Continuidad y Derivabilidad

Relacion entre Continuidad y Derivabilidad

Teorema Fundamental

Si una funcion $f$ es derivable en $x=a$, entonces $f$ es continua en $x=a$.

$f\text{ derivable en }a⟹f\text{ continua en }a$

El Reciproco NO es Cierto

Una funcion puede ser continua pero NO derivable.

Ejemplo clasico: $f(x)=|x|$ en $x=0$

Continuidad en un Punto

Definicion - Funcion Continua

Una funcion $f$ es continua en $x=a$ si:

1. $f(a)$ existe
2. ${\lim }_{x\to a}f(x)$ existe
3. ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$

Derivabilidad en un Punto

Definicion - Funcion Derivable

Una funcion $f$ es derivable en $x=a$ si existe:

$f^{\prime }(a)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Casos donde NO hay Derivabilidad

Caso 1: Esquina o Pico

Ejemplo: $f(x)=|x|$ en $x=0$

Caso 2: Discontinuidad

Si $f$ tiene una discontinuidad en $x=a$, entonces NO es derivable.

Caso 3: Tangente Vertical

Ejemplo: $f(x)=\sqrt[3]{x}$ en $x=0$

Clases Relacionadas

• 6) Continuidad en Un Punto
• 10) Recta Tangente, Velocidad y el Concepto de Derivada
• 12) La Derivada como una Función

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