18) Definicion del Determinante

Clase 18: Definición del Determinante

---

📋 Resumen Ejecutivo

Objetivos de la Clase

En esta clase aprenderás a:

• Comprender qué es el determinante de una matriz
• Calcular determinantes de matrices 2×2 y 3×3
• Aplicar el método de expansión por cofactores
• Interpretar geométricamente el determinante
• Usar determinantes para verificar invertibilidad

Idea Central

El determinante es una función que asigna un número (escalar) a cada matriz cuadrada. Este número contiene información crucial sobre la matriz: si es invertible, cómo transforma volúmenes, y propiedades de sistemas lineales asociados. El determinante generaliza la idea del “factor de escala” de una transformación lineal.

---

1. Introducción y Motivación

1.1 ¿Por qué necesitamos el determinante?

Hasta ahora hemos trabajado con matrices y sabemos que:

• Algunas matrices son invertibles, otras no
• Las matrices representan transformaciones lineales
• Resolver $Ax=b$ depende de propiedades de $A$

El determinante nos da una manera rápida y elegante de:

1. Determinar si una matriz es invertible (sin calcular la inversa)
2. Calcular explícitamente la inversa (fórmula)
3. Resolver sistemas lineales (Regla de Cramer)
4. Entender cómo las transformaciones afectan áreas y volúmenes

---

2. Determinante de Matrices 2×2

2.1 Definición para 2×2

Definición - Determinante 2×2

Sea $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ una matriz de $2\times 2$. El determinante de $A$, denotado $\det (A)$ o $|A|$, se define como:

$\det (A)=ad-bc$

2.2 Interpretación Geométrica

El determinante tiene una interpretación geométrica importante:

Interpretación Geométrica

Interpretación Geométrica en ${\mathbb{R}}^2$

Si $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$, entonces $|\det (A)|$ representa el área del paralelogramo formado por los vectores columna de $A$.

• Si $\det (A)>0$: La transformación preserva la orientación
• Si $\det (A)<0$: La transformación invierte la orientación
• Si $\det (A)=0$: Los vectores son linealmente dependientes (colineales)

2.3 Ejemplos

Ejemplo 1 - Determinante 2×2 positivo

Calcular $\det (A)$ para $A=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 4\end{array}\right]$

Solución: $\det (A)=(3)(4)-(1)(2)=12-2=10$

Como $\det (A)=10\ne 0$, la matriz es invertible.

Ejemplo 2 - Determinante cero

Calcular $\det (B)$ para $B=\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 2\end{array}\right]$

Solución: $\det (B)=(2)(2)-(4)(1)=4-4=0$

Como $\det (B)=0$, la matriz NO es invertible. Observa que la segunda columna es el doble de la primera (dependencia lineal).

---

3. Determinante de Matrices 3×3

3.1 Método de Expansión por Cofactores

Para matrices más grandes, necesitamos un método sistemático. El más fundamental es la expansión por cofactores.

Definiciones Previas

Submatriz $A_{ij}$: Se obtiene eliminando la fila $i$ y la columna $j$ de $A$.

Cofactor $C_{ij}$: Se define como: $C_{ij}=(-1{)}^{i+j}\det (A_{ij})$

El signo $(-1{)}^{i+j}$ sigue el patrón de tablero de ajedrez: $\left[\begin{array}{cccc}+& -& +& \cdots \\ -& +& -& \cdots \\ +& -& +& \cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right]$

3.2 Expansión por una Fila o Columna

Teorema - Expansión por Cofactores

El determinante de una matriz $A$ de $n\times n$ se puede calcular expandiendo por cualquier fila $i$:

$\det (A)=a_{i1}{C}_{i1}+a_{i2}{C}_{i2}+\cdots +a_{in}{C}_{in}$

O por cualquier columna $j$:

$\det (A)=a_{1j}{C}_{1j}+a_{2j}{C}_{2j}+\cdots +a_{nj}{C}_{nj}$

3.3 Determinante 3×3 - Fórmula Explícita

Ejemplo 3 - Determinante 3×3 por cofactores

Calcular $\det (A)$ para $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 4& 5\\ 1& 0& 6\end{array}\right]$ expandiendo por la primera fila.

Solución:

Expandimos por la fila 1: $\det (A)=a_{11}{C}_{11}+a_{12}{C}_{12}+a_{13}{C}_{13}$

Calculamos cada cofactor:

$C_{11}=(-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{cc}4& 5\\ 0& 6\end{array}\right|=(4)(6)-(5)(0)=24$

$C_{12}=(-1{)}^{1+2}\left|\begin{array}{cc}0& 5\\ 1& 6\end{array}\right|=-[(0)(6)-(5)(1)]=-(-5)=5$

$C_{13}=(-1{)}^{1+3}\left|\begin{array}{cc}0& 4\\ 1& 0\end{array}\right|=(0)(0)-(4)(1)=-4$

Por lo tanto: $\det (A)=(1)(24)+(2)(5)+(3)(-4)=24+10-12=22$

3.4 Estrategia para Expansión Eficiente

Consejo Práctico

Elige la fila o columna con más ceros para expandir. Esto reduce el número de cálculos:

• Cada término con un cero no necesita calcularse
• Menos cofactores = menos trabajo

Ejemplo 4 - Expansión estratégica

Calcular $\det (B)$ para $B=\left[\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 2& 1& 5\\ 4& -2& 1\end{array}\right]$

Solución:

La primera fila tiene dos ceros, así que expandimos por ella: $\det (B)=3\cdot C_{11}+0\cdot C_{12}+0\cdot C_{13}=3\cdot C_{11}$

$C_{11}=(-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{cc}1& 5\\ -2& 1\end{array}\right|=(1)(1)-(5)(-2)=1+10=11$

Por lo tanto: $\det (B)=3(11)=33$

---

4. Propiedades Básicas del Determinante

4.1 Relación con Invertibilidad

Teorema Fundamental

Una matriz cuadrada $A$ es invertible si y solo si $\det (A)\ne 0$.

• Si $\det (A)\ne 0$ → $A$ es invertible
• Si $\det (A)=0$ → $A$ es singular (no invertible)

Este es el primer uso importante del determinante y actualiza el Teorema de la Matriz Invertible:

Ampliación del TMI

Ahora podemos agregar a las equivalencias del Teorema de la Matriz Invertible (Clase 17):

(m) $\det (A)\ne 0$

Esta es equivalente a todas las demás condiciones de invertibilidad.

4.2 Determinante de la Identidad y Triangulares

Propiedades Especiales

1. Matriz Identidad: $\det (I_n)=1$

2. Matriz Triangular (superior o inferior): El determinante es el producto de las entradas diagonales: $\det (A)=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}\cdots a_{nn}$

Ejemplo 5 - Matriz triangular

$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 5& -1\\ 0& -3& 7\\ 0& 0& 4\end{array}\right]$

Como $A$ es triangular superior: $\det (A)=(2)(-3)(4)=-24$

---

5. Métodos Alternativos (Regla de Sarrus para 3×3)

5.1 Regla de Sarrus

Para matrices $3\times 3$, existe un atajo visual llamado Regla de Sarrus:

Regla de Sarrus (solo para 3×3)

Para $A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$:

1. Escribe las dos primeras columnas a la derecha de la matriz
2. Suma los productos de las diagonales descendentes (→)
3. Resta los productos de las diagonales ascendentes (←)

$\det (A)=(a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32})$ $-(a_{13}{a}_{22}{a}_{31}+a_{11}{a}_{23}{a}_{32}+a_{12}{a}_{21}{a}_{33})$

Advertencia

La Regla de Sarrus SOLO funciona para matrices 3×3. No intentes usarla para matrices 4×4 o mayores.

---

🚨 Errores Comunes

Errores Frecuentes

1. Olvidar el signo del cofactor: Recuerda el patrón $(-1{)}^{i+j}$

2. Confundir filas y columnas al calcular submatrices

3. Aplicar Sarrus a matrices 4×4: Solo funciona para 3×3

4. Pensar que $\det (A+B)=\det (A)+\det (B)$: ¡FALSO! El determinante NO es lineal en este sentido

5. Confundir $\det (A)=0$ con $A=0$: Una matriz puede ser no nula y tener determinante cero

---

📝 Ejemplos Resueltos Adicionales

Ejemplo 6 - Matriz con parámetro

¿Para qué valores de $k$ la matriz $A=\left[\begin{array}{cc}k& 2\\ 3& k-1\end{array}\right]$ es invertible?

Solución:

$A$ es invertible si $\det (A)\ne 0$: $\det (A)=k(k-1)-(2)(3)=k^2-k-6$

Factorizamos: $k^2-k-6=(k-3)(k+2)$

Por lo tanto, $A$ es invertible cuando $k\ne 3$ y $k\ne -2$.

Ejemplo 7 - Determinante y dependencia lineal

Determina si los vectores ${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$ y ${\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right]$ son linealmente independientes.

Solución:

Formamos la matriz $A=[{\mathbf{v}}_1{\mathbf{v}}_2]=\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 2\end{array}\right]$

$\det (A)=(2)(2)-(4)(1)=0$

Como $\det (A)=0$, las columnas son linealmente dependientes. (De hecho, ${\mathbf{v}}_2=2{\mathbf{v}}_1$)

---

🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos Fundamentales

1. Determinante 2×2: $\det \left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=ad-bc$

2. Cofactor: $C_{ij}=(-1{)}^{i+j}\det (A_{ij})$

3. Expansión por cofactores: Suma de productos de entradas por sus cofactores

4. Criterio de invertibilidad: $A$ invertible ⟺ $\det (A)\ne 0$

5. Interpretación geométrica: $|\det (A)|$ = factor de cambio de volumen

6. Matriz triangular: $\det (A)$ = producto de entradas diagonales

7. Estrategia: Expandir por la fila/columna con más ceros

---

✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Puedo calcular el determinante de cualquier matriz 2×2
• Entiendo la interpretación geométrica del determinante
• Sé qué es un cofactor y cómo calcularlo
• Puedo aplicar expansión por cofactores para matrices 3×3
• Reconozco cuándo una matriz es invertible usando el determinante
• Puedo calcular determinantes de matrices triangulares
• Entiendo la Regla de Sarrus (y sus limitaciones)
• Sé elegir estratégicamente la fila/columna para expandir

---

🔗 Conexiones con Otros Temas

Vínculos Conceptuales

Clases anteriores:

• 16) Matriz Inversa - Matriz inversa (el determinante nos dice si existe)

• 17) Matrices Elementales - Teorema de la Matriz Invertible (nueva equivalencia)

Próximas clases:

• 19) Propiedades del Determinante: Propiedades del determinante (operaciones de fila, producto de matrices)

Conceptos relacionados:

• Transformaciones-Lineales - El determinante mide cómo cambia el volumen
• Valores-Propios - El determinante es el producto de los valores propios

---

📚 Referencias

Lectura Principal

• Lay, D. Álgebra Lineal y sus Aplicaciones. Sección 3.1, págs. 164-167

---

🏷️ Tags

algebra-lineal determinante cofactor expansion-cofactores invertibilidad matriz-triangular regla-sarrus interpretacion-geometrica clase-18

---

Próxima Clase

En la Clase 19, estudiaremos las propiedades del determinante y veremos cómo las operaciones elementales de fila afectan al determinante. También exploraremos la importante propiedad $\det (AB)=\det (A)\cdot \det (B)$ y su relación con matrices invertibles.