Teorema 13, las tres primeras filas de $B$ forman una base para el espacio fila de $A$ (así como para el espacio fila de $B$). Así:

$\text{Base para Fila }A:\{(1,-2,-4,1,4),(0,1,2,-2,-4),(0,0,1,-3,-2)\}$

Para el Espacio Columna:

Observe a partir de $B$ que los pivotes están en las columnas 1, 2 y 4. Por lo tanto, las columnas 1, 2 y 4 de $A$ (no de $B$) forman una base para Col $A$:

$$\text{Base para Col }A:\left\{\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ 2\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-4\\ 2\\ -11\\ 6\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 6\\ -4\end{array}\right]\right\}$$

Para el Espacio Nulo:

La ecuación $A\mathbf{x}=0$ es equivalente a $B\mathbf{x}=0$, es decir:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1-2x_2-4x_5& =& 0\\ x_2+2x_3-2x_4-4x_5& =& 0\\ x_3-3x_4-2x_5& =& 0\end{array}$$

Así, $x_1=2x_2+4x_5$, $x_2=-2x_3+2x_4+4x_5$, $x_3=3x_4+2x_5$, con $x_4$ y $x_5$ como variables libres. Los cálculos usuales demuestran que:

$$\text{Base para Nul }A:\left\{\left[\begin{array}{c}-2\\ -2\\ 3\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-4\\ -4\\ 2\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}$$

Advertencia Importante

A pesar de que las tres primeras filas de $B$ en el Ejemplo 2 son linealmente independientes, es erróneo concluir que las tres primeras filas de $A$ son linealmente independientes.

(De hecho, la tercera fila de $A$ es la primera fila multiplicada por 2, más la segunda fila multiplicada por 4). Las operaciones de fila pueden cambiar las relaciones de dependencia lineal entre las filas de una matriz.

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3. El Teorema del Rango

3.1 Enunciado del Teorema

Teorema 14 - El Teorema del Rango

Las dimensiones del espacio columna y del espacio fila de una matriz $A$ de $m\times n$ son iguales. Esta dimensión común, el rango de $A$, también es igual al número de posiciones pivote en $A$ y satisface la ecuación:

$\text{rango }A+\dim \text{Nul }A=n$

3.2 Demostración

DEMOSTRACIÓN: De acuerdo con el Teorema 6 de la Sección 4.5, rango $A$ es el número de columnas pivote de $A$. De manera equivalente, rango $A$ es el número de posiciones pivote en una forma escalonada $B$ de $A$.

Además, puesto que $B$ tiene una fila diferente de cero para cada pivote, y como estas filas forman una base para el espacio fila de $A$, el rango de $A$ también es la dimensión del espacio fila.

A partir de la Sección 4.6, la dimensión de Nul $A$ es igual al número de variables libres en la ecuación $A\mathbf{x}=0$. Dicho de otra manera, la dimensión de Nul $A$ es el número de columnas de $A$ que no son columnas pivote. (Es el número de estas columnas, no las columnas mismas, lo que se relaciona con Nul $A$). Como es evidente:

$\left\{\begin{array}{c}\text{nuˊmero de}\\ \text{columnas pivote}\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}\text{nuˊmero de columnas}\\ \text{que no son pivote}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}\text{nuˊmero de}\\ \text{columnas}\end{array}\right\}$

Esto demuestra el teorema. ∎

3.3 Terminología: La Nulidad

Definición - Nulidad

La nulidad de una matriz $A$, denotada como nulidad $A$, es la dimensión de su espacio nulo:

$\text{nulidad }A=\dim \text{Nul }A$

Con esta terminología, el Teorema del Rango se puede reformular como:

$\boxed{\text{rango }A+\text{nulidad }A=n}$

donde $n$ es el número de columnas de $A$.

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4. Aplicaciones del Teorema del Rango

4.1 Para Sistemas de Ecuaciones

Aplicación a Sistemas Lineales

El Teorema del Rango es una herramienta poderosa para el procesamiento de información sobre sistemas de ecuaciones lineales. El siguiente ejemplo simula la forma como se plantearía un problema de la vida real utilizando ecuaciones lineales, sin mencionar explícitamente términos de álgebra lineal.

Ejemplo 3 - Aplicación a un Sistema Homogéneo

Un científico encontró dos soluciones para un sistema homogéneo de 40 ecuaciones con 42 variables. No son múltiplos las dos soluciones, y todas las demás soluciones se pueden desarrollar sumando múltiplos adecuados de estas dos soluciones. ¿Puede el científico estar seguro de que un sistema no homogéneo asociado (con los mismos coeficientes) tiene una solución?

SOLUCIÓN: Sí. Sea $A$ una matriz de coeficientes de $40\times 42$ del sistema. La información dada implica que las dos soluciones son linealmente independientes y generan Nul $A$, así que:

$\dim \text{Nul }A=2$

De acuerdo con el Teorema del Rango:

$\dim \text{Col }A=42-2=40$

Como ${\mathbb{R}}^{40}$ es el único subespacio de ${\mathbb{R}}^{40}$ cuya dimensión es 40, Col $A$ debe ser todo de ${\mathbb{R}}^{40}$. Esto significa que cada ecuación no homogénea $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ tiene una solución.

4.2 Determinación de Rango y Nulidad

Ejemplo 4 - Análisis de Dimensiones

a) Si $A$ es una matriz de $4\times 9$ con un espacio nulo de dimensión 2, ¿cuál es el rango de $A$?

b) ¿Podría una matriz de $6\times 9$ tener un espacio nulo de dimensión 2?

SOLUCIÓN:

a) Puesto que $A$ tiene 9 columnas, rango $A+2=9$; por lo tanto, rango $A=7$.

b) No. Si $B$ es una matriz de $6\times 9$, llamémosla $B$, tuviera un espacio nulo de dimensión 2, tendría rango 7, de acuerdo con el Teorema del Rango. Pero las columnas de $B$ son vectores en ${\mathbb{R}}^6$, de manera que la dimensión de Col $B$ no puede ser superior a 6; es decir, el rango de $B$ no puede ser mayor que 6.

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5. El Rango y el Teorema de la Matriz Invertible

5.1 Enunciados Adicionales

Los distintos conceptos de espacios vectoriales asociados a una matriz proporcionan varios enunciados adicionales al Teorema de la Matriz Invertible original de la Sección 2.3.

El Teorema de la Matriz Invertible (continuación)

Sea $A$ una matriz de $n\times n$. Cada uno de los siguientes enunciados es equivalente a la afirmación de que $A$ es una matriz invertible:

m) Las columnas de $A$ forman una base de ${\mathbb{R}}^n$.

n) Col $A={\mathbb{R}}^n$

o) dim Col $A=n$

p) rango $A=n$

q) Nul $A=\{0\}$

r) dim Nul $A=0$

5.2 Demostración

DEMOSTRACIÓN: El enunciado m) es lógicamente equivalente a los enunciados e) y h) en relación con la independencia lineal y la generación. Los otros cinco enunciados están vinculados a los anteriores del teorema mediante la siguiente cadena de implicaciones casi triviales:

$\text{g)}\Rightarrow \text{n)}\Rightarrow \text{o)}\Rightarrow \text{p)}\Rightarrow \text{r)}\Rightarrow \text{q)}\Rightarrow \text{d)}$

El enunciado g), el cual dice que la ecuación $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ tiene al menos una solución para cada $\mathbf{b}$ en ${\mathbb{R}}^n$, implica a n), porque Col $A$ es precisamente el conjunto de todas las $\mathbf{b}$ tales que la ecuación $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ es consistente. Las implicaciones $\text{n)}\Rightarrow \text{o)}\Rightarrow \text{p)}$ se deducen de las definiciones de dimensión y rango.

Si el rango de $A$ es $n$, el número de columnas de $A$, entonces dim Nul $A=0$, de acuerdo con el Teorema del Rango, y Nul $A=\{0\}$. Por lo tanto, $\text{p)}\Rightarrow \text{r)}\Rightarrow \text{q)}$.

Además, q) implica que la ecuación $A\mathbf{x}=0$ tiene solamente la solución trivial, que es el enunciado d). Como ya se sabe que los enunciados d) y g) son equivalentes al enunciado de que $A$ es invertible, la demostración está completa. ∎

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6. Observaciones Importantes

6.1 Nota sobre Computación

NOT NUMÉRICA

Muchos algoritmos analizados en este libro son útiles para comprender conceptos y efectuar cálculos sencillos a mano. Sin embargo, los algoritmos a menudo son inadecuados para los grandes problemas que surgen en la vida real.

La determinación de un rango es un buen ejemplo. Tal vez parezca fácil reducir una matriz a la forma escalonada y contar los pivotes. Pero, a menos que se realice aritmética exacta en una matriz cuyas entradas se especifiquen con exactitud, las operaciones de fila pueden cambiar el rango aparente de una matriz.

En las aplicaciones prácticas, el rango efectivo de una matriz $A$ con frecuencia se determina a partir de la descomposición en valores singulares de $A$, que se analizará en la Sección 7.4. Esta descomposición también es una fuente confiable de bases para Col $A$, Fila $A$, Nul $A$ y Nul $A^T$.

6.2 Resumen de Relaciones

Conexión de los Tres Espacios

El resultado principal de esta sección implica los tres espacios: Fila $A$, Col $A$ y Nul $A$.

El siguiente ejemplo prepara el camino para este resultado y muestra cómo una secuencia de operaciones de fila de $A$ conduce a las bases para los tres espacios.

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🚨 Conceptos Clave para Recordar

Ideas Centrales

1. Espacio Fila: Subespacio de ${\mathbb{R}}^n$ generado por las filas de la matriz

2. Equivalencia por Filas: Preserva el espacio fila

3. Teorema del Rango: rango $A$ + nulidad $A$ = $n$

4. Bases para Espacios: Las filas no nulas de la forma escalonada dan base para Fila $A$

5. Columnas Pivote: Las columnas pivote de $A$ (no de la forma escalonada) dan base para Col $A$

6. Dimensiones Iguales: dim(Fila $A$) = dim(Col $A$) = rango $A$

7. Nulidad: Dimensión del espacio nulo = número de variables libres

8. TMI Extendido: El teorema de la matriz invertible ahora incluye 6 condiciones más

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicios Básicos

Ejercicios Fundamentales

1. Encontrar bases: Para cada matriz, encuentre bases para Fila $A$, Col $A$ y Nul $A$:

   a) $A=\left[\begin{array}{cccc}1& -4& 9& -7\\ -1& 2& -4& 1\\ 5& -6& 10& 7\end{array}\right]$

   b) $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 5\\ 0& -2& 5& -6\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

2. Verificación del Teorema del Rango: Para cada matriz del ejercicio 1, verifique que rango $A$ + dim Nul $A$ = número de columnas.

3. Análisis de dimensiones: Determine si cada afirmación es verdadera o falsa:

   a) El rango de una matriz $3\times 5$ es a lo más 3

   b) Si una matriz $4\times 7$ tiene rango 3, entonces la dimensión de Nul $A$ es 4

   c) Si $B$ es cualquier forma escalonada de $A$, entonces las columnas pivote de $B$ forman una base para Col $A$

Ejercicios Intermedios

Problemas de Aplicación

4. Sistema homogéneo: Un científico encontró tres soluciones linealmente independientes para un sistema homogéneo de 10 ecuaciones con 12 variables. ¿Puede estar seguro de que:

   a) El sistema tiene infinitas soluciones?

   b) Toda solución es combinación lineal de estas tres soluciones?

5. Análisis dimensional: Si $A$ es una matriz de $7\times 5$ con rango 4:

   a) ¿Cuál es dim Nul $A$?

   b) ¿Cuál es dim Fila $A$?

   c) ¿Puede Nul $A$ contener un vector diferente de cero?

6. Imposibilidad: Explique por qué no puede existir una matriz de $5\times 8$ con Nul $A$ = $\{0\}$

Ejercicios Avanzados

Problemas Conceptuales

7. Demostración: Si $A$ es una matriz de $m\times n$ y $\text{rango }A=r$, demuestre que existe una matriz invertible $U$ de $m\times m$ y una matriz invertible $V$ de $n\times n$ tales que:

   $A=U\left[\begin{array}{cc}{I}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right]V$

8. Teorema de las cuatro dimensiones: Demuestre que para cualquier matriz $A$ de $m\times n$:

   $\dim (\text{Fila }A)+\dim (\text{Nul }A)=n$ $\dim (\text{Col }A)+\dim (\text{Nul }{A}^T)=m$

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos Fundamentales

1. Espacio fila: Gen{filas de $A$}, subespacio de ${\mathbb{R}}^n$
2. Equivalencia por filas preserva: El espacio fila
3. Teorema del Rango: rango + nulidad = número de columnas
4. Fórmula fundamental: $\text{rango }A+\dim \text{Nul }A=n$
5. Bases desde forma escalonada: Filas no nulas → base para Fila $A$
6. Columnas pivote originales: Base para Col $A$
7. Igualdad dimensional: dim(Fila $A$) = dim(Col $A$)
8. Nulidad: Número de variables libres en $A\mathbf{x}=0$

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Comprendo qué es el espacio fila y cómo se relaciona con $A^T$
• Puedo encontrar una base para el espacio fila usando forma escalonada
• Entiendo por qué las operaciones de fila preservan el espacio fila
• Sé enunciar y aplicar el Teorema del Rango
• Puedo calcular rango y nulidad de una matriz
• Comprendo la relación: rango + nulidad = número de columnas
• Sé encontrar bases para Fila $A$, Col $A$ y Nul $A$ simultáneamente
• Puedo aplicar el teorema para determinar existencia de soluciones
• Conozco los enunciados adicionales del TMI relacionados con rango

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🔗 Conexiones con Otros Temas

Vínculos Conceptuales

Clases anteriores:

• Clase 22 - Espacios y subespacios vectoriales
• Clase 23 - Espacios nulo y columna
• Clase 24 - Conjuntos linealmente independientes y bases
• Clase 25 - Sistemas de coordenadas
• Clase 26 - Dimensión de un espacio vectorial

Próxima clase:

• Clase 28: Cambio de base y coordenadas

Conceptos relacionados:

• Dimension - Concepto fundamental
• Base - Para cada espacio asociado
• Rango - Medida de independencia
• Nulidad - Medida de dependencia

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 4.6, págs. 230-236

Lectura Complementaria

• Strang, G. Introducción al Álgebra Lineal. Capítulo 3
• Poole, D. Álgebra lineal: Una introducción moderna. Sección 3.5

Recursos Adicionales

• Teorema del rango y sus aplicaciones
• Descomposición en valores singulares (SVD)
• Espacios fundamentales de una matriz

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Próxima Clase

En la Clase 28, estudiaremos el cambio de base y cómo las coordenadas de un vector cambian cuando cambiamos de una base a otra, introduciendo la matriz de cambio de coordenadas.

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