Vector

mat1203-algebra concepto vectores

---

Definición

Un vector es un segmento de recta dirigido que posee tres características esenciales:

• Magnitud (longitud o norma)
• Dirección
• Sentido

Los vectores se utilizan para representar cantidades que tienen tanto magnitud como dirección, como desplazamiento, velocidad, fuerza, etc.

---

Notación

Notación Geométrica

• El vector de punto A a punto B: $\overrightarrow{AB}$
  • A: Punto inicial u origen
  • B: Punto terminal o punta

Notación Algebraica

• Letra minúscula en negrita: v
• Vector con componentes: $\vec{v}=[v_1,v_2,\dots ,v_n]$

Notación Matricial

Vector columna: $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right]$

Vector fila: $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{cccc}{v}_1& v_2& \cdots & v_n\end{array}\right]$

---

Vectores en Diferentes Espacios

Vectores en ℝ²

Vectores en el plano con dos componentes: $\mathbf{v}=[v_1,v_2]=v_1\hat{i}+v_2\hat{j}$

donde $\hat{i}=[1,0]$ y $\hat{j}=[0,1]$ son los vectores unitarios estándar.

Vectores en ℝ³

Vectores en el espacio tridimensional con tres componentes: $\mathbf{v}=[v_1,v_2,v_3]=v_1\hat{i}+v_2\hat{j}+v_3\hat{k}$

donde $\hat{k}=[0,0,1]$ es el vector unitario en dirección del eje Z.

Vectores en ℝⁿ

Vectores en espacio n-dimensional: $\mathbf{v}=[v_1,v_2,\dots ,v_n]$

donde cada $v_i$ es una componente del vector.

---

Tipos de Vectores Especiales

Vector Cero (Nulo)

$0=[0,0,\dots ,0]$

• Magnitud cero
• No tiene dirección ni sentido definidos
• Elemento neutro de la suma de vectores

Vectores-Unitarios

Vectores con magnitud (norma) igual a 1: $\Vert \mathbf{u}\Vert =1$

Los vectores unitarios indican únicamente dirección y sentido.

Vector de Posición

Vector que va desde el origen O hasta un punto P: $\mathbf{p}=\overrightarrow{OP}$

---

Operaciones con Vectores

Suma de Vectores

$\mathbf{u}+\mathbf{v}=[u_1+v_1,u_2+v_2,\dots ,u_n+v_n]$

Propiedades:

• Conmutativa: $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$
• Asociativa: $(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$

Multiplicación por Escalar

$c\mathbf{v}=[c{v}_1,c{v}_2,\dots ,c{v}_n]$

Efectos geométricos:

• Si $c>0$: mismo sentido que v
• Si $c<0$: sentido opuesto a v
• $|c\mathbf{v}|=|c|\cdot |\mathbf{v}|$

Producto-Punto (Producto Escalar)

$\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=u_1{v}_1+u_2{v}_2+\cdots +u_n{v}_n$

Propiedades:

• $\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}=\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2$
• $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=\Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert \cos \theta$

Producto-Cruz (Solo en ℝ³)

Para vectores en ℝ³: $\mathbf{u}\times \mathbf{v}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ u_1& u_2& u_3\\ v_1& v_2& v_3\end{array}\right|$

---

Magnitud (Norma) de un Vector

Definición

La norma o magnitud de un vector v se denota $\Vert \mathbf{v}\Vert$ y se calcula como:

$\Vert \mathbf{v}\Vert =\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots +v_n^2}=\sqrt{\mathbf{v}\cdot \mathbf{v}}$

Propiedades de la Norma

1. $\Vert \mathbf{v}\Vert \ge 0$ (siempre no negativa)
2. $\Vert \mathbf{v}\Vert =0$ si y solo si $\mathbf{v}=0$
3. $\Vert c\mathbf{v}\Vert =|c|\Vert \mathbf{v}\Vert$ (homogeneidad)
4. $\Vert \mathbf{u}+\mathbf{v}\Vert \le \Vert \mathbf{u}\Vert +\Vert \mathbf{v}\Vert$ (desigualdad triangular)

---

Vector Normalizado

Para obtener un vector unitario en la dirección de v:

$\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\Vert \mathbf{v}\Vert }$

siempre que $\mathbf{v}\ne 0$.

---

Combinaciones Lineales

Un vector y es una combinación lineal de vectores ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$ si:

$\mathbf{y}=c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_p{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}$

donde $c_1,c_2,\dots ,c_p$ son escalares.

---

Relación con Otros Conceptos

Independencia-Lineal

Un conjunto de vectores $\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}\}$ es linealmente independiente si la única solución a:

$c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_p{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}=0$

es $c_1=c_2=\cdots =c_p=0$.

Base

Un conjunto de vectores linealmente independientes que genera (span) todo el espacio.

Subespacio-Vectorial

El conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores forma un subespacio vectorial.

---

Aplicaciones

En Física

• Desplazamiento: cambio de posición
• Velocidad: razón de cambio de posición
• Fuerza: causa de aceleración
• Momento: cantidad de movimiento

En Geometría

• Representación de puntos en espacio n-dimensional
• Ecuaciones de rectas: $\mathbf{r}(t)=\mathbf{p}+t\mathbf{d}$
• Ecuaciones de planos

En Álgebra Lineal

• Soluciones de sistemas lineales
• Transformaciones lineales
• Vectores propios

---

Conexiones con Otras Materias

Con MAT1610 (Cálculo I)

• Vectores de velocidad y aceleración
• Derivadas de funciones vectoriales
• Gradientes de funciones multivariables

Con EYP1016 (Estadística)

• Vectores aleatorios: vectores cuyas componentes son variables aleatorias
• Diferentes del concepto geométrico, pero usan la misma notación

---

Notas Importantes

Igualdad de Vectores: Dos vectores son iguales si y solo si todas sus componentes correspondientes son iguales.

Vectores vs Puntos: Aunque se usan notaciones similares, un vector representa desplazamiento/dirección, mientras que un punto representa una ubicación.

---

Referencias

• Ver Clase 1: Vectores Geométricos
• Ver Clase 2: Álgebra de Vectores

---

Tags: mat1203-algebra concepto vectores algebra-vectorial geometria