14) Matriz de una Transformación Lineal

Clase 14: Matriz de una Transformación Lineal

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📋 Resumen Ejecutivo

Objetivos de la Clase

En esta clase aprenderás a:

• Encontrar la matriz estándar de cualquier transformación lineal
• Comprender cómo las columnas de una matriz determinan completamente una transformación
• Trabajar con transformaciones uno a uno y sobre
• Analizar propiedades de transformaciones mediante su matriz estándar
• Aplicar transformaciones geométricas usando matrices

Idea Central

Resultado Fundamental: Toda transformación lineal $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ puede representarse como multiplicación por una matriz única llamada matriz estándar. Esta matriz se construye observando cómo $T$ transforma los vectores de la base estándar.

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1. Teorema Fundamental

1.1 Matriz Estándar

Teorema 10 - Existencia de la Matriz Estándar

Sea $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ una transformación lineal. Entonces existe una única matriz $A$ de tamaño $m\times n$ tal que:

$T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}\text{para todo }\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$

De hecho, $A$ es la matriz $m\times n$ cuya $j$-ésima columna es el vector $T({\mathbf{e}}_j)$, donde ${\mathbf{e}}_j$ es la $j$-ésima columna de la matriz identidad en ${\mathbb{R}}^n$:

$A=[T({\mathbf{e}}_1)T({\mathbf{e}}_2)\cdots T({\mathbf{e}}_n)]$

Esta matriz $A$ se llama matriz estándar para la transformación lineal $T$.

1.2 Justificación del Teorema

¿Por Qué Funciona Esto?

Cualquier vector $\mathbf{x}$ en ${\mathbb{R}}^n$ se puede escribir como: $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=x_1{\mathbf{e}}_1+x_2{\mathbf{e}}_2+\cdots +x_n{\mathbf{e}}_n$

Por la linealidad de $T$: $T(\mathbf{x})=T(x_1{\mathbf{e}}_1+\cdots +x_n{\mathbf{e}}_n)=x_{1}T({\mathbf{e}}_1)+\cdots +x_{n}T({\mathbf{e}}_n)$

Pero esto es exactamente la combinación lineal de las columnas de $A$ con pesos $x_1,\dots ,x_n$, es decir, $A\mathbf{x}$.

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2. Construcción de la Matriz Estándar

2.1 Procedimiento

Algoritmo para Encontrar la Matriz Estándar

Paso 1: Identificar el dominio ${\mathbb{R}}^n$ y el codominio ${\mathbb{R}}^m$

Paso 2: Calcular $T({\mathbf{e}}_1),T({\mathbf{e}}_2),\dots ,T({\mathbf{e}}_n)$ donde: ${\mathbf{e}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{e}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right],\dots ,{\mathbf{e}}_n=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right]$

Paso 3: Formar la matriz colocando estos vectores como columnas: $A=[T({\mathbf{e}}_1)\mid T({\mathbf{e}}_2)\mid \cdots \mid T({\mathbf{e}}_n)]$

2.2 Ejemplo Desarrollado

Ejemplo 1 - Encontrar la Matriz Estándar

Sea $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$ definida por: $T\left(\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}3x_1\\ x_1-4x_2\\ 2x_2\end{array}\right]$

Solución:

Paso 1: Calcular $T({\mathbf{e}}_1)$ y $T({\mathbf{e}}_2)$:

$T({\mathbf{e}}_1)=T\left(\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}3(1)\\ 1-4(0)\\ 2(0)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 1\\ 0\end{array}\right]$

$T({\mathbf{e}}_2)=T\left(\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}3(0)\\ 0-4(1)\\ 2(1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ -4\\ 2\end{array}\right]$

Paso 2: Formar la matriz estándar:

$A=[T({\mathbf{e}}_1)\mid T({\mathbf{e}}_2)]=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 1& -4\\ 0& 2\end{array}\right]$

Verificación: Para cualquier $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$: $A\mathbf{x}=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 1& -4\\ 0& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3x_1\\ x_1-4x_2\\ 2x_2\end{array}\right]=T(\mathbf{x})$ ✓

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3. Transformaciones Geométricas y sus Matrices

3.1 Rotaciones en ${\mathbb{R}}^2$

Ejemplo 2

Rotación por un Ángulo $\varphi$

Transformación: Rotar cada vector en ${\mathbb{R}}^2$ por un ángulo $\varphi$ en sentido antihorario alrededor del origen.

Encontrar la matriz estándar:

Para ${\mathbf{e}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$, después de rotar por $\varphi$: $T({\mathbf{e}}_1)=\left[\begin{array}{c}\cos \varphi \\ \sin \varphi \end{array}\right]$

Para ${\mathbf{e}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$, después de rotar por $\varphi$: $T({\mathbf{e}}_2)=\left[\begin{array}{c}-\sin \varphi \\ \cos \varphi \end{array}\right]$

Matriz estándar de rotación: $A=\left[\begin{array}{cc}\cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi \end{array}\right]$

Casos especiales:

• $\varphi =90°$: $A=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$
• $\varphi =180°$: $A=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

3.2 Tabla de Transformaciones Geométricas Comunes

Referencia Rápida

Transformaciones en ${\mathbb{R}}^2$

Transformación	Matriz Estándar	Efecto
Reflexión en $x_1$	$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$	$(x_1,x_2)\to (x_1,-x_2)$
Reflexión en $x_2$	$\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$	$(x_1,x_2)\to (-x_1,x_2)$
Reflexión en $x_2=x_1$	$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$	$(x_1,x_2)\to (x_2,x_1)$
Reflexión en el origen	$\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$	$(x_1,x_2)\to (-x_1,-x_2)$
Proyección en $x_1$	$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$	$(x_1,x_2)\to (x_1,0)$
Proyección en $x_2$	$\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$	$(x_1,x_2)\to (0,x_2)$
Expansión por $k$	$\left[\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& k\end{array}\right]$	$(x_1,x_2)\to (k{x}_1,k{x}_2)$
Contracción horizontal	$\left[\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& 1\end{array}\right],0<k<1$	Reduce coordenada $x_1$

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4. Transformaciones Uno a Uno y Sobre

4.1 Definiciones

Definición - Transformación Uno a Uno

Una transformación $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ es uno a uno (o inyectiva) si cada $\mathbf{b}$ en ${\mathbb{R}}^m$ es la imagen de a lo sumo un $\mathbf{x}$ en ${\mathbb{R}}^n$.

Equivalentemente: $T$ es uno a uno si y solo si: $T(\mathbf{u})=T(\mathbf{v})⟹\mathbf{u}=\mathbf{v}$

Definición - Transformación Sobre

Una transformación $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ es sobre (o suprayectiva) si cada $\mathbf{b}$ en ${\mathbb{R}}^m$ es la imagen de al menos un $\mathbf{x}$ en ${\mathbb{R}}^n$.

Equivalentemente: $T$ mapea ${\mathbb{R}}^n$ sobre ${\mathbb{R}}^m$ cuando el rango de $T$ es todo ${\mathbb{R}}^m$.

4.2 Caracterización Mediante la Matriz

Teorema 11 - Caracterización de Uno a Uno

Sea $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ una transformación lineal y sea $A$ su matriz estándar. Entonces:

$T\text{ es uno a uno}⟺A\mathbf{x}=0\text{ tiene solo la solucioˊn trivial}$

Equivalentemente:

• $T$ es uno a uno ⟺ Las columnas de $A$ son linealmente independientes
• $T$ es uno a uno ⟺ $A$ tiene posición pivote en cada columna

Teorema 12 - Caracterización de Sobre

Sea $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ una transformación lineal y sea $A$ su matriz estándar. Entonces:

$T\text{ es sobre}⟺\text{Las columnas de }A\text{ generan }{\mathbb{R}}^m$

Equivalentemente:

• $T$ es sobre ⟺ $A$ tiene posición pivote en cada fila
• $T$ es sobre ⟺ Para todo $\mathbf{b}$ en ${\mathbb{R}}^m$, la ecuación $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ es consistente

4.3 Ejemplos

Ejemplo 3 - Análisis de Propiedades

Sea $T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$ con matriz estándar $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$.

¿Es uno a uno?

Reducimos $A$ a forma escalonada: $\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

Ya está en forma escalonada. La segunda columna no tiene pivote, por lo que $x_2$ es variable libre. Por tanto, $A\mathbf{x}=0$ tiene soluciones no triviales.

Conclusión: $T$ NO es uno a uno.

¿Es sobre?

La matriz tiene pivotes en ambas filas, por lo que las columnas generan ${\mathbb{R}}^2$.

Conclusión: $T$ SÍ es sobre.

Ejemplo 4 - Proyección

Sea $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ la proyección sobre el eje $x_1$: $A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$.

¿Es uno a uno?

Los vectores $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$ y $\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$ tienen la misma imagen $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$.

Conclusión: $T$ NO es uno a uno.

¿Es sobre?

El rango de $T$ es solo el eje $x_1$ (una recta), no todo ${\mathbb{R}}^2$.

Conclusión: $T$ NO es sobre.

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5. Aplicaciones y Composición

5.1 Composición de Transformaciones

Composición y Producto Matricial

Si $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ tiene matriz estándar $A$ y $S:{\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^p$ tiene matriz estándar $B$, entonces la composición $S\circ T$ tiene matriz estándar $BA$ (producto de matrices).

$(S\circ T)(\mathbf{x})=S(T(\mathbf{x}))=S(A\mathbf{x})=B(A\mathbf{x})=(BA)\mathbf{x}$

5.2 Ejemplo de Aplicación

Ejemplo 5 - Reflexión Seguida de Rotación

Paso 1: Reflexión a través del eje $x_1$: $A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

Paso 2: Rotación de 90°: $B=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$

Transformación compuesta (rotar después de reflejar): $BA=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

¡Esta es la matriz de reflexión a través de la recta $x_2=x_1$!

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Confundir el orden en composiciones

• Incorrecto: Para $(S\circ T)$, la matriz es $AB$
• Correcto: Para $(S\circ T)(\mathbf{x})=S(T(\mathbf{x}))$, la matriz es $BA$ (se lee de derecha a izquierda)

Error 2: Asumir que toda transformación es uno a uno o sobre

• Incorrecto: “Como la matriz es cuadrada, la transformación debe ser uno a uno y sobre”
• Correcto: Una matriz cuadrada puede no ser invertible; depende de si hay pivote en cada fila/columna

Error 3: Olvidar usar vectores de la base estándar

• Incorrecto: Usar vectores arbitrarios para construir la matriz estándar
• Correcto: Usar específicamente ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\dots ,{\mathbf{e}}_n$

Error 4: Confundir uno a uno con sobre

• Incorrecto: “Uno a uno significa que cubre todo el codominio”
• Correcto: Uno a uno significa que no hay dos vectores diferentes con la misma imagen; “sobre” significa que cubre todo el codominio

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📝 Ejercicios de Práctica

Ejercicios Básicos

Problemas Fundamentales

1. Encontrar matriz estándar: Para cada transformación, encuentre su matriz estándar:

   a) $T\left(\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_1+2x_2\\ 3x_1-x_2\end{array}\right]$

   b) $T\left(\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_1-x_3\\ x_2+x_3\end{array}\right]$

2. Identificar propiedades: Para cada matriz, determine si la transformación correspondiente es uno a uno y/o sobre:

   a) $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 6\end{array}\right]$ (${\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$)

   b) $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$ (${\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$)

   c) $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$ (${\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$)

Ejercicios Intermedios

Práctica de Conceptos

3. Transformaciones geométricas: Encuentre la matriz estándar para:

   a) Reflexión a través de la recta $x_2=-x_1$ en ${\mathbb{R}}^2$ b) Rotación de 45° en sentido antihorario c) Proyección sobre el plano $x_1{x}_2$ en ${\mathbb{R}}^3$

4. Composición: Si $T(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right]\mathbf{x}$ y $S(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right]\mathbf{x}$:

   a) Encuentre la matriz para $S\circ T$ b) Encuentre la matriz para $T\circ S$ c) ¿Son iguales? ¿Por qué?

5. Análisis de rango: Para $T(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& -1\\ 2& 1& 4\end{array}\right]\mathbf{x}$, describa geométricamente el rango de $T$.

Ejercicios Avanzados

Problemas Conceptuales

6. Demostración: Demuestre que si $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ es uno a uno, entonces $T$ también es sobre.

7. Inversa: Si $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ es uno a uno y sobre, explique por qué existe una transformación inversa $T^{-1}$ y cómo se relaciona su matriz con la matriz de $T$.

8. Ejercicio 35 (del libro): [Desarrollar según las indicaciones de la clase]

9. Construcción: Construya una transformación $T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ que sea sobre pero no uno a uno.

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos Fundamentales

1. Matriz estándar: $A=[T({\mathbf{e}}_1)\mid T({\mathbf{e}}_2)\mid \cdots \mid T({\mathbf{e}}_n)]$
2. Toda transformación lineal es matricial: $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$
3. Uno a uno: Diferentes entradas → diferentes salidas (columnas LI)
4. Sobre: Todas las salidas posibles son alcanzadas (columnas generan el codominio)
5. Criterio de columnas pivote: Para uno a uno (pivote en cada columna); para sobre (pivote en cada fila)
6. Composición: $(S\circ T)$ tiene matriz $BA$ donde $B$ es matriz de $S$ y $A$ de $T$
7. Transformaciones geométricas: Rotación, reflexión, proyección, escalamiento

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo construir la matriz estándar de cualquier transformación lineal
• Entiendo por qué las columnas de la matriz son las imágenes de los vectores base
• Sé determinar si una transformación es uno a uno
• Sé determinar si una transformación es sobre
• Comprendo la relación entre independencia lineal y “uno a uno”
• Comprendo la relación entre “generar” y “sobre”
• Puedo encontrar matrices para transformaciones geométricas
• Entiendo cómo componer transformaciones mediante producto matricial
• Reconozco cuándo una transformación tiene inversa

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🔗 Conexiones con Otros Temas

Vínculos Conceptuales

Próximas clases:

• **15) Operaciones de Matrices*: Operaciones matriciales (para composición)
• 16) Matriz Inversa: Matriz inversa (para transformaciones invertibles)
• 22) Espacios y Subespacios Vectoriales: Subespacios (kernel y rango)

Conceptos relacionados:

• Isomorfismo - Transformaciones uno a uno y sobre
• Kernel - Núcleo (vectores que mapean al cero)
• Imagen - Rango de la transformación

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 1.9, págs. 70-77

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Próxima Clase

En la Clase 15, comenzaremos el estudio del álgebra de matrices, aprendiendo las operaciones fundamentales como suma, producto, transpuesta y sus propiedades algebraicas. Estas operaciones son esenciales para trabajar con transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones.