Teorema del Cambio Neto

Enunciado

Teorema del Cambio Neto

Si $F^{\prime }=f$ (es decir, $F$ es una antiderivada de $f$), entonces:

${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Interpretacion

Significado

La integral de una razon de cambio es el cambio neto en la cantidad original.

Relacion con el TFC

Conexion

El Teorema del Cambio Neto es una consecuencia directa del Teorema Fundamental del Calculo (Parte 2).

Aplicaciones Practicas

Interpretaciones Fisicas

Si $v(t)$ es la velocidad, entonces:

${\int }_{t_1}^{t_2}v(t)dt=s(t_2)-s(t_1)$

representa el desplazamiento neto del objeto.

Otras Aplicaciones

• Si $C^{\prime }(x)$ es el costo marginal, entonces ${\int }_{x_1}^{x_2}{C}^{\prime }(x)dx$ es el cambio en el costo
• Si $P^{\prime }(t)$ es la razon de cambio de poblacion, entonces ${\int }_{t_1}^{t_2}{P}^{\prime }(t)dt$ es el cambio en poblacion

Ejemplos

Ejemplo 1: Velocidad y Desplazamiento

Si un objeto se mueve con velocidad $v(t)=3t^2$ m/s, encontrar el desplazamiento entre $t=1$ y $t=3$ segundos.

Solucion:

• La posicion es $s(t)=t^3$ (antiderivada de $v$)
• Por el teorema: ${\int }_1^{3}3t^{2}dt=s(3)-s(1)=27-1=26$ metros

Ejemplo 2: Cambio de Temperatura

Si la razon de cambio de temperatura es $T^{\prime }(t)=-0.3t+2$ °C/hora, encontrar el cambio de temperatura en las primeras 4 horas.

Solucion:

• $T(t)=-0.15t^2+2t+C$ (antiderivada)
• Cambio neto: ${\int }_0^4(-0.3t+2)dt=T(4)-T(0)$
• $=(-0.15\cdot 16+8)-0=5.6$ °C

Notacion Alternativa

Notacion de Evaluacion

A menudo se escribe:

${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$

o tambien:

${\int }_a^{b}f(x)dx=[F(x){]}_a^b$

Diferencia con Distancia Total

Cuidado: Desplazamiento vs Distancia

• ${\int }_a^{b}v(t)dt$ da el desplazamiento neto (puede ser negativo)
• ${\int }_a^b|v(t)|dt$ da la distancia total recorrida (siempre positiva)

Clases Relacionadas

• 31) Integrales Indefinidas y Teorema del Cambio Neto
• 30) Teorema Fundamental del Calculo
• Antiderivadas
• Razon-de-Cambio

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