Regla del Producto

Definicion

Regla del Producto

Si $f$ y $g$ son funciones derivables, entonces el producto $fg$ tambien es derivable y:

$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)]=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

O en notacion alternativa: $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$

Regla Nemotecnica

“La derivada del primero por el segundo, mas el primero por la derivada del segundo”

• Primero: $f(x)$
• Segundo: $g(x)$
• Resultado: $f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)$

Ejemplos Basicos

Ejemplo 1: Producto de Polinomios

Derivar $y=x^2\cdot x^3$

Metodo directo (simplificando primero): $y=x^5⟹y^{\prime }=5x^4$

Usando regla del producto:

• $f(x)=x^2⟹f^{\prime }(x)=2x$
• $g(x)=x^3⟹g^{\prime }(x)=3x^2$

$y^{\prime }=2x\cdot x^3+x^2\cdot 3x^2=2x^4+3x^4=5x^4$

Ejemplo 2: Polinomio por Exponencial

Derivar $y=x^2{e}^x$

Aplicando la regla:

• $f(x)=x^2⟹f^{\prime }(x)=2x$
• $g(x)=e^x⟹g^{\prime }(x)=e^x$

$y^{\prime }=2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x=e^x(2x+x^2)=x{e}^x(x+2)$

Ejemplo 3: Funciones Trigonometricas

Derivar $y=x\sin x$

Aplicando la regla:

• $f(x)=x⟹f^{\prime }(x)=1$
• $g(x)=\sin x⟹g^{\prime }(x)=\cos x$

$y^{\prime }=1\cdot \sin x+x\cdot \cos x=\sin x+x\cos x$

Regla del Producto para Multiples Funciones

Producto de Tres Funciones

Si $y=f(x)g(x)h(x)$, entonces:

$y^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)h(x)+f(x)g^{\prime }(x)h(x)+f(x)g(x)h^{\prime }(x)$

Es decir, suma de tres terminos donde en cada uno se deriva una sola funcion.

Aplicaciones

Usos Principales

1. Derivar productos que no se pueden simplificar facilmente
2. Combinar con otras reglas (cadena, cociente)
3. Problemas de fisica: Energia ($E=\frac{1}{2}m{v}^2$)
4. Economia: Ingresos totales ($R=p\cdot q$)
5. Derivacion implicita: Al derivar productos de variables

Errores Comunes

Error 1: Derivar Cada Factor por Separado

Incorrecto: $(x^2\cdot e^x{)}^{\prime }=2x\cdot e^x$

Correcto: $(x^2\cdot e^x{)}^{\prime }=2x\cdot e^x+x^2\cdot e^x$

Error 2: Olvidar el Segundo Termino

Incorrecto: $(x\sin x{)}^{\prime }=\sin x$

Correcto: $(x\sin x{)}^{\prime }=\sin x+x\cos x$

Clases Relacionadas

• 13) Derivadas de Polinomios, Exponenciales y Regla del Producto - Introduccion completa
• 14) Regla del Cociente y Derivadas Trigonométricas - Regla relacionada
• 15) Regla de la Cadena - Otra regla fundamental

Conceptos Relacionados

• Derivada
• Regla-de-la-Potencia
• Regla-de-la-Cadena

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