Regla de la Cadena

Definicion

Regla de la Cadena - Forma General

Si $y=f(u)$ y $u=g(x)$, donde ambas $f$ y $g$ son derivables, entonces la funcion compuesta $y=f(g(x))$ es derivable y:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$

Notacion con Funciones

Si $h(x)=f(g(x))$, entonces:

$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

Interpretacion

La derivada de una composicion de funciones es el producto de:

• La derivada de la funcion “externa” evaluada en la funcion “interna”
• Por la derivada de la funcion “interna”

Como Aplicar la Regla

Paso a Paso

Paso 1: Identificar la funcion externa $f$ y la funcion interna $g$

Paso 2: Derivar la funcion externa, pero dejando la interna intacta: $f^{\prime }(g(x))$

Paso 3: Multiplicar por la derivada de la funcion interna: $g^{\prime }(x)$

Paso 4: Simplificar el resultado

Ejemplos Basicos

Ejemplo 1: Potencia de una Funcion

Derivar $y=(x^2+1{)}^5$

Identificar:

• Funcion externa: $f(u)=u^5$
• Funcion interna: $u=g(x)=x^2+1$

Derivar:

• $f^{\prime }(u)=5u^4$
• $g^{\prime }(x)=2x$

Aplicar regla: $\frac{dy}{dx}=5(x^2+1{)}^4\cdot 2x=10x(x^2+1{)}^4$

Ejemplo 2: Composicion Trigonometrica

Derivar $y=\sin (3x^2)$

Identificar:

• Externa: $f(u)=\sin u$
• Interna: $u=3x^2$

Derivar:

• $f^{\prime }(u)=\cos u$
• $g^{\prime }(x)=6x$

Aplicar: $\frac{dy}{dx}=\cos (3x^2)\cdot 6x=6x\cos (3x^2)$

Ejemplo 3: Exponencial Compuesta

Derivar $y=e^{x^3-2x}$

Identificar:

• Externa: $f(u)=e^u$
• Interna: $u=x^3-2x$

Derivar:

• $f^{\prime }(u)=e^u$
• $g^{\prime }(x)=3x^2-2$

Aplicar: $\frac{dy}{dx}=e^{x^3-2x}\cdot (3x^2-2)=(3x^2-2)e^{x^3-2x}$

Composiciones Multiples

Regla de la Cadena Extendida

Para composiciones de tres o mas funciones:

Si $y=f(g(h(x)))$, entonces: $\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(g(h(x)))\cdot g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)$

Es decir, multiplicamos todas las derivadas “de afuera hacia adentro”.

Ejemplo: Triple Composicion

Derivar $y={\sin }^3(2x)=[\sin (2x){]}^3$

Identificar las capas:

• Mas externa: $f(u)=u^3$
• Media: $g(v)=\sin v$
• Mas interna: $h(x)=2x$

Derivar cada capa:

• $f^{\prime }(u)=3u^2$
• $g^{\prime }(v)=\cos v$
• $h^{\prime }(x)=2$

Aplicar (de afuera hacia adentro): $\frac{dy}{dx}=3[\sin (2x){]}^2\cdot \cos (2x)\cdot 2=6{\sin }^2(2x)\cos (2x)$

Casos Especiales Importantes

Regla de la Potencia Generalizada

Si $y=[g(x){]}^n$, entonces: $\frac{dy}{dx}=n[g(x){]}^{n-1}\cdot g^{\prime }(x)$

Derivada de Exponenciales

Si $y=e^{g(x)}$, entonces: $\frac{dy}{dx}=e^{g(x)}\cdot g^{\prime }(x)$

Derivada de Logaritmos

Si $y=\ln (g(x))$, entonces: $\frac{dy}{dx}=\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}=\frac{1}{g(x)}\cdot g^{\prime }(x)$

Derivadas Trigonometricas Compuestas

• $\frac{d}{dx}[\sin (g(x))]=\cos (g(x))\cdot g^{\prime }(x)$
• $\frac{d}{dx}[\cos (g(x))]=-\sin (g(x))\cdot g^{\prime }(x)$
• $\frac{d}{dx}[\tan (g(x))]={\sec }^2(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

Aplicaciones

Usos Principales

1. Derivacion implicita: Base fundamental
2. Razones relacionadas: Conectar diferentes tasas de cambio
3. Optimizacion: Derivar funciones complejas
4. Fisica: Derivar funciones de movimiento compuestas
5. Economia: Tasas marginales de funciones compuestas

Errores Comunes

Error 1: Olvidar la Derivada Interna

Incorrecto: $\frac{d}{dx}[(x^2+1{)}^5]=5(x^2+1{)}^4$

Correcto: $\frac{d}{dx}[(x^2+1{)}^5]=5(x^2+1{)}^4\cdot 2x$

Error 2: Derivar Incorrectamente la Externa

Incorrecto: $\frac{d}{dx}[e^{x^2}]=e^{x^2}\cdot x$

Correcto: $\frac{d}{dx}[e^{x^2}]=e^{x^2}\cdot 2x$

Error 3: Confundir el Orden

Incorrecto: $\frac{d}{dx}[\sin (x^2)]=2x\cdot \sin (x^2)$

Correcto: $\frac{d}{dx}[\sin (x^2)]=\cos (x^2)\cdot 2x$

Clases Relacionadas

• 15) Regla de la Cadena - Introduccion completa
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Conceptos Relacionados

• Derivada
• Regla-de-la-Potencia
• Regla-del-Producto
• Derivacion-Implicita
• Razon-de-Cambio

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