Derivada

Definición

Definición Formal - Derivada en un Punto

La derivada de una función $f$ en un número $a$, denotada por $f^{\prime }(a)$, es:

$f^{\prime }(a)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

siempre que este límite exista.

Forma Alternativa

Escribiendo $x=a+h$, obtenemos:

$f^{\prime }(a)={\lim }_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$

Ambas formas son equivalentes y se usan según la conveniencia.

Interpretaciones

1. Interpretación Geométrica

Pendiente de la Recta Tangente

$f^{\prime }(a)$ es la pendiente de la Recta-Tangente a la curva $y=f(x)$ en el punto $(a,f(a))$.

La ecuación de la recta tangente es: $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$

2. Interpretación Física

Velocidad Instantánea

Si $s(t)$ es la posición de un objeto en el tiempo $t$, entonces: $v(t)=s^{\prime }(t)$

es la velocidad instantánea en el instante $t$.

3. Interpretación General

Razón de Cambio

$f^{\prime }(a)$ representa la Razon-de-Cambio instantánea de $y=f(x)$ respecto a $x$ cuando $x=a$.

Notación

Existen múltiples notaciones para la derivada:

Notación	Nombre	Uso
$f^{\prime }(x)$	Notación de Lagrange	Más común en matemáticas
$\frac{dy}{dx}$	Notación de Leibniz	Útil para regla de la cadena
$\frac{df}{dx}$	Notación de Leibniz (función)	Enfatiza la función
$Df(x)$	Notación de operador	Usado en análisis
$\dot{y}$	Notación de Newton	Común en física (derivada respecto al tiempo)

La Derivada como Función

Definición - Derivada como Función

La función derivada de $f$ es:

$f^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Su dominio es el conjunto de todos los $x$ para los cuales este límite existe.

Derivabilidad y Continuidad

Teorema

Si $f$ es derivable en $a$, entonces $f$ es continua en $a$.

El recíproco NO es cierto: Una función puede ser continua pero no derivable.

Ejemplo: $f(x)=|x|$ es continua en $x=0$ pero no derivable ahí.

Reglas de Derivación Básicas

Reglas Fundamentales

Función	Derivada	Nombre
$f(x)=c$	$f^{\prime }(x)=0$	Constante
$f(x)=x^n$	$f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$	Regla-de-la-Potencia
$f(x)=e^x$	$f^{\prime }(x)=e^x$	Exponencial natural
$f(x)=\ln x$	$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$	Logaritmo natural
$f(x)=\sin x$	$f^{\prime }(x)=\cos x$	Seno
$f(x)=\cos x$	$f^{\prime }(x)=-\sin x$	Coseno

Reglas de Operación

Linealidad

• $(cf{)}^{\prime }(x)=c{f}^{\prime }(x)$ (constante)
• $(f+g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$ (suma)

Regla del Producto

$(fg{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

Regla del Cociente

${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }(x)=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{[g(x){]}^2}$

Regla de la Cadena

Si $y=f(g(x))$, entonces: $\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

o en notación de Leibniz: $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

Derivadas de Orden Superior

• Primera derivada: $f^{\prime }(x)$ o $\frac{dy}{dx}$
• Segunda derivada: $f^{\prime \prime }(x)$ o $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$
• Tercera derivada: $f^{\prime \prime \prime }(x)$ o $\frac{d^{3}y}{d{x}^3}$
• n-ésima derivada: $f^{(n)}(x)$ o $\frac{d^{n}y}{d{x}^n}$

Interpretación de la Segunda Derivada

• Física: Si $s(t)$ es posición, entonces $s^{\prime \prime }(t)$ es aceleración
• Geometría: $f^{\prime \prime }(x)$ indica la concavidad de la función

Ejemplos

Ejemplo 1: Cálculo Directo

Hallar $f^{\prime }(2)$ si $f(x)=x^2-8x+9$:

$f^{\prime }(2)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}={\lim }_{h\to 0}\frac{[(2+h{)}^2-8(2+h)+9]-[4-16+9]}{h}$

Simplificando: $f^{\prime }(2)=-4$

Ejemplo 2: Función Derivada

Para $f(x)=x^2$:

$f^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}={\lim }_{h\to 0}\frac{2xh+h^2}{h}={\lim }_{h\to 0}(2x+h)=2x$

Por lo tanto, $f^{\prime }(x)=2x$

Aplicaciones Principales

1. Geometría: Encontrar rectas tangentes y normales
2. Física: Velocidad, aceleración, razones de cambio
3. Optimización: Encontrar máximos y mínimos
4. Economía: Costos marginales, ingresos marginales
5. Aproximación: Aproximaciones lineales y diferenciales

Cuándo NO Existe la Derivada

La derivada $f^{\prime }(a)$ no existe si:

1. Esquina o pico: $f(x)=|x|$ en $x=0$
2. Discontinuidad: Cualquier punto de discontinuidad
3. Tangente vertical: $f(x)=\sqrt[3]{x}$ en $x=0$
4. Oscilación infinita: $f(x)=\sin (1/x)$ cerca de $x=0$

Clases Relacionadas

• 10) Recta Tangente, Velocidad y el Concepto de Derivada - Introducción
• 12) La Derivada como una Función - Función derivada
• 13) Derivadas de Polinomios, Exponenciales y Regla del Producto - Reglas básicas
• 15) Regla de la Cadena - Composición de funciones

Conceptos Relacionados

• Recta-Tangente
• Velocidad-Instantanea
• Razon-de-Cambio
• Regla-de-la-Cadena
• Regla-del-Producto
• Continuidad-y-Derivabilidad
• Derivada-como-Funcion

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