36) Sustitucion Trigonometrica

Clase 36: Sustitución Trigonométrica

📚 Introducción

La sustitución trigonométrica es una técnica poderosa para evaluar integrales que contienen expresiones de la forma $\sqrt{a^2-x^2}$, $\sqrt{a^2+x^2}$, o $\sqrt{x^2-a^2}$. La idea es usar identidades trigonométricas para eliminar el radical transformando estas expresiones en formas más manejables.

Esta técnica es particularmente útil en problemas geométricos, como calcular áreas de regiones circulares o elípticas, y en aplicaciones físicas que involucran movimiento circular o armónico.

Objetivos de la Clase

• Comprender cuándo y por qué usar sustitución trigonométrica
• Dominar las tres sustituciones principales para diferentes formas radicales
• Aplicar identidades trigonométricas para simplificar radicales
• Resolver problemas de áreas usando sustitución trigonométrica
• Manejar casos que requieren completación de cuadrados antes de la sustitución

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1. Las Tres Sustituciones Trigonométricas Principales

1.1 Tabla de Sustituciones

Tabla de Sustituciones Trigonométricas

Expresión	Sustitución	Identidad	Restricción sobre $\theta$
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x=a\sin \theta$	$1-{\sin }^2\theta ={\cos }^2\theta$	$-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}$
$\sqrt{a^2+x^2}$	$x=a\tan \theta$	$1+{\tan }^2\theta ={\sec }^2\theta$	$-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$
$\sqrt{x^2-a^2}$	$x=a\sec \theta$	${\sec }^2\theta -1={\tan }^2\theta$	$0\le \theta <\frac{\pi }{2}$ o $\pi \le \theta <\frac{3\pi }{2}$

1.2 Justificación Geométrica

Cada sustitución tiene una interpretación geométrica basada en triángulos rectángulos:

• Para $\sqrt{a^2-x^2}$: En un triángulo con hipotenusa $a$ y cateto $x$, el otro cateto es $\sqrt{a^2-x^2}$. Si $\sin \theta =\frac{x}{a}$, entonces $x=a\sin \theta$.

• Para $\sqrt{a^2+x^2}$: La expresión $\sqrt{a^2+x^2}$ sugiere la hipotenusa de un triángulo con catetos $a$ y $x$. Si $\tan \theta =\frac{x}{a}$, entonces $x=a\tan \theta$.

• Para $\sqrt{x^2-a^2}$: Si $\sec \theta =\frac{x}{a}$, entonces $x=a\sec \theta$ y $\sqrt{x^2-a^2}=a\tan \theta$.

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2. Tipo 1: Sustitución con $\sqrt{a^2-x^2}$

2.1 Ejemplo 1: Integral Básica

Problema

Evalúe $\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}$

Solución

Paso 1: Identificar la forma Tenemos $\sqrt{9-x^2}=\sqrt{3^2-x^2}$, así que $a=3$.

Paso 2: Hacer la sustitución $x=3\sin \theta ,dx=3\cos \theta d\theta$ $\sqrt{9-x^2}=\sqrt{9-9{\sin }^2\theta }=\sqrt{9(1-{\sin }^2\theta )}=3|\cos \theta |=3\cos \theta$

(Observé que $\theta \in [-\pi /2,\pi /2]$, por lo que $\cos \theta \ge 0$)

Paso 3: Transformar la integral $\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}=\int \frac{3\cos \theta d\theta }{3\cos \theta }=\int d\theta =\theta +C$

Paso 4: Regresar a la variable original Como $x=3\sin \theta$, entonces $\sin \theta =\frac{x}{3}$, por lo tanto: $\theta =\arcsin \left(\frac{x}{3}\right)$

Resultado final: $\int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}}=\arcsin \left(\frac{x}{3}\right)+C$

Triángulo de Referencia

Para convertir de nuevo a $x$, es útil dibujar un triángulo rectángulo:

• Hipotenusa = 3
• Cateto opuesto = $x$
• Cateto adyacente = $\sqrt{9-x^2}$

Entonces $\sin \theta =\frac{x}{3}$, $\cos \theta =\frac{\sqrt{9-x^2}}{3}$, $\tan \theta =\frac{x}{\sqrt{9-x^2}}$

2.2 Ejemplo 2: Con Área de una Elipse

Problema

Encuentre el área encerrada por la elipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Solución

Paso 1: Resolver para $y$ $y=\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$

Paso 2: Usar simetría Por simetría, el área total es: $A=4{\int }_0^a\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}dx$

Paso 3: Sustitución trigonométrica $x=a\sin \theta ,dx=a\cos \theta d\theta$

Cuando $x=0$, $\sin \theta =0$, así que $\theta =0$. Cuando $x=a$, $\sin \theta =1$, así que $\theta =\frac{\pi }{2}$.

$\sqrt{a^2-x^2}=a\cos \theta$

Paso 4: Evaluar $A=4{\int }_0^{\pi /2}\frac{b}{a}\cdot a\cos \theta \cdot a\cos \theta d\theta$ $=4ab{\int }_0^{\pi /2}{\cos }^2\theta d\theta$

Usando ${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$: $=4ab{\int }_0^{\pi /2}\frac{1+\cos 2\theta }{2}d\theta$ $=2ab{\left[\theta +\frac{\sin 2\theta }{2}\right]}_0^{\pi /2}$ $=2ab\left[\frac{\pi }{2}+0-0\right]=\pi ab$

Observación

Hemos demostrado que el área de una elipse es $\pi ab$. En particular, cuando $a=b=r$, obtenemos el área de un círculo: $\pi r^2$.

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3. Tipo 2: Sustitución con $\sqrt{a^2+x^2}$

3.1 Ejemplo 3: Integral Básica

Problema

Evalúe $\int \frac{dx}{x^2+4}$

Solución

Paso 1: Identificar la forma Tenemos $x^2+4=x^2+2^2$, así que $a=2$.

Paso 2: Hacer la sustitución $x=2\tan \theta ,dx=2{\sec }^2\theta d\theta$ $x^2+4=4{\tan }^2\theta +4=4({\tan }^2\theta +1)=4{\sec }^2\theta$

Paso 3: Transformar la integral $\int \frac{dx}{x^2+4}=\int \frac{2{\sec }^2\theta d\theta }{4{\sec }^2\theta }=\frac{1}{2}\int d\theta =\frac{\theta }{2}+C$

Paso 4: Regresar a la variable original Como $x=2\tan \theta$, entonces $\tan \theta =\frac{x}{2}$, por lo tanto: $\theta =\arctan \left(\frac{x}{2}\right)$

Resultado final: $\int \frac{dx}{x^2+4}=\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{x}{2}\right)+C$

3.2 Ejemplo 4: Caso Más Complejo

Problema

Evalúe $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}dx$

Solución

Método 1: Sustitución trigonométrica

$x=2\tan \theta ,dx=2{\sec }^2\theta d\theta$ $\sqrt{x^2+4}=2\sec \theta$

$\int \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}dx=\int \frac{2\tan \theta \cdot 2{\sec }^2\theta d\theta }{2\sec \theta }$ $=2\int \tan \theta \sec \theta d\theta =2\sec \theta +C$

Regresando a $x$: del triángulo con $\tan \theta =\frac{x}{2}$, tenemos: $\sec \theta =\frac{\sqrt{x^2+4}}{2}$

Resultado: $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}dx=2\cdot \frac{\sqrt{x^2+4}}{2}+C=\sqrt{x^2+4}+C$

Método 2: Sustitución simple (más fácil para este caso)

Sea $u=x^2+4$, entonces $du=2xdx$: $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}dx=\frac{1}{2}\int \frac{du}{\sqrt{u}}=\sqrt{u}+C=\sqrt{x^2+4}+C$

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4. Tipo 3: Sustitución con $\sqrt{x^2-a^2}$

4.1 Ejemplo 5: Integral Básica

Problema

Evalúe $\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-4}}$, donde $x>2$

Solución

Paso 1: Identificar la forma Tenemos $\sqrt{x^2-4}=\sqrt{x^2-2^2}$, así que $a=2$.

Paso 2: Hacer la sustitución $x=2\sec \theta ,dx=2\sec \theta \tan \theta d\theta$ $\sqrt{x^2-4}=\sqrt{4{\sec }^2\theta -4}=2\sqrt{{\sec }^2\theta -1}=2|\tan \theta |=2\tan \theta$

(Para $x>2$, tenemos $0<\theta <\frac{\pi }{2}$, entonces $\tan \theta >0$)

Paso 3: Transformar la integral $\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-4}}=\int \frac{2\sec \theta \tan \theta d\theta }{4{\sec }^2\theta \cdot 2\tan \theta }$ $=\frac{1}{4}\int \frac{d\theta }{\sec \theta }=\frac{1}{4}\int \cos \theta d\theta$ $=\frac{\sin \theta }{4}+C$

Paso 4: Regresar a la variable original Del triángulo con $\sec \theta =\frac{x}{2}$:

• Hipotenusa = $x$
• Cateto adyacente = $2$
• Cateto opuesto = $\sqrt{x^2-4}$

Entonces $\sin \theta =\frac{\sqrt{x^2-4}}{x}$

Resultado final: $\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-4}}=\frac{\sqrt{x^2-4}}{4x}+C$

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5. Completación de Cuadrados

5.1 Cuándo es Necesaria

A veces debemos completar el cuadrado antes de aplicar la sustitución trigonométrica para expresiones como $\sqrt{a{x}^2+bx+c}$.

5.2 Ejemplo 6: Con Completación de Cuadrados

Problema

Evalúe $\int \frac{x}{\sqrt{3-2x-x^2}}dx$

Solución

Paso 1: Completar el cuadrado $3-2x-x^2=-(x^2+2x-3)=-(x^2+2x+1-1-3)$ $=-[(x+1{)}^2-4]=4-(x+1{)}^2$

Paso 2: Sustitución algebraica Sea $u=x+1$, entonces $x=u-1$ y $dx=du$: $\int \frac{x}{\sqrt{3-2x-x^2}}dx=\int \frac{u-1}{\sqrt{4-u^2}}du$

Paso 3: Separar la integral $=\int \frac{u}{\sqrt{4-u^2}}du-\int \frac{1}{\sqrt{4-u^2}}du$

Primera integral (sustitución simple): $w=4-u^2$, $dw=-2udu$ $\int \frac{u}{\sqrt{4-u^2}}du=-\frac{1}{2}\int w^{-1/2}dw=-\sqrt{w}=-\sqrt{4-u^2}$

Segunda integral (sustitución trigonométrica o fórmula conocida): $\int \frac{1}{\sqrt{4-u^2}}du=\arcsin \left(\frac{u}{2}\right)$

Paso 4: Combinar y regresar a $x$ $\int \frac{x}{\sqrt{3-2x-x^2}}dx=-\sqrt{4-u^2}-\arcsin \left(\frac{u}{2}\right)+C$ $=-\sqrt{4-(x+1{)}^2}-\arcsin \left(\frac{x+1}{2}\right)+C$ $=-\sqrt{3-2x-x^2}-\arcsin \left(\frac{x+1}{2}\right)+C$

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6. Ejemplo Integral: Área de un Círculo

6.1 Ejemplo 7: Derivación del Área

Problema

Use sustitución trigonométrica para demostrar que el área de un círculo de radio $r$ es $\pi r^2$

Solución

Paso 1: Ecuación del círculo La ecuación es $x^2+y^2=r^2$, entonces $y=\sqrt{r^2-x^2}$

Paso 2: Área por simetría $A=4{\int }_0^r\sqrt{r^2-x^2}dx$

Paso 3: Sustitución $x=r\sin \theta ,dx=r\cos \theta d\theta$

Cuando $x=0$: $\theta =0$ Cuando $x=r$: $\theta =\frac{\pi }{2}$

$\sqrt{r^2-x^2}=r\cos \theta$

Paso 4: Evaluar $A=4{\int }_0^{\pi /2}r\cos \theta \cdot r\cos \theta d\theta$ $=4r^2{\int }_0^{\pi /2}{\cos }^2\theta d\theta$

Usando ${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$: $=4r^2\cdot \frac{1}{2}{\left[\theta +\frac{\sin 2\theta }{2}\right]}_0^{\pi /2}$ $=2r^2\left[\frac{\pi }{2}-0\right]=\pi r^2$

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🎯 Conceptos Clave para Repasar

Resumen de Conceptos

1. Tres sustituciones principales: Para $\sqrt{a^2-x^2}$, $\sqrt{a^2+x^2}$, $\sqrt{x^2-a^2}$
2. Identidades clave: $1-{\sin }^2\theta ={\cos }^2\theta$, $1+{\tan }^2\theta ={\sec }^2\theta$, ${\sec }^2\theta -1={\tan }^2\theta$
3. Triángulos de referencia: Útiles para convertir de vuelta a la variable original
4. Restricciones en $\theta$: Aseguran que las funciones inversas estén bien definidas
5. Completación de cuadrados: Necesaria para expresiones como $a{x}^2+bx+c$
6. Aplicaciones geométricas: Áreas de círculos, elipses, y otras regiones

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🚨 Errores Comunes

Error 1: Olvidar el valor absoluto en

$\sqrt{a^2{\cos }^2\theta }$

• Incorrecto: $\sqrt{9{\cos }^2\theta }=3\cos \theta$ siempre
• Correcto: $\sqrt{9{\cos }^2\theta }=3|\cos \theta |=3\cos \theta$ (para $\theta \in [-\pi /2,\pi /2]$)
• Por qué: Las restricciones sobre $\theta$ aseguran que las funciones sean positivas

Error 2: No cambiar los límites en integrales definidas

• Problema: Olvidar transformar los límites cuando hacemos la sustitución
• Solución: Siempre calcular $\theta$ correspondiente a cada límite de $x$
• Ejemplo: Si $x=2\tan \theta$ y $x\in [0,2]$, entonces $\theta \in [0,\arctan 1]=[0,\pi /4]$

Error 3: Elegir la sustitución incorrecta

• Incorrecto: Para $\sqrt{x^2+4}$, usar $x=2\sin \theta$
• Correcto: Para $\sqrt{x^2+4}$, usar $x=2\tan \theta$
• Regla: Memorizar qué sustitución corresponde a cada forma radical

Error 4: No completar el cuadrado cuando es necesario

• Problema: Intentar sustitución directa en $\sqrt{x^2+4x+7}$
• Solución: Primero completar: $x^2+4x+7=(x+2{)}^2+3$, luego sustituir

Error 5: Regresar incorrectamente a la variable original

• Problema: No usar el triángulo de referencia correctamente
• Solución: Dibujar el triángulo con cuidado y verificar todas las relaciones trigonométricas

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📝 Ejercicios Propuestos

Ejercicios Nivel Básico (1-8)

Evalúe usando sustitución trigonométrica:

1. $\int \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}$
2. $\int \frac{dx}{x^2+9}$
3. $\int \sqrt{16-x^2}dx$
4. $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$
5. $\int \frac{dx}{(x^2+4{)}^2}$
6. $\int \sqrt{x^2-1}dx$, $x>1$
7. ${\int }_0^3\frac{x^2}{\sqrt{9-x^2}}dx$
8. ${\int }_0^1\frac{dx}{(1+x^2{)}^{3/2}}$

Ejercicios Nivel Intermedio (9-20)

9. $\int \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}dx$
10. $\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+1}}$
11. $\int \frac{\sqrt{x^2-9}}{x}dx$, $x>3$
12. $\int \frac{dx}{(x^2+1{)}^2}$
13. $\int \frac{x^3}{\sqrt{16-x^2}}dx$
14. $\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2-4}}$, $x>2$
15. ${\int }_0^{a/2}\sqrt{a^2-x^2}dx$ (área)
16. $\int \frac{dx}{\sqrt{2x-x^2}}$ (completar cuadrado)
17. $\int \frac{dx}{x^2+2x+2}$ (completar cuadrado)
18. $\int \frac{x}{\sqrt{x^2+4x+5}}dx$ (completar cuadrado)
19. ${\int }_0^{1}x\sqrt{1-x^2}dx$
20. $\int \frac{dx}{(4+x^2{)}^{3/2}}$

Ejercicios Nivel Avanzado (21-28)

21. Demuestre que $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$
22. Encuentre el área del semicírculo $y=\sqrt{r^2-x^2}$
23. Calcule $\int \frac{x^2}{(9-x^2{)}^{3/2}}dx$
24. Evalúe $\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2-a^2}}$, $x>a>0$
25. Calcule ${\int }_0^2{x}^3\sqrt{4-x^2}dx$ (puede usar sustitución simple primero)
26. Evalúe $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4x+13}}$ (completar cuadrado)
27. Demuestre la fórmula: $\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+C$
28. Calcule el área entre $y=\sqrt{9-x^2}$ y el eje $x$ de $x=0$ a $x=3$

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📚 Referencias

Lectura Principal

• Sección 7.3: Sustitución trigonométrica, págs. 478-483

Enlaces Relacionados

• 35) Integrales Trigonometricas - Clase anterior
• 37) Fracciones Parciales - Caso I - Próxima clase
• 32) Regla de Sustitucion - Integrales Indefinidas - Técnica fundamental
• Identidades Trigonométricas - Referencia de identidades
• Completación de Cuadrados - Técnica algebraica necesaria

Conexión con Temas Futuros

Anticipando Fracciones Parciales

En la próxima clase aprenderemos la técnica de fracciones parciales para integrar funciones racionales. Junto con sustitución trigonométrica, estas técnicas nos permitirán integrar una gran variedad de funciones.

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Sugerencia de Estudio

La sustitución trigonométrica puede parecer complicada al principio, pero se vuelve más natural con práctica. La clave es: (1) reconocer la forma del radical, (2) elegir la sustitución correcta, (3) dibujar el triángulo de referencia, y (4) usar ese triángulo para regresar a la variable original. Practica dibujando los triángulos - son herramientas visuales poderosas que simplifican el proceso.

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✅ Checklist de Estudio

Lista de Verificación

• Conozco las tres sustituciones principales y cuándo usar cada una
• Puedo dibujar triángulos de referencia para cada sustitución
• Sé aplicar las identidades trigonométricas para eliminar radicales
• Entiendo las restricciones sobre $\theta$ y por qué son necesarias
• Puedo completar cuadrados cuando la expresión no está en forma estándar
• Sé cambiar límites de integración en integrales definidas
• Puedo regresar correctamente a la variable original usando el triángulo
• Reconozco cuándo una sustitución simple es más fácil
• Puedo aplicar la técnica a problemas de área
• Verifico mis respuestas derivando o con casos especiales

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