Limite-de-una-funcion

Límite de una Función

Definición

Definición Formal

Diremos que el límite de $f(x)$ cuando $x$ tiende a $a$ es $L$, y escribimos:

${\lim }_{x\to a}f(x)=L$

Esto significa que $f(x)$ se acerca a $L$ cuando $x$ se acerca al número $a$ (sin necesariamente alcanzarlo).

Interpretación

El límite estudia el comportamiento de una función cerca de un punto, no necesariamente en el punto mismo:

• No importa el valor de $f(a)$ (puede incluso no existir)
• Sí importa el comportamiento cuando $x$ está cerca de $a$, pero $x\ne a$
• El límite puede existir incluso si la función no está definida en $a$

Definición Precisa (epsilon-delta)

Definición Epsilon-Delta

${\lim }_{x\to a}f(x)=L$ si y solo si:

Para todo $\epsilon >0$, existe un $\delta >0$ tal que si $0<|x-a|<\delta$, entonces $|f(x)-L|<\epsilon$

Interpretación: Podemos hacer que $f(x)$ esté tan cerca de $L$ como queramos (dentro de $\epsilon$), tomando $x$ suficientemente cerca de $a$ (dentro de $\delta$).

Notación Alternativa

$f(x)\to L\text{cuando}x\to a$

Ejemplos Clave

1. Función continua simple: ${\lim }_{x\to 2}(x^2-x+2)=4$

2. Función con discontinuidad removible: ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}={\lim }_{x\to 1}(x+1)=2$ Aunque $f(1)$ no existe, el límite sí existe.

3. Cuando el límite NO existe:

   • Límites laterales diferentes
   • Oscilación infinita
   • Crecimiento sin cota

Propiedades Fundamentales

El límite debe cumplir con las Leyes-de-Limites:

• Suma: $\lim [f(x)+g(x)]=\lim f(x)+\lim g(x)$
• Producto: $\lim [f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot \lim g(x)$
• Cociente: $\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}$ (si $\lim g(x)\ne 0$)

Casos Especiales

• Limites-Laterales: Aproximación por izquierda o derecha
• Limites-Infinitos: Cuando la función crece sin cota
• Limites-Notables: Límites trigonométricos importantes

Relación con Continuidad

Conexión

Una función $f$ es continua en $a$ si: ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$

Es decir, el límite existe, la función está definida en $a$, y ambos coinciden.

Clases Relacionadas

• 1) Limites de Funciones - Introducción completa
• 4) Definicion precisa de limites - Definición epsilon-delta
• 6) Continuidad en Un Punto - Relación con continuidad

Conceptos Relacionados

• Limites-Laterales
• Limites-Infinitos
• Continuidad-y-Derivabilidad
• Leyes-de-Limites

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