29) Valores y Vectores Propios

Clase 29: Valores y Vectores Propios

📚 Introducción

El objetivo de este capítulo es descomponer la acción de una transformación lineal $T:V\to V$ en elementos que sean de fácil visualización. Excepto por un breve paréntesis en la sección 5.4, en este capítulo todas las matrices son cuadradas. Las principales aplicaciones descritas aquí son para sistemas dinámicos discretos, incluyendo el ya mencionado asunto de los búhos manchados.

Los conceptos básicos, vectores propios y valores propios, son útiles en matemáticas puras y aplicadas, y se presentan en situaciones más generales que las que aquí se consideran. Los valores propios también sirven para estudiar ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos continuos, brindan información crítica en diseños de ingeniería, y se originan de manera natural en campos de la física y la química.

Objetivos de la Clase

• Comprender la definición de valor propio y vector propio
• Identificar valores propios mediante la ecuación característica
• Calcular vectores propios asociados a cada valor propio
• Determinar espacios propios y sus propiedades
• Aplicar estos conceptos a problemas prácticos

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1. Motivación Geométrica

1.1 El Problema de las Direcciones Especiales

No obstante que una transformación $T:V\to V$ puede mover vectores en diversas direcciones, a menudo sucede que hay vectores especiales sobre los cuales la acción de $T$ es bastante simple.

Observación Clave

Una transformación lineal puede “estirar” o “dilatar” ciertos vectores especiales sin cambiar su dirección. Estos vectores especiales se denominan vectores propios.

1.2 Ejemplo Visual

Ejemplo 1 - Visualización Geométrica

Sean $A=\left[\begin{array}{cc}3& -2\\ 1& 0\end{array}\right]$, $\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$ y $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$.

En la figura 1 se muestran las imágenes de u y v bajo la multiplicación por $A$.

Cálculos: $A\mathbf{u}=\left[\begin{array}{cc}3& -2\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-5\\ -1\end{array}\right]=5\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]=5\mathbf{u}$

$A\mathbf{v}=\left[\begin{array}{cc}3& -2\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]=2\mathbf{v}$

En efecto, v es precisamente $2\mathbf{v}$. Así, v es vector propio de $A$ correspondiente al valor propio 2, pero u no es un vector propio de $A$ porque $A\mathbf{u}$ no es múltiplo de u.

Interpretación Geométrica

Como otro ejemplo, los lectores de la sección 4.9 recordarán que si $A$ es una matriz estocástica, entonces el vector de estado estable $\mathbf{q}$ para $A$ satisface la ecuación $A\mathbf{q}=\mathbf{q}$. Es decir, $\mathbf{q}=1\cdot \mathbf{q}$.

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2. Definiciones Fundamentales

2.1 Vector Propio y Valor Propio

Definición - Vector Propio y Valor Propio

Un vector propio de una matriz $A$ de $n\times n$ es un vector distinto de cero x tal que $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$ para algún escalar $\lambda$.

Un escalar $\lambda$ es un valor propio de $A$ si existe una solución no trivial x de $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$; tal x es el vector propio correspondiente a $\lambda$.

2.2 Características Importantes

Propiedades Clave

Es fácil determinar si un vector dado es un vector propio de una matriz. También es sencillo decidir si cierto escalar es un valor propio.

• Un vector propio debe ser distinto de cero, por definición
• Un valor propio puede ser cero

2.3 Ejemplo de Identificación

Ejemplo 2 - Verificación de Vectores Propios

Problema: Sean $A=\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 5& 2\end{array}\right]$, $\mathbf{u}=\left[\begin{array}{c}6\\ -5\end{array}\right]$ y $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right]$. ¿Son u y v vectores propios de $A$?

Solución:

$A\mathbf{u}=\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 5& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}6\\ -5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-24\\ 20\end{array}\right]=-4\left[\begin{array}{c}6\\ -5\end{array}\right]=-4\mathbf{u}$

$A\mathbf{v}=\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 5& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-9\\ 11\end{array}\right]\ne \lambda \left[\begin{array}{c}3\\ -2\end{array}\right]$

Entonces, u es un vector propio correspondiente a un valor propio $(-4)$, pero v no es un vector propio de $A$ porque $A\mathbf{v}$ no es múltiplo de v.

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3. Determinación de Valores Propios

3.1 La Ecuación Característica

Esta sección estudia ecuaciones tales como

$A\mathbf{x}=2\mathbf{x}\text{o bien}A\mathbf{x}=-4\mathbf{x}$

donde los vectores especiales son transformados por $A$ en múltiplos escalares de sí mismos.

Teorema - Condición para Valores Propios

El escalar $\lambda$ es un valor propio de la matriz de $n\times n$ $A$ si y solo si la ecuación

$A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$

tiene una solución no trivial. No obstante, la ecuación $(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$ es equivalente a $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$, o bien,

$(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$

Esta ecuación homogénea tiene una solución no trivial si y solo si la ecuación tiene una variable libre. De manera que $\lambda$ es un valor propio de $A$ si y solo si al menos una de las entradas sobre la diagonal de $A-\lambda I$ es cero.

3.2 Método para Encontrar Valores Propios

Procedimiento Sistemático

Para resolver esta ecuación homogénea, forme la matriz

$A-\lambda I=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}-\lambda & a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{nn}-\lambda \end{array}\right]$

El escalar $\lambda$ es un valor propio de $A$ si y solo si la ecuación

$(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$

tiene una solución no trivial.

3.3 Ejemplo Desarrollado

Ejemplo 3 - Determinación de Valores Propios

Problema: Demuestre que 7 es un valor propio de la matriz $A=\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 5& 2\end{array}\right]$ del ejemplo 2, y determine los vectores propios correspondientes.

Solución: El escalar 7 es un valor propio de $A$ si y solo si la ecuación

$A\mathbf{x}=7\mathbf{x}$

tiene una solución no trivial. No obstante, la ecuación $(1)$ es equivalente a $A\mathbf{x}-7\mathbf{x}=0$, o bien,

$(A-7I)\mathbf{x}=0$

Para resolver esta ecuación homogénea, forme la matriz

$A-7I=\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 5& 2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}7& 0\\ 0& 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-6& 6\\ 5& -5\end{array}\right]$

Como es evidente, las columnas de $A-7I$ son linealmente dependientes, de manera que la ecuación $(2)$ tiene soluciones no triviales. Por lo tanto, 7 es un valor propio de $A$. Para encontrar los vectores propios correspondientes, utilice operaciones de fila:

$\left[\begin{array}{cccc}-6& 6& |& 0\\ 5& -5& |& 0\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{cccc}1& -1& |& 0\\ 0& 0& |& 0\end{array}\right]$

La solución general tiene la forma $x_2\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$. Cada vector de esta forma con $x_2\ne 0$ es un vector propio correspondiente a $\lambda =7$.

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4. Espacio Propio

4.1 Definición

Definición - Espacio Propio

El espacio propio de $A$ correspondiente a $\lambda$ es el conjunto de todas las soluciones de $(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$.

El espacio propio, que se muestra en la figura 3, es un subespacio bidimensional de ${\mathbb{R}}^3$. Una base es

$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}$

4.2 Propiedades del Espacio Propio

Características Importantes

El espacio propio correspondiente a $\lambda$ consiste en:

1. El vector cero
2. Todos los vectores propios correspondientes a $\lambda$

El espacio propio es el espacio nulo de la matriz $A-\lambda I$ y se denomina el subespacio de ${\mathbb{R}}^n$ y se denomina el espacio propio de $A$ correspondiente a $\lambda$.

4.3 Ejemplo con Espacio Propio

Ejemplo 4 - Cálculo de Espacio Propio

Problema: Sea $A=\left[\begin{array}{ccc}4& -1& 6\\ 2& 1& 6\\ 2& -1& 8\end{array}\right]$. Un valor propio de $A$ es 2. Determine una base para el espacio propio correspondiente.

Solución: Forme

$A-2I=\left[\begin{array}{ccc}4& -1& 6\\ 2& 1& 6\\ 2& -1& 8\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 6\\ 2& -1& 6\\ 2& -1& 6\end{array}\right]$

y reduzca por filas la matriz aumentada para $(A-2I)\mathbf{x}=0$:

$\left[\begin{array}{ccccc}2& -1& 6& |& 0\\ 2& -1& 6& |& 0\\ 2& -1& 6& |& 0\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccccc}2& -1& 6& |& 0\\ 0& 0& 0& |& 0\\ 0& 0& 0& |& 0\end{array}\right]$

En este punto, resulta claro que 2 es un valor propio de $A$ porque la ecuación $(A-2I)\mathbf{x}=0$ tiene variables libres. La solución general es:

$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=x_2\left[\begin{array}{c}1/2\\ 1\\ 0\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right]=x_2\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

donde $x_2$ y $x_3$ son libres.

El espacio propio, que se muestra en la figura 3, es un subespacio bidimensional de ${\mathbb{R}}^3$. Una base es

$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}$

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5. ¿Qué Significa un Valor Propio Cero?

5.1 Interpretación del Cero como Valor Propio

Pregunta Importante

¿Qué significa para una matriz $A$ tener un valor propio de 0, tal como en el ejemplo 5?

Esto ocurre si y solo si la ecuación

$A\mathbf{x}=0\mathbf{x}$

tiene una solución no trivial. Pero la ecuación $(4)$ es equivalente a $A\mathbf{x}=0$, que tiene una solución no trivial si y solo si $A$ no es invertible.

Teorema - Cero como Valor Propio

Entonces, 0 es un valor propio de $A$ si y solo si $A$ no es invertible.

En la sección 5.2 este hecho se agregará al teorema de la matriz invertible.

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6. Teoremas Fundamentales

6.1 Independencia Lineal de Vectores Propios

Teorema 2 - Independencia Lineal

Si ${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_r$ son vectores propios que corresponden a distintos valores propios ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_r$ de una matriz $A$ de $n\times n$, entonces el conjunto $\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_r\}$ es linealmente independiente.

Demostración: Suponga que $\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_r\}$ es linealmente dependiente. Puesto que ${\mathbf{v}}_1$ es diferente de cero, el teorema 7 de la sección 1.7 indica que uno de los vectores en el conjunto es una combinación lineal de los vectores precedentes. Sea $p$ el índice mínimo tal que ${\mathbf{v}}_{p+1}$ sea una combinación lineal de los vectores precedentes (linealmente independientes). Entonces, existen escalares $c_1,\dots ,c_p$ tales que

$c_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +c_p{\mathbf{v}}_p={\mathbf{v}}_{p+1}$

Multiplicando por $A$ ambos miembros de la ecuación $(5)$ y considerando el hecho de que $A{\mathbf{v}}_k={\lambda }_k{\mathbf{v}}_k$ para cada $k$,

$c_{1}A{\mathbf{v}}_1+\cdots +c_{p}A{\mathbf{v}}_p=A{\mathbf{v}}_{p+1}$ $c_1{\lambda }_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +c_p{\lambda }_p{\mathbf{v}}_p={\lambda }_{p+1}{\mathbf{v}}_{p+1}$

Multiplicando por ${\lambda }_{p+1}$ ambos lados de la ecuación $(5)$ y restando el resultado de $(6)$,

$c_1({\lambda }_1-{\lambda }_{p+1}){\mathbf{v}}_1+\cdots +c_p({\lambda }_p-{\lambda }_{p+1}){\mathbf{v}}_p=0$

Puesto que $\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_p\}$ es linealmente independiente, todos los pesos en la ecuación $(7)$ son iguales a cero. Sin embargo, ninguno de los factores ${\lambda }_i-{\lambda }_{p+1}$ son cero, ya que los valores propios son distintos. Por lo tanto, $c_i=0$ para $i=1,\dots ,p$. No obstante, la ecuación $(5)$ indica que ${\mathbf{v}}_{p+1}=0$, lo cual es imposible. En consecuencia, $\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_r\}$ no puede ser linealmente dependiente y, por consiguiente, debe ser linealmente independiente.

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7. Valores Propios de Matrices Triangulares

7.1 Propiedad Especial

Teorema 1 - Matrices Triangulares

Los valores propios de una matriz triangular son las entradas sobre su diagonal principal.

Demostración: Por sencillez, considere el caso $3\times 3$. Si $A$ es triangular superior, entonces,

$A-\lambda I=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}-\lambda & a_{12}& a_{13}\\ 0& a_{22}-\lambda & a_{23}\\ 0& 0& a_{33}-\lambda \end{array}\right]$

El escalar $\lambda$ es un valor propio de $A$ si y solo si la ecuación $(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$ tiene una solución no trivial, es decir, si y solo si la ecuación tiene una variable libre. Gracias a las entradas cero en $A-\lambda I$, es fácil ver que $(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$ tiene una variable libre si y solo si al menos una de las entradas $a_{11},a_{22},a_{33}$ en $A$ es cero. Esto ocurre si y solo si $\lambda$ es igual a una de las entradas $a_{11},a_{22},a_{33}$ en $A$.

7.2 Ejemplo con Matriz Triangular

Ejemplo 5 - Valores Propios de Matriz Triangular

Problema: Sean $A=\left[\begin{array}{ccc}3& 6& -8\\ 0& 0& 6\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$ y $B=\left[\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 5& 3& 4\end{array}\right]$. Los valores propios de $A$ son 3, 0 y 2. Los valores propios de $B$ son 4 y 1.

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8. Aplicación: Direcciones Principales en Datos

8.1 Contexto

Un motivo significativo para el fracaso de los búhos en encontrar nuevas áreas de distribución de alimento en la fragmentación de las áreas con árboles antiguos, debido a la tala total de áreas dispersas en terrenos con árboles antiguos.

Cuando un búho sale de la región protectora del bosque y cruza un área talada, aumenta drásticamente el riesgo de sufrir un ataque por parte de los depredadores. En la sección 5.6 se mostrará que el modelo descrito predice la eventual extinción de búhos, pero que si el 50% de los búhos juveniles que sobreviven al dejar el nido también encuentran nuevas áreas de distribución, entonces se salvaría su población.

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Confundir ecuación lineal con función lineal

• Incorrecto: Pensar que $\lambda =0$ no puede ser un valor propio
• Correcto: 0 es un valor propio válido si y solo si $A$ no es invertible

Error 2: Olvidar que vectores propios deben ser no nulos

• Incorrecto: Considerar el vector cero como vector propio
• Correcto: Los vectores propios deben ser distintos de cero por definición

Error 3: Confundir vectores propios con espacios propios

• Incorrecto: Pensar que el espacio propio es solo un vector
• Correcto: El espacio propio es un subespacio que contiene todos los vectores propios para un valor propio dado

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicios Básicos

Ejercicios Fundamentales

1. Verificación de valores propios: Para la matriz $A=\left[\begin{array}{cc}2& 7\\ 7& 2\end{array}\right]$, verifique que 9 y -5 son valores propios, y encuentre los vectores propios correspondientes.

2. Cálculo de espacios propios: Para $A=\left[\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 1& 5& 0\\ 0& 1& 5\end{array}\right]$, encuentre el espacio propio correspondiente a $\lambda =5$.

3. Matrices triangulares: Determine los valores propios de:

   a) $A=\left[\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 2& -1& 0\\ 4& 3& 2\end{array}\right]$

   b) $B=\left[\begin{array}{cccc}-2& 1& 0& 0\\ 0& -2& 1& 0\\ 0& 0& -2& 1\\ 0& 0& 0& -2\end{array}\right]$

Ejercicios Intermedios

Problemas de Aplicación

4. Independencia lineal: Sean ${\lambda }_1$, ${\lambda }_2$, ${\lambda }_3$ valores propios distintos de una matriz $A$ de $3\times 3$, y sean ${\mathbf{v}}_1$, ${\mathbf{v}}_2$, ${\mathbf{v}}_3$ los vectores propios correspondientes. Demuestre que $\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3\}$ es linealmente independiente.

5. Valor propio cero: Demuestre que si 0 es un valor propio de $A$, entonces $A$ no es invertible.

6. Base del espacio propio: Para $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right]$:

   a) Encuentre todos los valores propios de $A$ b) Para cada valor propio, encuentre una base del espacio propio

Ejercicios Avanzados

Problemas Conceptuales

7. Ejercicio 25 (pág. 272): Si $A$ es invertible, demuestre que los valores propios de $A^{-1}$ son $1/\lambda$ donde $\lambda$ es un valor propio de $A$.

8. Ejercicio 27 (pág. 272): Sea $A$ una matriz de $n\times n$. Demuestre que si $\lambda$ es un valor propio de $A$, entonces ${\lambda }^2$ es un valor propio de $A^2$.

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos Fundamentales

1. Vector propio: Vector no nulo x tal que $A\mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}$
2. Valor propio: Escalar $\lambda$ para el cual existe un vector propio
3. Ecuación característica: $(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$ tiene solución no trivial
4. Espacio propio: Conjunto de todas las soluciones de $(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$
5. Matrices triangulares: Valores propios en la diagonal principal
6. Independencia: Vectores propios con valores propios distintos son linealmente independientes
7. Valor propio cero: 0 es valor propio si y solo si $A$ no es invertible

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo verificar si un vector es vector propio de una matriz
• Sé determinar valores propios resolviendo $(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$
• Entiendo qué es un espacio propio y cómo calcularlo
• Puedo encontrar una base para cada espacio propio
• Comprendo por qué vectores propios con valores distintos son linealmente independientes
• Sé usar la propiedad de matrices triangulares
• Entiendo el significado de que 0 sea un valor propio

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🔗 Conexiones con Otros Temas

Vínculos Conceptuales

Clases anteriores:

• Clase 28 - Cambio de base (preparación para diagonalización)
• Clase 12 - Independencia lineal
• Clase 17 - Matrices invertibles

Próximas clases:

• Clase 30-31: Ecuación característica y diagonalización
• Clase 32-33: Aplicaciones de valores propios

Conceptos relacionados:

• Espacio-Nulo - El espacio propio es el espacio nulo de $A-\lambda I$
• Subespacio - El espacio propio es un subespacio
• Base - Base del espacio propio

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 5.1, págs. 266-270

Lectura Complementaria

• Poole, D. Álgebra lineal: Una introducción moderna. Sección 4.1
• Strang, G. Introducción al Álgebra Lineal. Capítulo 6

Ejercicios Recomendados

• Ejercicio 25, pág. 272: Valores propios de matrices inversas
• Ejercicio 27, pág. 272: Valores propios de potencias de matrices

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🏷️ Tags

algebra-lineal valores-propios vectores-propios espacio-propio ecuacion-caracteristica clase-29 diagonalizacion transformaciones-lineales

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Próxima Clase

En la Clase 30, desarrollaremos la ecuación característica de manera formal y estudiaremos métodos sistemáticos para encontrar todos los valores propios de una matriz, incluyendo el polinomio característico y sus propiedades.

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