13) Derivadas de Polinomios, Exponenciales y Regla del Producto

Clase 13: Derivadas de Polinomios, Exponenciales y Regla del Producto

📚 Introducción

Esta clase presenta las reglas fundamentales de derivación que nos permiten calcular derivadas de manera sistemática sin recurrir constantemente a la definición con límites. Estudiaremos las derivadas de funciones polinomiales y exponenciales, y aprenderemos la crucial regla del producto, que nos muestra que la derivada de un producto NO es simplemente el producto de las derivadas.

Objetivos de la Clase

• Calcular derivadas de funciones polinomiales usando la regla de la potencia
• Derivar funciones exponenciales, especialmente $e^x$
• Comprender y aplicar la regla del producto para derivar productos de funciones
• Reconocer la diferencia fundamental entre límites y derivadas de productos

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1. Derivadas de Funciones Constantes y Potencias

1.1 Derivada de una Función Constante

Derivada de una Función Constante

$\frac{d}{dx}(c)=0$

La derivada de cualquier constante es cero.

Interpretación geométrica: La gráfica de $f(x)=c$ es una recta horizontal con pendiente 0, por lo tanto $f^{\prime }(x)=0$.

1.2 Derivada de la Función Identidad

Derivada de la Función Identidad

$\frac{d}{dx}(x)=1$

Interpretación geométrica: La gráfica de $f(x)=x$ es la recta $y=x$ con pendiente 1.

1.3 Regla de la Potencia

Teorema - Regla de la Potencia

Si $n$ es un entero positivo, entonces:

$\frac{d}{dx}(x^n)=n{x}^{n-1}$

Demostración (usando el teorema del binomio):

Para $f(x)=x^n$, donde $n$ es entero positivo:

$f^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\frac{(x+h{)}^n-x^n}{h}$

Expandiendo $(x+h{)}^n$ con el teorema del binomio:

$(x+h{)}^n=x^n+n{x}^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}{x}^{n-2}{h}^2+\cdots +nx{h}^{n-1}+h^n$

Entonces:

$f^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\frac{n{x}^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}{x}^{n-2}{h}^2+\cdots +nx{h}^{n-1}+h^n}{h}$

$={\lim }_{h\to 0}\left(n{x}^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}{x}^{n-2}h+\cdots +nx{h}^{n-2}+h^{n-1}\right)$

Todos los términos excepto el primero tienen $h$ como factor, por lo tanto tienden a 0:

$=n{x}^{n-1}$

1.4 Ejemplos de la Regla de la Potencia

Aplicaciones de la Regla de la Potencia

1. Si $f(x)=x^6$, entonces $f^{\prime }(x)=6x^5$

2. Si $y=x^{1000}$, entonces $y^{\prime }=1000x^{999}$

3. Si $f(t)=t^4$, entonces $\frac{dy}{dt}=4t^3$

4. Si $\frac{d}{dr}(r^3)=3r^2$

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2. Funciones Exponenciales

2.1 Derivada de la Función Exponencial Natural

Derivada de e^x

$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$

Esta es una propiedad notable: la función exponencial $e^x$ es su propia derivada.

Demostración:

$\frac{d}{dx}(e^x)={\lim }_{h\to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}={\lim }_{h\to 0}\frac{e^x\cdot e^h-e^x}{h}$

$={\lim }_{h\to 0}{e}^x\cdot \frac{e^h-1}{h}=e^x{\lim }_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}$

El factor $e^x$ no depende de $h$, por lo que puede sacarse del límite. Observe que el límite es el valor de la derivada de $f$ en 0:

${\lim }_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=f^{\prime }(0)=1$

Por lo tanto: $\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$

2.2 Interpretación Geométrica

Significado Geométrico

La pendiente de la recta tangente a la curva $y=e^x$ en cualquier punto $(x,e^x)$ es exactamente $e^x$. Esto significa que la pendiente es proporcional a la altura.

Definición del número $e$:

Definición del Número e

$e$ es el número tal que:

${\lim }_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1$

Geométricamente, esto significa que de todas las funciones exponenciales posibles $y=a^x$, la función $f(x)=e^x$ es aquella cuya recta tangente en $(0,1)$ tiene pendiente $f^{\prime }(0)$ que es exactamente 1.

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3. Regla del Producto

3.1 Motivación

Error Común

La derivada de un producto NO es el producto de las derivadas:

$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]\ne f^{\prime }(x)\cdot g^{\prime }(x)$

Por ejemplo, si $f(x)=x$ y $g(x)=x^2$, entonces:

• $(fg)(x)=x\cdot x^2=x^3$, por lo que $(fg{)}^{\prime }(x)=3x^2$
• Pero $f^{\prime }(x)\cdot g^{\prime }(x)=1\cdot 2x=2x\ne 3x^2$

3.2 La Regla del Producto

Teorema - Regla del Producto

Si $f$ y $g$ son derivables, entonces:

$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]+g(x)\frac{d}{dx}[f(x)]$

En notación más compacta:

$(fg{)}^{\prime }=f{g}^{\prime }+g{f}^{\prime }$

En palabras: La derivada de un producto de dos funciones es la primera función multiplicada por la derivada de la segunda función, más la segunda función multiplicada por la derivada de la primera función.

3.3 Interpretación Geométrica

Supongamos que $u=f(x)$ y $v=g(x)$ son funciones positivas y derivables. Podemos interpretar el producto $uv$ como el área de un rectángulo.

Si $x$ cambia una cantidad $\Delta x$, los cambios correspondientes en $u$ y $v$ son:

$\Delta u=f(x+\Delta x)-f(x),\Delta v=g(x+\Delta x)-g(x)$

El cambio en el área del rectángulo es:

$\Delta (uv)=(u+\Delta u)(v+\Delta v)-uv=u\Delta v+v\Delta u+\Delta u\Delta v$

Si dividimos entre $\Delta x$:

$\frac{\Delta (uv)}{\Delta x}=u\frac{\Delta v}{\Delta x}+v\frac{\Delta u}{\Delta x}+\Delta u\frac{\Delta v}{\Delta x}$

Tomando el límite cuando $\Delta x\to 0$:

$\frac{d}{dx}(uv)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$

3.4 Ejemplos Resueltos

Ejemplo 1

Si $f(x)=x{e}^x$, encuentre $f^{\prime }(x)$.

Solución: Por la regla del producto:

$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}(x{e}^x)=x\frac{d}{dx}(e^x)+e^x\frac{d}{dx}(x)$

$=x{e}^x+e^x(1)=x{e}^x+e^x=(x+1)e^x$

Ejemplo 2

Derive $f(t)=\sqrt{t}(a+bt)$

Solución: Aplicando la regla del producto una segunda vez:

$f^{\prime }(t)=\sqrt{t}\frac{d}{dt}(a+bt)+(a+bt)\frac{d}{dt}(\sqrt{t})$

$=\sqrt{t}(b)+(a+bt)\frac{1}{2\sqrt{t}}$

$=b\sqrt{t}+\frac{a+bt}{2\sqrt{t}}=\frac{2bt+a+bt}{2\sqrt{t}}=\frac{a+3bt}{2\sqrt{t}}$

Ejemplo 3

Si $f(x)=\sqrt{x}{e}^x$, encuentre $f^{\prime \prime }(x)$.

Solución: Primero hallamos $f^{\prime }(x)$:

$f^{\prime }(x)=\sqrt{x}\frac{d}{dx}(e^x)+e^x\frac{d}{dx}(\sqrt{x})$

$=\sqrt{x}{e}^x+e^x\frac{1}{2\sqrt{x}}=e^x\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)$

Aplicando la regla del producto nuevamente:

$f^{\prime \prime }(x)=\frac{d}{dx}\left[e^x\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\right]$

$=e^x\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)+\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\frac{d}{dx}(e^x)$

$=e^x\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{4x^{3/2}}\right)+\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)e^x$

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4. Combinando Reglas

4.1 Reglas Fundamentales hasta Ahora

Regla	Fórmula
Constante	$\frac{d}{dx}(c)=0$
Potencia	$\frac{d}{dx}(x^n)=n{x}^{n-1}$
Múltiplo constante	$\frac{d}{dx}[cf(x)]=c\frac{d}{dx}f(x)$
Suma	$\frac{d}{dx}[f(x)+g(x)]=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x)$
Diferencia	$\frac{d}{dx}[f(x)-g(x)]=\frac{d}{dx}f(x)-\frac{d}{dx}g(x)$
Exponencial	$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$
Producto	$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f(x)g^{\prime }(x)+g(x)f^{\prime }(x)$

4.2 Derivadas Sucesivas

Cada derivada sucesiva agrega otro término $e^x$, así que:

• $f^{(n)}(x)=(x+n)e^x$ para la función $f(x)=x{e}^x$

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Regla de la potencia: $\frac{d}{dx}(x^n)=n{x}^{n-1}$ para $n$ entero positivo
2. Derivada de $e^x$: La única función que es su propia derivada
3. Regla del producto: $(fg{)}^{\prime }=f{g}^{\prime }+g{f}^{\prime }$ (NO es $f^{\prime }{g}^{\prime }$)
4. El número $e$: Definido por ${\lim }_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}=1$
5. Derivadas sucesivas: Cada aplicación de la regla del producto agrega términos
6. Combinación de reglas: Las reglas pueden aplicarse secuencialmente

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Derivada del producto incorrecta

• Incorrecto: $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }{g}^{\prime }$
• Correcto: $(fg{)}^{\prime }=f{g}^{\prime }+g{f}^{\prime }$

Error 2: Olvidar el segundo término en el producto

• Incorrecto: $\frac{d}{dx}(x\cdot e^x)=1\cdot e^x=e^x$
• Correcto: $\frac{d}{dx}(x\cdot e^x)=x\cdot e^x+e^x\cdot 1=(x+1)e^x$

Error 3: Aplicar mal la regla de la potencia

• Incorrecto: $\frac{d}{dx}(x^3)=3x^2+1$
• Correcto: $\frac{d}{dx}(x^3)=3x^2$

Error 4: Confundir e con una variable

• Incorrecto: Pensar que $\frac{d}{dx}(e)=1$
• Correcto: $\frac{d}{dx}(e)=0$ (porque $e$ es una constante)

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios de Práctica

1. Calcule $\frac{d}{dx}(x^8)$
2. Derive $f(x)=x^2{e}^x$ usando la regla del producto
3. Encuentre $f^{\prime \prime }(x)$ si $f(x)=x{e}^x$
4. Calcule $\frac{d}{dx}[(2x^3)(x^4-1)]$
5. Si $f(x)=(3x^4)(2x^2+x)$, encuentre $f^{\prime }(x)$

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 3.1: Derivada de funciones polinomiales y exponenciales, págs. 174-181
• Sección 3.2: Reglas del producto y cociente, págs. 184-186

Enlaces Relacionados

• 12) La Derivada como una Función - Conceptos prerequisito
• Regla-de-la-Potencia
• Regla-del-Producto
• Funcion-Exponencial-Natural

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Sugerencia de Estudio

La regla del producto es uno de los pilares fundamentales del cálculo diferencial. A diferencia de los límites (donde el límite de un producto SÍ es el producto de los límites), la derivada de un producto NO es el producto de las derivadas. Practique muchos ejemplos hasta que esta regla se vuelva natural.

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo aplicar la regla de la potencia sin dudar
• Entiendo por qué $\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$
• Comprendo la definición del número $e$
• Puedo enunciar la regla del producto correctamente
• Reconozco cuándo NO usar $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }{g}^{\prime }$
• Puedo derivar productos de polinomios y exponenciales
• Sé calcular derivadas sucesivas usando la regla del producto
• Comprendo la interpretación geométrica de la regla del producto

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