15) Regla de la Cadena

Clase 15: Regla de la Cadena

📚 Introducción

La regla de la cadena es quizás la regla de derivación más importante y poderosa del cálculo. Nos permite derivar funciones compuestas, es decir, funciones formadas al aplicar una función dentro de otra. Esta regla es fundamental para prácticamente todas las aplicaciones del cálculo, ya que la mayoría de las funciones que encontramos en la práctica son composiciones de funciones más simples.

Objetivos de la Clase

• Comprender el concepto de función compuesta y su relación con la derivada
• Dominar la regla de la cadena para derivar composiciones
• Aplicar la regla de la cadena en diversos contextos
• Reconocer cuándo una función requiere la regla de la cadena

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1. Funciones Compuestas

1.1 Repaso de Composición

Recordemos que si $f$ y $g$ son funciones, la función compuesta $f\circ g$ se define como:

$(f\circ g)(x)=f(g(x))$

Esto significa: primero aplicamos $g$ a $x$, y luego aplicamos $f$ al resultado.

1.2 Ejemplos de Funciones Compuestas

Reconociendo Composiciones

1. $h(x)=(x^2+1{)}^{10}$ es la composición de:
   • $g(x)=x^2+1$ (función interior)
   • $f(u)=u^{10}$ (función exterior)
   • Entonces $h(x)=f(g(x))$
2. $F(x)=\sin (x^2)$ es la composición de:
   • $g(x)=x^2$ (función interior)
   • $f(u)=\sin u$ (función exterior)
3. $G(x)=e^{\cos x}$ es la composición de:
   • $g(x)=\cos x$ (función interior)
   • $f(u)=e^u$ (función exterior)

1.3 Motivación para la Regla de la Cadena

Suponga que se le pide derivar la función:

$F(x)=\sqrt{x^2+1}$

Las fórmulas de derivación que usted aprendió en las secciones anteriores de este capítulo no le permiten calcular $F^{\prime }(x)$.

Necesitamos una regla que relacione la derivada de $F=f\circ g$ con las derivadas de $f$ y $g$.

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2. La Regla de la Cadena

2.1 Enunciado de la Regla

Teorema - La Regla de la Cadena

Si $g$ es derivable en $x$ y $f$ es derivable en $g(x)$, entonces la función compuesta $F=f\circ g$ definida mediante $F(x)=f(g(x))$ es derivable en $x$, y $F^{\prime }$ está dada por el producto:

$F^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

En notación de Leibniz, si $y=f(u)$ y $u=g(x)$ son funciones derivables, entonces:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

En palabras: La derivada de una función compuesta es la derivada de la función exterior (evaluada en la función interior) multiplicada por la derivada de la función interior.

2.2 Interpretación Intuitiva

Consideremos $\frac{dy}{du}$ como la razón de cambio de $y$ respecto a $u$, $\frac{du}{dx}$ como la razón de cambio de $u$ respecto a $x$, y $\frac{dy}{dx}$ como la razón de cambio de $y$ respecto a $x$.

Si $u$ cambia al doble de rapidez de $x$ y $y$ cambia tres veces más rápido que $u$, entonces parece razonable que $y$ cambie seis veces más rápido que $x$, por tanto, esperamos que:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

2.3 Advertencia sobre la Notación

Importante sobre \frac{dy}{dx}

El símbolo $\frac{dy}{dx}$ NO debe concebirse realmente como un cociente. Sin embargo, la regla de la cadena nos da:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

Observe que $\frac{du}{dx}$ NO se ha definido y no debe concebir $\frac{du}{dx}$ realmente como un cociente.

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3. Aplicaciones de la Regla de la Cadena

3.1 Ejemplos Fundamentales

Ejemplo 1 (pág. 200)

Encuentre $F^{\prime }(x)$ si $F(x)=\sqrt{x^2+1}$

Solución: Al principio de esta sección, expresamos $F$ como $F(x)=(f\circ g)(x)=f(g(x))$ donde $f(u)=\sqrt{u}$ y $g(x)=x^2+1$. Dado que:

$f^{\prime }(u)=\frac{1}{2\sqrt{u}}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\text{y}{g}^{\prime }(x)=2x$

tenemos:

$F^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

Ejemplo 2(a)

(pág. 201) Derive $y=(x^3-1{)}^{100}$

Solución: Tomando $u=x^3-1$ y $y=u^{100}$:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}=100u^{99}\cdot 3x^2$

$=100(x^3-1{)}^{99}\cdot 3x^2=300x^2(x^3-1{)}^{99}$

3.2 Regla de la Potencia Combinada con la Regla de la Cadena

De los ejemplos anteriores, podemos deducir una fórmula importante:

Regla de la Potencia Compuesta

Si $n$ es cualquier número real y $u=g(x)$ es derivable, entonces:

$\frac{d}{dx}[f(x){]}^n=n[f(x){]}^{n-1}\cdot f^{\prime }(x)$

O de modo alternativo:

$\frac{d}{dx}[g(x){]}^n=n[g(x){]}^{n-1}\cdot g^{\prime }(x)$

Esta es esencialmente la regla de la cadena combinada con la regla de la potencia.

3.3 Más Ejemplos

Ejemplo 3 Derive:

a) $y=(x^2+x+1{)}^{50}$

Solución:

$\frac{dy}{dx}=50(x^2+x+1{)}^{49}\cdot (2x+1)$

b) $f(x)=\frac{1}{(x^2+3x+5{)}^3}$

Solución: Primero reescribimos: $f(x)=(x^2+3x+5{)}^{-3}$

$f^{\prime }(x)=-3(x^2+3x+5{)}^{-4}\cdot (2x+3)=\frac{-3(2x+3)}{(x^2+3x+5{)}^4}$

Ejemplo 4 E

ncuentre $f^{\prime }(x)$ si $f(x)=\sqrt[3]{x^2+x+1}$

Solución: Reescribimos $f(x)=(x^2+x+1{)}^{1/3}$

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}(x^2+x+1{)}^{-2/3}\cdot (2x+1)$

$=\frac{2x+1}{3(x^2+x+1{)}^{2/3}}=\frac{2x+1}{3\sqrt[3]{(x^2+x+1{)}^2}}$

Ejemplo 5

Derive $y=e^{x^3}$

Solución: Función exterior: $f(u)=e^u$, función interior: $u=x^3$

$\frac{dy}{dx}=e^{x^3}\cdot 3x^2=3x^2{e}^{x^3}$

Ejemplo 6

Derive $h(t)=\sin (3t^2+1)$

Solución: Función exterior: $f(u)=\sin u$, función interior: $u=3t^2+1$

$h^{\prime }(t)=\cos (3t^2+1)\cdot 6t=6t\cos (3t^2+1)$

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4. Composiciones Múltiples

La regla de la cadena puede aplicarse múltiples veces cuando tenemos composiciones de tres o más funciones.

Ejemplo 7

Derive $y={\sin }^3(2x)=[\sin (2x){]}^3$

Solución: Esta es una composición de tres funciones. Aplicamos la regla de la cadena dos veces:

Primera aplicación (potencia):

$\frac{dy}{dx}=3[\sin (2x){]}^2\cdot \frac{d}{dx}[\sin (2x)]$

Segunda aplicación (seno de $2x$):

$=3{\sin }^2(2x)\cdot \cos (2x)\cdot 2$

$=6{\sin }^2(2x)\cos (2x)$

Ejemplo 8

Derive $F(x)=e^{\sin (x^2)}$

Solución: Identificamos las capas:

• Exterior: $e^u$
• Media: $\sin v$
• Interior: $x^2$

$F^{\prime }(x)=e^{\sin (x^2)}\cdot \frac{d}{dx}[\sin (x^2)]$

$=e^{\sin (x^2)}\cdot \cos (x^2)\cdot 2x$

$=2x\cos (x^2)\cdot e^{\sin (x^2)}$

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Regla de la cadena: $(f\circ g{)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$
2. Función exterior e interior: Identificar correctamente las capas
3. Potencia compuesta: $\frac{d}{dx}[f(x){]}^n=n[f(x){]}^{n-1}{f}^{\prime }(x)$
4. Notación de Leibniz: $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$
5. Composiciones múltiples: Aplicar la cadena repetidamente
6. Orden de derivación: Siempre de afuera hacia adentro

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Olvidar la derivada interior

• Incorrecto: $\frac{d}{dx}[(x^2+1{)}^{10}]=10(x^2+1{)}^9$
• Correcto: $\frac{d}{dx}[(x^2+1{)}^{10}]=10(x^2+1{)}^9\cdot 2x$

Error 2: Derivar la función interior antes que la exterior

• Incorrecto: Para $\sin (x^2)$ escribir $2x\cos (x^2)$ sin pensar
• Correcto: Primero derivar seno (obtener coseno), luego multiplicar por derivada de $x^2$

Error 3: Confundir la función evaluada

• Incorrecto: $\frac{d}{dx}[f(g(x))]=f^{\prime }(x)\cdot g^{\prime }(x)$
• Correcto: $\frac{d}{dx}[f(g(x))]=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$ (evaluar $f^{\prime }$ en $g(x)$)

Error 4: No identificar todas las capas

• Incorrecto: Tratar $e^{\sin x}$ solo con una aplicación de la cadena
• Correcto: Reconocer exponencial (exterior) y seno (interior)

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios de Práctica

1. Derive $f(x)=(3x^2-2x+1{)}^{20}$
2. Encuentre $\frac{dy}{dx}$ si $y={\sin }^4(x)$
3. Derive $g(t)=e^{\cos (3t)}$
4. Si $h(x)=\sqrt{1+\sqrt{x}}$, encuentre $h^{\prime }(x)$
5. Derive $F(x)={\tan }^2(x^3)$

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 3.4: Regla de la cadena, págs. 198-201
• Ejemplo 1, pág. 200
• Ejemplo 2(a), pág. 201

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Sugerencia de Estudio

La regla de la cadena es fundamental. Practique identificando la “función exterior” y la “función interior” antes de derivar. Un buen ejercicio es escribir explícitamente $f$ y $g$ para cada problema hasta que el proceso se vuelva automático. Recuerde la fórmula clave: $\frac{d}{dx}[f(x){]}^n=n[f(x){]}^{n-1}{f}^{\prime }(x)$.

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo identificar cuándo una función es una composición
• Reconozco la función exterior y la interior correctamente
• Sé aplicar la regla de la cadena: derivar exterior × derivar interior
• Puedo usar la regla de potencia combinada: $n[f(x){]}^{n-1}{f}^{\prime }(x)$
• Entiendo la notación de Leibniz para la cadena
• Puedo aplicar la cadena múltiples veces para composiciones de 3+ funciones
• No olvido multiplicar por la derivada de la función interior
• Puedo combinar la cadena con producto, cociente y reglas trigonométricas

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